Zadania do rozdzialu 8, Geodezja i Kartografia, Fizyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Zadania do rozdziału 8.
Zad.8.1.
Elektron (o masie
m
=
9
⋅
10
−
31
kg
i ładunku elektrycznym
e
=
1
⋅
10
−
19
C
) wpada
z prędkością
υ
=
10
7
m
/
s
w obszar jednorodnego pola magnetycznego o indukcji
B
−
= prostopadle do linii sił tego pola. Znaleźć tor ruchu elektronu w polu
T
magnetycznym.
Rozwiązanie:
Na elektron poruszający się z prędkością
υ
G
w polu
G
działa siła Lorentza
F
G
,
F
=
−
e
( )
x
B
;
F
=
F
=
e
υ
B
L
L
L
która jest skierowana prostopadle do
wektorów
G
i υ
G
.
Siła F
G
działa tak, jak siła dośrodkowa
( )
⊥
G
, a ięc zakrzywia tor elektronu.
Na poruszający się elektron o masie m z prędkością υ po torze o krzywiźnie r działa z kolei
siła odśrodkowa F
= ,
2
F
m
r
która działa wzdłuż tej samej prostej co siła F
L
ale jest przeciwnie do niej skierowana.
Zatem elektron w polu magnetycznym zadania będzie poruszał się po okręgu o promieniu r w
płaszczyźnie prostopadłej do
G
.
Promień tego okręgu wyliczymy z warunku:
F
L
=
F
co czyni:
υ
2
e
υ
B
=
m
r
Stąd
r
=
m
eB
57
10
G
G
υ
G
G
G
F
 9
⋅
10
−
31
kg
⋅
10
7
m
/
s
r
=
1
⋅
10
−
19
C
⋅
10
−
2
T
Ale
[]
T
=

N

;
[]
[ ]
N
=
kg
⋅
m
/
s
2
C
⋅
m
/
s
kg
⋅
m
/
s
⋅
C
⋅
m
/
s
−
3
kg
⋅
m
/
s
2
⋅
m
Zatem
r
=
5
=
5
⋅
10
C
⋅
N
2
kg
⋅
m
/
s
r
=
5
7
⋅
10
−
m
Zad.8.2.
Oblicz siły działania jednorodnego pola magnetycznego o indukcji
G
na osadzoną na
osi 00’ prostokątną ramkę ABCD z drutu o długościach boków a i b. Oś obrotu przechodzi
przez bok a i jest symetralną ramki. Przez ramkę płynie prąd I.
Rozwiązanie:
a)
Załóżmy, że w pierwszej chwili powierzchnia ramki jest równoległa do linii siły indukcji
G
.
Korzystamy ze wzoru na siłę F
G
działającą
na prostoliniowy przewodnik o długości l z
prądem I w polu magnetycznym
G
.
( )
F
=
I
G
x
B
G
;
F
=
F
=
BIl
sin
α
gdzie l
G
to wektor o długości l i zwrocie
wyznaczonym przez kierunek prądu I, zaś
α to kąt między wektorami
l
G
B
.
Ponieważ dla boku scharakteryzowanego
wektorem
a
G
α = 0 (sinα = 0), a dla boku
1
a
G
α = π (sinα=0) dlatego na boki te nie
2
działają żadne siły.
Rys.a.
Na boki
b
i
b
działają odpowiednio siły
=
prostopadłe do płaszczyzny rys. a,
F
F
F
1
2
1
2
tworząc parę sił.
Dla
b
G
;
π
=α (sinα = 1) i wtedy
2
F
1
= , zaś
BIb
58


