Zadania do rozdzialu 6, Geodezja i Kartografia, Fizyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Zadania do rozdziału 6
Zad.6.1.
Wyprowadzić równanie ruchu drgań wahadła matematycznego. Oblicz okres T
wahadła matematycznego o długości l=10 m.
Rozwiązanie:
Wahadło matematyczne jest to punkt materialny (np. w postaci kulki K o masie m i bardzo
małym promieniu) zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici. Wychylając nić o
niewielki kąt β od położenia pionowego i puszczając swobodnie kulkę K wywołujemy jej
drgania dokoła położenia równowagi D.
W dalszych rozważaniach pomijać
będziemy siły oporu zakładając, że na
kulkę działa tylko siła ciężkości
F = .
Siłę tę rozkładamy na dwie składowe.
Jedna z nich F
2
działa wzdłuż nici
powodując tylko jej naprężenie, druga F
1
styczna do toru wahadła, wywołuje jego
ruch w kierunku punktu równowagi D z
przyspieszeniem a. Przyspieszenie liniowe
a obliczamy ze wzoru
a
=
a
=
ε
x
l
=
ε
⋅
l
gdzie ε
G
to wektor przyspieszenia
kątowego wahadła, którego wartość
wynosi:
ε
=
d β
2
dt
2
Zatem
a
β
=
d
2
⋅
l
2
dt
Przyspieszenie a wywołuje siła
F
1
= sin
⋅
β
.
Stosując II zasadę dynamiki Newtona dla ruchu postępowego otrzymujemy
m −
⋅
a
=
F
140
mg
G
G
G
F
Znak (-) przy F
1
bo wektor
F
G
jest przeciwnie skierowany do wychylenia β.
m
⋅
d
2
β
⋅
l
=
−
mg
⋅
sin
β
2
dt
d
2
β
g
=
−
⋅
sin
ϕ
(1)
2
l
dt
Widzimy, że powyższe równanie ruchu wahadła matematycznego nie jest równaniem ruchu
drgań harmonicznych o ogólnej postaci
d
2
A
2
=
−
ω
o
A
(2)
2
dt
Gdy kąty β wychylenia nici od położenia pionowego są małe (nie przekraczają 5-6
o
),
wówczas dla β mierzonego w radianach zachodzi
sin
β
≈
β
Wtedy równanie (1) przyjmuje postać
d
2
β
g
=
−
ϕ
(3)
2
l
dt
Równanie (3) jest równaniem drgań harmonicznych wahadła matematycznego. Porównując
(2) i (3) widzimy, że
o
ω
2
g
l
π
=ω gdzie T – okres drgań
2
o
T
Stąd
l
T π=
g
T
=
2
π
l
0
m
≈
2
π
s
≈
6
28
s
2
9
81
m
/
s
Okres drgań wahadła matematycznego o długości l=10 m wynosi 6.28 s.
Zad.6.2.
Wyprowadź równanie ruchu drgań wahadła fizycznego wokół osi 0 umieszczonej w
odległości d od środka ciężkości S tego wahadła. Masa wahadła wynosi m zaś moment
bezwładności wynosi I.
141
Rozwiązanie:
Wahadło fizyczne jest to bryła sztywna
dowolnego kształtu o środku ciężkości w
punkcie S, zawieszona w ten sposób, że
może się obracać bez tarcia dookoła osi
poziomej przechodzącej przez punkt 0.
Odległość 0S od środka ciężkości
do osi obrotu oznaczmy przez d, masę
bryły przez m, zaś moment bezwładności
bryły względem osi obrotu przez I.
Na rysunku wahadło jest już
wychylone od położenia równowagi.
Miarą wychylenia jest kąt θ oznaczony na rysunku. W tym położeniu na wahadło działa
moment siły ciężkości M, równy
M
=
M
=
d
x
F
=
−
mgd
sin
θ
.
Moment M skierowuje wahadło w stronę położenia równowagi (przeciwnie do wychylenia θ)
co uwzględnia znak (-).
