zad. 2009 log potega,
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1.
Oblicz granicę ciągów
a)
lim
→
(2 − 8 − 2 + 3)
lim
→
(
2 − 8 −
2 + 3) = ∞ − ∞ = lim
2 − 8 −
2 + 3 ∗
2 − 8 +
2 + 3
2 − 8 +
2 + 3
=
= lim
2 − 8 − 2 + 3
2 − 8 +
2 + 3
= lim
−5
∞
= 0
b)
lim
→
3
+ 8
+ 5
lim
→
3
+ 8
+ 5
< 3
+ 8
+ 5
< 4 ∗ 8
lim
→
= lim8 = 8
lim
→
4 ∗ 8
= lim8 ∗ 4
= lim8 ∗ 1 = 8
lim
→
3
+ 8
+ 5
= 8
lub wykorzystując wiedzę, że znaczenie ma największy składnik można od razu napisać (przy czym
trzeba chyba uzasadnić):
lim
→
3
+ 8
+ 5
= 8
c)
lim
→
lim
→
+ 2
= lim1 +
2
= lim1 +
2
=
2.
Własności i wykres funkcji,
,
(),
(())
a)
() =
-dziedzina, przeciwdziedzina
: 5 − 2 = 0 ⇔ 5 = 2 ⇔ =
2
5
= \{
2
5
}
= \{
2
5
}
- parzystość, nieparzystość
8
8
(−) =
1 − 2
−5 − 2
(
−
)
≠
(
)
funkcja nie jest parzysta
(−) = −() ⇔
−5 − 2
= −
2 + 1
5 − 2
⇔
−5 − 2
≠
−1 − 2
2 − 5
funkcja nie jest nieparzysta
- punkty przecięcia z osiami
miejsce zerowe: (2 + 1)(5 − 2) = 0 ⇔ 2 + 1 = 0 ∨ 5 − 2 = 0 ⇔ 2 = −1 ∨ 5 = 2 ⇔
⇔ = −
1
2
∈ ∨ =
2
5
∉
(0) =
2 ∗ 0 + 1
5 ∗ 0 − 2
=
−2
= −
1
2
-granice na końcach przedziału określoności
2 + 1
5 − 2
= lim
x
5 −
2
x2 +
1
= lim
2
5
=
2
lim
→
5
2 + 1
5 − 2
= lim
x
)
(5 −
2
= lim
2
5
=
2
lim
→
)
5
2 + 1
5 − 2
= lim
2 ∗
2
5
+ 1
+ 1
2
− 2
= lim
9
5
lim
→
= lim
0
= −∞
− 2
5 ∗
2
5
lim
→
2 + 1
5 − 2
= lim
2 ∗
2
5
+ 1
= lim
+ 1
2
− 2
= lim
0
= ∞
5 ∗
2
− 2
5
- asymptota pionowa i pozioma
=
=
2
5
= −
= −
−2
5
=
2
5
1 − 2
1 − 2
1
x(2 +
1
4
5
4
5
9
5
- szkic wykresu
Brak minimum, maksimum, ekstremum
-funkcja odwrotna
5 − 2
⇔ (5 − 2) = 2 + 1 ⇔ 5 − 2 = 2 + 1 ⇔ 5 − 2 = 1 + 2 ⇔
⇔
(
5 − 2
)
= 1 + 2 ⇔ =
1 + 2
5 − 2
: =
1 + 2
5 − 2
-złożenie funkcji
() =
5 − 2
+ 1
5 ∗
2 + 1
=
2 + 4 + 5 − 2
5 − 2
10 + 5 − 5 + 4
5 − 2
=
9
9
=
5 − 2
− 2
(
)
=
5 − 2
5 ∗
2 + 1
5 − 2 + 4 + 2
5 − 2
10 + 5 − 10 + 4
5 − 2
=
9
=
9
=
5 − 2
− 2
b)
() = 2 ∗ 1 −
-dziedzina, przeciwdziedzina
: =
Dziedziną funkcji wykładniczych jest zbiór liczb rzeczywistych
= (−∞,2 >
=
2 + 1
2 ∗
1 + 2
1 + 2 ∗
2 + 1
Przeciwdziedzina jest przedziałem między granicami funkcji
- parzystość, nieparzystość
(−) = 2 ∗ 1 −
1
3
2 ∗ 1 −
1
3
≠ 2 ∗ 1 −
1
3
⇔ (−) ≠ ()funkcja nie jest parzysta
2 ∗ 1 −
1
3
= − 2 ∗ 1 −
1
3
⇔ 2 ∗ 1 −
1
3
≠ −2 ∗ 1 −
1
3
⇔
⇔ () ≠ −() funkcja nie jest nieparzysta
- punkty przecięcia z osiami współrzędnych
miejsce zerowe:2 ∗ 1 −
1
3
= 0 ⇔ 1 −
1
3
= 0 ⇔
1
3
= 1 ⇔
1
3
=
1
3
⇔ x = 0
(0) = 2 ∗ 1 −
1
3
= 2 ∗ (1 − 1) = 2 ∗ 0 = 0
- granice na końcach określoności
lim
→
2 ∗ 1 −
1
3
= lim2 ∗
(
1 − 0
)
= lim2 ∗ 1 = 2
lim
→
2 ∗
1 −
1
3
= lim2 ∗ (1 − ∞) = lim2 ∗ −∞ = −∞
- asymptoty
Funkcja wykładnicza wtym przypadku ma tylko jedną asymptotę, poziomą
= 2
- szkic wykresu
Brak minimum, maksimum, ekstremum
↑
∈
-funkcja odwrotna
= 2 ∗ 1 −
1
3
⇔
2
= 1 −
1
3
⇔
2
− 1 = −
1
3
⇔
1
3
= 1 −
2
⇔ = log
1 −
: = log
1 −
2
-złożenie funkcji
() = 2 ∗ (1 −
1
3
= 2 ∗ 1 − 1 +
2
= 2 ∗
2
=
() = log
1 −
2 ∗ 1 −
1
3
= log
1 − 1 +
1
3
= log
1
3
=
2
c)
() = log
(2 − 4)
-dziedzina, przeciwdziedzina
: 2 − 4 = 0 ⇔ 4 = 2 ⇔ =
1
2
= (−∞;
1
2
)
Zgodnie ze specyfiką logarytmu, może on być tylko z liczby > 0, czyli ∈ (−∞;
)
= (−∞,∞)
- parzystość, nieparzystość
() = (−) ⇔ log
(2 − 4) ≠ log
(2 + 4) funkcja nie jest parzysta
() = −() ⇔ log
(2 − 4) ≠ − log
(2 − 4) funkcja nie jest nieparzysta
- punkty przecięcia z osiami współrzędnych
miejsce zerowe:log
(2 − 4) = 0 ⇔ log
(2 − 4) = log
1 ⇔ 2 − 4 = 1 ⇔ −4 = −1 ⇔
⇔ =
1
4
(0) = log
(2 − 4 ∗ 0) = log
2
- granice na końcach określoności
lim
→
log
(2 − 4) = limlog
2 − 4 ∗ (−∞) = lim log
(2 + ∞) = limlog
(∞) = ∞
2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]