Zadania do rozdzialu 7, Geodezja i Kartografia, Fizyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Zadania do rozdziału 7.
Zad.7.1.
W wierzchołkach kwadratu o bokach a umieszczono jednakowe ładunku –q. Jaki
ładunek Q o znaku przeciwnym trzeba umieścić w środku kwadratu, aby siła wypadkowa
działająca na każdy ładunek była równa zeru?
Rozwiązanie:
Rozpatrzmy siły działające na ładunek 1. Pozostanie on w równowadze, jeżeli suma sił nań
działających będzie równa zeru.
F
+
F
+
F
+
F
G
=
0
2
3
4
5
Powyższy warunek jest równoważny
F
+
F
=
F
(*)
3
5
gdzie
F
=
F
2
2
+
F
2
4
Zgodnie z prawem Coulomba
q
2
q
2
2
F
=
F
=
;
F
=
2
4
2
2
4
πε
a
4
πε
a
q
2
q
2
F
=
=
3
( )
2
2
4
πε
a
2
8
πε
a
F
=
qQ
=
qQ
5
2
2

a
2

2
πε
a
4
πε




2
Po podstawieniu powyższych wyrażeń do
równania (*) otrzymamy:
q
2
2
q
2
qQ
+
=
4
πε
a
2
8
πε
a
2
2
πε
a
2
i stąd
q
Q +
4
( )
2
2
23
G
G
G
G
G
G
G
=
1
Taki sam tok rozumowania można zastosować dla każdego ładunku Q umieszczonego w
pozostałych wierzchołkach kwadratu.
Zad.7.2.
Cztery jednakowe ładunki q umieszczono w narożach kwadratu o bokach a. Znaleźć
natężenie i potencjał pola elektrycznego w środku kwadratu?
Rozwiązanie:
Natężenie pola elektrycznego E
G
w środku
kwadratu wynosi:
E
=
E
G
+
E
+
E
+
E
G
,
gdzie:
1
2
3
4
E
=
G
E
=
1
Q
1
=
1
⋅
q
⋅
4
=
q
1
1
4
πε
2
1
4
πε
2
2
r
a
⋅
2
2
πε
a
E
=
G
E
=
1
Q
2
=
1
⋅
q
⋅
4
=
q
2
2
4
πε
2
2
4
πε
2
2
r
a
⋅
2
2
πε
a
E
=
G
E
=
1
Q
3
=
1
⋅
q
⋅
4
=
q
3
3
4
πε
2
3
4
πε
2
2
r
a
⋅
2
2
πε
a
E
=
G
E
=
1
Q
4
=
1
⋅
q
⋅
4
=
q
4
4
4
πε
2
4
4
πε
2
2
r
a
⋅
2
2
πε
a
=
Z geometrii układu ładunków wynika, że
E
1
E
2
=
E
3
=
E
4
.
E
=
−
E
i
E
=
−
E
G
,
1
3
4
2
Zatem natężenie pola E
G
w środku kwadratu wynosi:
E
=
E
+
E
+
E
+
E
G
=
0
1
2
3
4
Potencjał V pola elektrycznego w środku kwadratu wynosi:
V
=
V
1
+
V
2
+
V
3
+
V
4
,
gdzie:
V
=
1
⋅
Q
1
=
1
q
⋅
2
=
q
2
1
4
πε
r
4
πε
a
2
4
πε
a
1
V
=
1
⋅
Q
2
=
1
q
⋅
2
=
q
2
2
4
πε
r
4
πε
a
2
4
πε
a
2
V
=
1
⋅
Q
3
=
1
q
⋅
2
=
q
2
3
4
πε
r
4
πε
a
2
4
πε
a
3
24
G
G
G
Widzimy, że
G
G
G
G
G
G
G
V
=
1
⋅
Q
4
=
1
q
⋅
2
=
q
2
4
4
πε
r
4
πε
a
2
4
πε
a
4
Widzimy, że
V
1
=
V
2
=
V
3
=
V
4
.
Potencjał V pola elektrycznego w środku kwadratu wynosi
V
=
V
+
V
+
V
+
V
=
4
q
2
=
q
2
1
2
3
4
4
πε
a
πε
a
Zad.7.3.
Obliczyć potencjał pola elektrycznego w punkcie o współrzędnych (x,y), dla układu
trzech ładunków:
Q
1
=
q
,
Q
2
=
2
2
q
,
Q
3
=
−
q
umieszczonych w punktach o
współrzędnych:
( ) ( ) ( )
Q
1
0
a
,
Q
2
0
,
Q
3
a
,
. Wyznaczyć V dla punktu P(a,a).
Rozwiązanie:
Całkowity potencjał pola elektrycznego V(x,y) w dowolnym punkcie P(x,y), można
przedstawić jako sumę potencjałów
( ) ( ) ( )
V
r
1
,
V
r
2
i
V
r
3
wytworzonych w tym punkcie przez
każdy z ładunków z osobna
( ) ( ) ( ) ( )
V
x
,
y
=
V
r
1
+
V
r
2
+
V
r
3
V
()
r
=
1
Q
1
=
1
q
1
4
πε
r
4
πε
r
1
1
V
()
r
=
1
Q
2
=
1
2
2
q
2
4
πε
r
4
πε
r
2
2
V
()
r
3
=
1
Q
3
=
−
1
q
4
πε
r
4
πε
r
3
3
25
Ale
r
1
=
x
2
+
( )
2
y
−
a
r
2
=
x
2
+
y
2
r
3
=
( )
x
−
a
2
+
y
2
Zatem
( )
q

