Zadania Algebra, Algebra
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Algebra liniowa, 2015/16rok 1 – Matematyka, ćw. Marek PtakZadania 11. Czy działanie:R2×R2→R2określone wzorem(x1, x2)jest przemienne?2. Czy następujące działania są (1) łączne, (2) przemienne, (3) mają element neutralny?a) Działanie :A×A→Aokreślone wzoremab:=0,1(y1, y2) := (x1y1−x2y2, x1y2+x2y1)gdya+bjest liczbą parzystą,gdya+bjest liczbą nieparzystą,gdzieA={0,1, 2,. . . ,10}.b) Działanie:R2×R2→R2określone wzorem(x1, x2)3. Zbadać, czy (R,∗),gdziea∗b=a+b2(y1, y2) := (x1+y1, x2−y2)jest grupą.4. Wykazać, że (Z,◦),gdziea◦b=a+b+ 2 jest grupą.ab5. Działaniew zbiorzeR+jest określone wzorema b=a+b. Sprawdzić, że jest onoprzemienne i łączne. Wykazać, że działanie nie ma elementu neutralnego.6. Działaniejest określone w zbiorzeR+wzoremab= 5log5a·log5b.Sprawdzić, czy jest ono przemienne i łączne. Znaleźć element neutralny tego działania.Wyznaczyć elementy odwrotne do tych liczba∈R+, które taki element mają.7. Działanie jest określone w zbiorzeRwzorema b= log5(5a+ 5b). Sprawdzić, że jest onoprzemienne i łączne. Wykazać, że działanie to nie ma elementu neutralnego.8. Sprawdzić, że działanie∧określone w zbiorzeRwzorema∧b= max(a,b)jest przemiennei łączne. Wykazać, że działanie to nie ma elementu neutralnego.9. Sprawdzić, że działanie∨określone w zbiorzeRwzorema∨b= min(a,b)jest przemiennei łączne. Wykazać, że działanie to nie ma elementu neutralnego.10. Działanie w zbiorzeA={p,q, r, s, t}dane jest za pomocą tabelki:ppqrstqqpsqprrttsqssprtpttpspppqrstWskazać elementy odwrotne (o ile istnieją) do elementów zbioruA.1Algebra liniowa, 2015/16rok 1 – Matematyka, ćw. Marek Ptak11. Sprawdzić, czy dana para jest grupą (symbole ” + ” i ”·” oznaczają tu zwykłe dodawaniei mnożenie liczb z danego zbioru)a)b)c)d)e)f)(R, +);(R,·);(Z, +);(Z,·);(N, +);({−1, 1},·);g)h)i)j)k)l)(Q,·);(Q∗,·);(R∗,·);(R+,+);(R+,·);({5k∈R:k∈Z},·);m)n)o)p)q)((0, 1],·);({1,−1,i,−i}, ·);√(Q( 5), +);√(Q( 5),·);(, ).√√(Uwaga:Q(5) :={a+b5 :a.b∈Q}.)12. Sprawdzić, czy zbiórRwraz z działaniema◦b=a+b+ 5 tworzy grupę.13. Sprawdzić, czy zbiórRwraz z działaniema◦b=ab−a−b+ 2 tworzy grupę.14. NiechD:=R\ {0,1} i niech dlai= 1,. . . ,6 funkcjef:D→Dbędą określone wzorami:f1(x) =x,f4(x) =1,xf2(x) =1,1−xx−1,xxf6(x) =.x−1f3(x) =f5(x) = 1−x,Sprawdzić, że składanie funkcji◦jest działaniem w zbiorzeG={f1, f2, f3, f4, f5, f6}(zbu-dować tabelkę tego działania). Czy para (G,◦)jest grupą?15. Rozwiązać równanie 3x = 5 wZ7.2Algebra liniowa, 2015/16rok 1 – Matematyka, ćw. Marek PtakZadania 21. Wykazać, że zbiór odwzorowań homograficznych, tzn. funkcji postaciy=ax+b,cx+dgdziea, b, c, d∈Riad−bc= 0, jest grupą względem składania przekształceń.2. Zbadać, czy zbiór tych bijekcjifzbioruRna siebie, które spełniają podany warunek, tworzygrupę przekształceń zbioruR:a)b)c)d)f(1) = 1;f(Q) =Q;f(R+)⊂R+;fjest funkcją rosnącą;e)fjest funkcją ściśle monotoniczną;f)fjest funkcją nieparzystą;g)f(x) =xdla prawie wszystkichx∈R.3. Sprawdzić, że rodzinaP(X)wszystkich podzbiorów zbioruXtworzy grupę abelową wzglę-dem działania·zwanego różnicą symetryczną i określanego wzoremA·B= (A\B)∪(B\A).