Stosując drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego bryły sztywnej otrzymujemy
M
I =
ε⋅
I
⋅
d
2
θ
=
mgd
⋅
sin
θ
2
dt
d
2
θ
mgd
=
⋅
sin
θ
(1)
2
I
dt
Widzimy, że powyższe równanie ruchu wahadła fizycznego nie jest równaniem ruchu drgań
harmonicznych o ogólnej postaci
d
2
A
2
=
−
ω
o
A
(2)
2
dt
Gdy kąty θ wychylenia wahadła od położenia pionowego są małe (nie przekraczają 5-6
o
),
wówczas dla θ mierzonego w radianach zachodzi
sin
θ
≈
θ
Wtedy równanie (1) przyjmuje postać
142
G
G
G
d
2
θ
=
−
mgd
θ
(3)
2
l
dt
Równanie (3) jest równaniem drgań harmonicznych wahadła fizycznego. Porównując (2) i (3)
widzimy, że częstość kołowa ω drgań własnych wahadła fizycznego wynosi
ω
o
=
mgd
l
Iloczyn mgd jest maksymalną wartością momentu siły ciężkości odpowiadającą wychyleniu
=θ od położenia równowagi. Nazywamy ją momentem kierującym
wahadła i oznaczamy literą D:
90
o
D=mgd.
Zatem
ω
o
=
D
, zaś okres drgań
l
l
T π=
D
Zauważmy, że wahadło matematyczne (zad.6.1) można uważać za przypadek szczególny
wahadła fizycznego. Podstawiając
I = i D=mgl otrzymujemy znany wzór na okres
ml
2
wahadła matematycznego:
ml
2
l
T
=
2
π
=
2
π
mgl
g
Zad.6.3.
Rura o przekroju S = 0,3 cm
2
zgięta w kształcie litery U wypełniona jest słupem
cieczy o masie m = 121 g i gęstości ρ = 13,6 g/cm
3
.Ciecz wytrącono z położenia równowagi.
Czy drgania będą harmoniczne? Od czego zależy okres T drgań.
Rozwiązanie:
Gdy wytrącimy ciecz z równowagi o x to
na całą masę m cieczy działa siła
( )
x
=
−
2
x
⋅
S
⋅
ρ
⋅
g
powodująca powrót
cieczy do położenia równowagi.
Stosując drugą zasadę dynamiki Newtona
dla tego układu otrzymujemy
( )
m =
⋅
F
x
(1)
143
wahadła o kąt
F
Wiedząc, że
d
a = (1) możemy zapisać:
2
x
dt
2
m
⋅
d
2
x
=
−
2
x
⋅
S
⋅
ρ
⋅
g
2
dt
d
2
x
=
−
2
⋅
S
⋅
ρ
⋅
g
⋅
x
(2)
2
m
dt
Widzimy, że równanie ruchu drgań słupa cieczy w U-rurce jest równaniem ruchu drgań
harmonicznych o ogólnej postaci
d
2
A
2
=
−
ω
o
A
(3)
2
dt
Porównując (2) i (3) obliczamy
ω
=
2
ρ
g
,
oraz
o
m
T
=
2
π
m
2
ρ
p
T
=
2
π
0
121
kg
≅
0
s
−
4
2
3
3
2
2
⋅
(
0
⋅
10
)
m
(
13
,
⋅
10
)
kg
/
m
⋅
9
81
m
/
s
Zad.6.4.
Obliczyć logarytmiczny dektrement tłumienia λ drgań, jeżeli w ciągu t = 10 s trwania
ruchu, energia mechaniczna drgającej na sprężynie o stałej sprężystości k masy m maleje do
połowy. Okres drgań ruchu tłumionego wynosi T = 2 s.
Rozwiązanie:
A
o
e
−
t
Z definicji
λ
=
ln
=
β
T
( )
−
t
+
T
A
e
o
Dla chwili t
1
=0 amplituda drgań wnosi:
A
1
=
A
o
e
−
t
1
=
A
o
Dla chwili t
2
=t amplituda drgań wynosi:
A
2
=
A
o
e
−
t
Energia mechaniczna E w każdej chwili t drgań jest równa sumie energii potencjalnej E
p
i
kinetycznej E
k
i wynosi:
E
=
E
p
+
E
k
=
1
kA
2
2
gdzie A to amplituda drgań w danej chwili.
144
[ Pobierz całość w formacie PDF ]