1
2
2
1

V
x
,
y
=
+
−


4
πε
2
( )
2
2
2
( )
2
2

x
+
y
−
a
x
+
y
x
−
a
+
y

Potencjał w punkcie P(a,a) wynosi
V
( )
,
a
=
q


1
+
2
2
−
1


4
πε
a
a
2
a
V
( )
,
a
=
q
2
πε
a
Zad.7.4.
Obliczyć natężenie pola elektrycznego w otoczeniu tzw. dipola elektrycznego, tj.
układu dwóch różnoimiennych, jednakowych co do wartości ładunków elektrycznych
+Q i –Q, rozsuniętych na odległość a, biorąc pod uwagę tylko punkty leżące na osi dipola
(patrz rysunek).
Rozwiązanie:
-Q 0 +Q E_ A E
+
oś dipola
a
r
Weźmy pod uwagę punkt A leżący na osi dipola w odległości r od jego środka 0. Natężenie
E
G
pola w punkcie A jest wypadkową natężeń pól wytwarzanych w punkcie A przez
ładunek +Q i –Q. Oba natężenia
E
+
E
i
G
są skierowane wzdłuż tej samej prostej, lecz mają
−
zwroty przeciwne, a zatem ich suma geometryczna sprowadza się do różnicy arytmetycznej:
E
A
G
= E
E
G
+
+
G
−
E
=
1
⋅
Q
−
1
⋅
Q
,
A
4
πε
( ) ( )
2
2
4
πε
r
−
a
/
2
r
+
a
/
2
Q
( ) ( )
( ) ( )
2
r
+
a
/
2
2
−
r
−
a
/
2
2
E
=
⋅
,
A
4
πε
2
r
+
a
/
2
r
−
a
/
2
26




a
a
A
G
Q
r
2
+
ra
+
a
2
/
4
−
r
2
+
ra
−
a
2
/
4
E
=
⋅
,
A
( )
2
4
πε
2
2
r
−
a
/
4
E
=
1
⋅
2
Qra
A
( )
2
4
πε
2
2
r
−
a
/
4
Takie jest wyrażenie ogólne na natężenie pola w punktach leżących na osi dipola. Dla
punktów leżących daleko od ładunków dipola (tzn. gdy r>>a) otrzymujemy wzór przybliżony
E
≈
1
2
Qa
.
4
πε
3
r
Iloczyn ładunku Q dipola i odległości a nazywamy momentem dipola. Tę nową wielkość
traktujemy jako wektor o kierunku od ładunku ujemnego do ładunku dodatniego dipola i
oznaczamy symbolem p
G
.
A zatem natężenie pola elektrycznego w punktach leżących na osi dipola w odległości r
znacznie większej od a wynosi
E
≅
1
2
p
4
πε
r
3
Zad.7.5.
Na powłoce kulistej o promieniu R rozmieszczone są równomiernie ładunki
elektryczne z gęstością powierzchniową σ. Znaleźć natężenie pola i potencjał w odległości r
od środka kuli.
Rozwiązanie:
Gęstość powierzchniowa σ ładunku mówi nam jaki ładunek elektryczny jest umieszczony na
jednostce powierzchni ciała.
σ
=
dq

C



ds
m
2
Na powłoce kulistej o promieniu R umieszczony jest ładunek Q
Q ⋅
=
σ
S
gdzie
S π
= - pole powierzchni kuli.
R
2
Ładunek ten umieszczony jest tylko na powierzchni kuli tak, że wewnątrz kuli jak i na
zewnątrz nie ma innych ładunków.
27
4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]