(−1)aa4. Sprawdzić, że zbiórMmacierzy postacigdziea∈Z,tworzy grupę abelową(−1)awzględem mnożenia macierzy.5. W grupieGrozwiązać równanie:a)ax=b,b)ya=b.6. Niechn∈N.Udowodnić, że zbiórZnwraz z dodawaniem modulontworzy grupę abelową.7. Wyznaczyć wszystkie podgrupy grupyZ8.8. Wyznaczyć warstwy grupyZ12względem poniższej jej podgrupyH:a){0};b){0,6};c){0,4, 8};d){0,3, 6, 9};e){0,2, 4, 6, 8, 10};f)Z12.9. Sprawdzić, że dana funkcjaϕjest homomorfizmem grup. Wyznaczyć jądro i obraz tegohomomorfizmu:a)ϕ:Z→Z,ϕ(a)=an(n∈N);b)ϕ:R∗→R∗,ϕ(a)=a2;c)ϕ:R+→R,ϕ(a)= loga;d)ϕ:Z2→ {−1,1},ϕ(0)= 1,ϕ(−1)=−1;e)ϕ:C0,2→ C0,1,ϕ(f) =f|0,1;f)ϕ:C0,1→ C0,1, (ϕ(f ))(x) =f(x2).10. Sprawdzić, że dany zbiór liczb jest pierścieniem przemiennym względem zwykłego dodawaniai mnożenia liczb zawężonego do tego zbioru:a)R;b)Z;√c)Z[5](={a+b5∈R:a, b∈Z});√√33d)Z[2](={a+b2 +c34∈R:a, b, c∈Z}).3Algebra liniowa, 2015/16rok 1 – Matematyka, ćw. Marek Ptak11. Niech dla dowolnego przedziałuIosi rzeczywistej symbolCIoznacza zbiór wszystkich funk-cji ciągłychf:I→R.Sprawdzić, że dany zbiór funkcji tworzy pierścień przemienny wzglę-dem zwykłego dodawania i mnożenia funkcji zawężonego do tego zbioru. Czy pierścień tenma jedynkę?a)Ca,b;b){f ∈ Ca,b:f(a) =f(b)};c){f ∈ C0,∞: limf(x) = 0}.x→∞12. Zbadać, czy dany zbiórBjest podpierścieniem pierścieniaC0,1:a)B={f ∈ C0,1:f(1) = 0};b)B={f ∈ C0,1:f(0) = 1};1c)B={f ∈ C0,1:f(2)∈Q}.13. Sprawdzić, czy funkcjaϕ:C0,1→R,ϕ(f) =f(1) jest homomorfizmem pierścieni. Jeślitak, to wyznaczyć kerϕorazranϕ.14. NiechDnoznacza zbiór wszystkich izometrii własnychn-kątaforemnegoFna płaszczyźnie,przy czymn3 (Elementami zbioruDnsą takie izometrie płaszczyzny, poprzez któreobrazemn-kątaforemnegoFjestF.)a) Sprawdzić, że zbiórDntworzy grupę względem składania odwzorowań.b) Niechn-kątforemnyFbędzie umieszczony w prostokątnym układzie współrzędnychna płaszczyźnie w ten sposób, że jego środek pokrywa się z początkiem układuOoraz jeden z jego wierzchołków leży na dodatniej półosiOx.(Położenie takie w przy-padkachn= 3 orazn= 8 ilustruje poniższy rysunek.) Wykazać, że wtedyDn={id,a, a2, . . . , an−1, b, ba, . . . , ban−1},gdzieajest obrotem płaszczyzny wokół punktuOokąt2πw kierunku dodatnim, natomiastbjest symetrią względem osiOx.Wykazać, żenDn= 2nc) Sprawdzić, żean=idorazb2=id.d) Którą spośród izometriiid, a, a2, . . . , an−1, b, ba, . . . , ban−1jest iloczynabi ogólniejakb,gdziek∈ {0,1,. . . , n}.e) Zbudować tabelkę mnożenie dla grupyD3.f) Zbudować tabelkę mnożenie dla grupyD4.15. Sprawdź, czy zbiórRz działaniema∗b=a+b−5 tworzy grupę.16. W przedzialeA= (1, +∞) określamy działanie:a∗b=ab−a−b+ 2. Pokazać, że (A,∗)jest grupą.4Algebra liniowa, 2015/16rok 1 – Matematyka, ćw. Marek Ptak17. Sprawdzić, czy (R,⊕),gdziea⊕b:=a+b+ 4,jest grupą abelową. Czy działanieadane wzoremb:=a+b−ab,a, b∈Ra, b∈Rjest rozdzielne względem działania⊕?18. Sprawdzić, że zbiór macierzy postaci:na mnożenie.19. Sprawdzić, że zbiór macierzy postaci:du na mnożenie.20. Sprawdzić, że zbiór{z ∈C:z99= 1} tworzy z działaniem mnożenia grupę abelową.21. Sprawdzić, czy zbiór{0,4} jest podgrupą grupyZ8. Wyznaczyć warstwy grupyZ8względemtej podgrupy.22. Sprawdzić, czy zbiór{0,4, 8} jest podgrupą grupyZ12. Wyznaczyć warstwy grupyZ12wzglę-dem tej podgrupy.23. Sprawdzić, czy zbiórR2z działaniem (a,b)∗(c,d)= (ad,bc)stanowi grupę.24. Sprawdzić, czy zbiórRz działaniema∗b=a+b−1 tworzy grupę.25. W zbiorze liczb wymiernychQwprowadźmy działaniea⊕b=a+b+ 2. Wykazać, że (Q,⊕)jest grupą.26. W przedzialeA= (1, +∞) określamy działanie:a∗b=ab−a−b+ 2. Pokazać, że (A,∗)jest grupą.27. Sprawdzić, że zbiórT={z ∈C:|z|= 1} liczb zespolonych o module 1 jest grupą względemmnożenia liczb.28. Niech dlai= 1, 2, 3, 4 funkcjefi:R\ {0} →R\ {0}będą określone wzorami:f1(x) =x,f2(x) =−x,1f3(x) =x,1f4(x) =−x.1a:a∈Rtworzy grupę abelową ze względu0 11a�½1 0:a∈Ctworzy grupę abelową ze wzglę-0 0 1Sprawdzić, że składanie funkcji◦jest działaniem w zbiorzeG={f1, f2, f3, f4}(zbudowaćtabelkę tego działania). Czy para (G,◦)jest grupą?29. Udowodnić, że jeżeli (G1,∗)jest grupą, af:G1→G2jest bijekcją, to (G2,·)jest grupą zdziałaniem ”·” zdefiniowaną w następujący sposóba·b:=f f−1(a)∗f−1(b)dlaa, b∈G2.5 [ Pobierz całość w formacie PDF ]