ZAD1-2006, Psychologia, biologia, TERMODYNAMIKA i statytystyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Fizykastatystyczna,zestaw1
(1.)WedÃlugwzorubarometrycznego,ci¶snieniepowietrzanawysoko¶sci
z
nadziemi
,
a
p
(
z
)=
p
(0)exp(
¡mgz=kT
)
:
Obliczy¶cg
,
esto¶s¶cprawdopodobie¶nstwaznalezieniawybranejlosowocz
,
astkinawysoko¶sci
z
nadziemi
,
a
oraz
<z>
i
¾
2
(
z
).
Wskaz¶owka:zastosowa¶cr¶ownaniestanugazudoskonaÃlegoorazprawowielkich
liczb
.
(2.)We¶zmydyskretnyrozkÃladprawdopodobie¶nstwazmiennej
i
(
i
=1
;
2
;:::;N
)speÃlniaj
,
acywaruneknor-
malizacji.Pokaza¶c,_zeentropiadyskretnegorozkÃladu
S
=
¡k
X
P
i
ln
P
i
i
przyjmujewarto¶s¶cmaksymaln
,
adlarozkÃladustaÃlego,tzn.dla
P
i
=1
=N
.
Wskaz¶owka:posÃlu_zy¶csi
,
e
metod
,
anieoznaczonychmno_znik¶owLagrange'a
.
(3.)Przypu¶s¶cmy,_zeopr¶oczzwykÃlegoograniczenia
P
P
i
=1mamydodatkowewi
,
ezytypu:
P
P
i
f
(
k
)
i
=
E
i
(
E
i
-energia
i
-tegostanu).
Policzy¶c
S
max
zinterpretowa¶cznaczenieotrzymanychmno_znik¶owLagrange'aposÃluguj
,
acsi
,
epierwsz
,
a
zasad
,
atermodynamiki.
(4.)Rozwa_zmyukÃladzÃlo_zonyz3podukÃlad¶ow.Ka_zdyzpodukÃlad¶owopisywanyjestzapomocazmi-
ennychstanu:
p
i
,
V
i
(ci¶snienia,obj
,
eto¶sci).Je¶slipodukÃlady(1,3)oraz(2,3)s
,
awr¶ownowadzeter-
modynamicznejwtedyistniej
,
afunkcje
F
1
,
F
2
takie,_ze
F
1
(
p
1
;V
1
;p
3
;V
3
)=0,
F
2
(
p
2
;V
2
;p
3
;V
3
)=0.
ZakÃladaj
,
actranzytywno¶s¶cwarunkur¶ownowagitj.wynikaniezpowy_zszychzwi
,
azk¶owtrzeciegozwi
,
azku
F
3
(
p
1
;V
1
;p
2
;V
2
)=0pokaza¶cistnienietzw.temperaturyempirycznejt:
t
=
t
1
(
p
1
;V
1
)=
t
2
(
p
2
;V
2
)=
t
3
(
p
3
;V
3
).
(5.)Niech
u
=
u
(
x;y
),
v
=
v
(
x;y
).Pokaza¶c,_ze
D
(
u;v
)
=D
(
x;v
)=
¡D
(
u;v
)
=D
(
v;x
)=
@u
@x
¯
¯
¯
¯
v
;
D
(
u;v
)
=D
(
x;y
)=[
D
(
u;v
)
=D
(
p;q
)][
D
(
p;q
)
=D
(
x;y
)];
D
(
u;v
)
=D
(
x;y
)=1
=
[
D
(
x;y
)
=D
(
u;v
)];
d
d
t
D
(
u;v
)
D
(
x;y
)
=
D
(
du=dt;v
)
=D
(
x;y
)+
D
(
u;dv=dt
)
=D
(
x;y
);
oraz
D
(
u;v
)
=D
(
x;y
)=[
D
(
u;v
)
=D
(
p;q
)]
=
[
D
(
p;q
)
=D
(
x;y
)]+
[
D
(
u;v
)
=D
(
q;l
)]
=
[
D
(
q;l
)
=D
(
x;y
)]+[
D
(
u;v
)
=D
(
l;p
)]
=
[
D
(
l;p
)
=D
(
x;y
)]
je¶sli
u
=
u
(
p;q;l
),
v
=
v
(
p;q;l
),
p
=
p
(
x;y
),
q
=
q
(
x;y
),
l
=
l
(
x;y
)
i
=
f
k
.
Znale¶z¶cmaximumentropiiprzytegotypudodatkowychwi
,
ezach.Wyrazi¶c
P
i
jakofunkcj
,
emno_znik¶ow
Lagrange'a.Zapisa¶cwz¶ordlaspecjalnegoprzypadku,gdy:
k
=1,
f
(
k
)
 (6.)Niech
V
(
x;y;z
)=0.Pokaza¶c,_ze
µ
@z
@x
¶
µ
@x
@y
¶
µ
@y
@z
¶
y
z
x
=
¡
1
PrzyzaÃlo_zeniuistnieniar¶ownaniastanudlaciaÃlaprostego,opisywanegoprzypomocy
p;V;T
wyde-
dukowa¶cst
,
ad,_ze
µ
@T
@p
¶
µ
@p
@V
¶
µ
@V
@T
¶
V
T
p
=
¡
1
nadobowi
,
azkowe
(*)Wchwili
t
0
=0doatmosferywpada
m
-cz
,
astekpromieniowaniakosmicznego.Ka_zdaztychcz
,
astek
mo_zewczasie
dt
wyprodukowa¶cnow
,
acz
,
astk
,
ezprawdopodobie¶nstwem
¸dt
+
O
((
dt
)
2
).Znale¶z¶c
r¶ownanienaprawdopodobie¶nstwotego,_zewchwili
t
znajdziemy
n
cz
,
astek,je_zelika_zdawypro-
dukowanacz
,
astkazachowasi
,
etakjakcz
,
astkapierwotnaorazka_zdacz
,
astkamo_zeby¶cwczasie
dt
pochÃloni
,
etazprawdopodobie¶nstwem
¹dt
+
O
((
dt
)
2
).Obliczy¶c
P
(
n;t
)znalezienia
n
cz
,
astekwczasie
tdla
¹
=0.
LechLonga
[ Pobierz całość w formacie PDF ]