G
l
G
G
G
G
dla
b
G
; π
α
=
3
(sinα = -1) i wtedy
F
2
= .
−
BIb
2
2
Ta para sił działa na ramkę momentem obrotowym
G
G
a
G
a
G
1
2
M
=
x
F
+
x
F
1
2
2
2
M
=
M
G
=
a
⋅
F
⋅
sin
β
a
G
a
G
1
2
gdzie β to kąt między
i
F
. Kąt ten jest również zawarty między
i
F
2
(patrz rys.a).
2
2
Ponieważ w rozważanym przypadku
β , dlatego
=
π
2
M =
=
a
⋅
F
BIba
Moment pary sił M obraca ramkę wokół osi obrotu 00’. Podczas obrotu kąt β maleje, więc i
moment M powodujący ruch ramki maleje w myśl wzoru
β
M
= sin
BIba
Gdy β = 0 (wtedy płaszczyzna ramki jest prostopadła do
G
) to
M = 0
Zobaczmy jakie siły działają na ramkę w tym położeniu.
b) Ramka w położeniu prostopadłym do linii sił pola
G
.
W tym położeniu na ramkę działają cztery
siły
F
,
F
,
F
i
F
1
2
3
4
F
=
G
−
F
;
F
=
F
=
BIb
1
2
1
2
oraz
F
G
=
G
−
F
;
F
=
F
=
BIa
4
3
3
4
Siły te, jak widzimy na rys.b, dążą do
rozciągnięcia ramki, lecz nie nadają jej
ruchu obrotowego bo
M = 0
Rys.b.
59
G
G
G
G
1
G
G
G
G
G
 Zad. 8.3.
W prostoliniowym przewodniku o długości l płynie prąd o natężeniu I. Wyznaczyć
wartość indukcji magnetycznej
G
w punkcie A odległym o r
o
od przewodnika. Punkt A jest
tak usytuowany w przestrzeni, że z tego punktu końce M i N przewodnika widać odpowiednio
1
i ϕ (patrz rysunek).
Rozwiązanie:
2
Indukcję magnetyczną
G
w punkcie A
obliczamy z prawa B-S-L.
B
=
∫
µ
o
µ
r
I
d
G
l
x
K
4
π
3
r
po
calej
dlugości
przewodnik
a
l
W naszym konkretnym przypadku B
możemy przedstawić jako:
B
=
∫
µ
o
µ
r
I
ϕ
dl
(1)
4
π
2
r
po
calej
dlugości
przewodnik
a
l
Ale z trójkąta AEB wynika, że
r
=
sin
r
o
(2)
ϕ
Z trójkąta DCB otrzymujemy:
BC
= sin
ϕ
, gdzie BC możemy obliczyć z definicji kąta łukowego
BC
= d
ϕ
r
Zatem
dl
ϕ
=
sin
rd
(3)
ϕ
Podstawiając (2) i (3) do (1) otrzymujemy:
ϕ
2
µ
o
µ
r
sin
2
ϕ
r
o
ϕ
B
=
∫
⋅
I
sin
ϕ
o
sin
ϕ
sin
ϕ
4
π
r
ϕ
1
ϕ
2
µ
o
µ
r
B
=
∫
⋅
I
sin
ϕ
d
ϕ
4
π
r
ϕ
o
1
60
pod kątami
G
r
dl
d
 µ
o
µ
r
I
ϕ
2
B
=
∫
sin
ϕ
d
ϕ
4
π
r
o
ϕ
1
µ
o
µ
r
I
( )
ϕ
2
µ
o
µ
r
I
(
)
B
=
−
cos
ϕ
=
cos
ϕ
−
cos
ϕ
1
2
4
π
r
4
π
r
o
o
ϕ
1
Gdy przewodnik jest nieskończenie długi to
ϕ
1
=
0
a
ϕ
2
=
π
Wtedy
B
=
µ
o
µ
r
I
[ ]
1
−
()
1
4
π
r
o
B
µ
=
o
µ
r
I
2
π
r
o
Zad. 8.4
Dana jest prostokątna ramka o bokach a i b, w której płynie stały prąd elektryczny o
natężeniu I. Znaleźć kierunek i wartość wektora indukcji magnetycznej
G
w środku ramki.
Rozwiązanie:
Z prawa B-S-L wynika, że
G
w środku ramki jest wektorową sumą
B
,
B
,
B
i
B
1
2
3
4
wektorów indukcji pochodzących od poszczególnych boków ramki.
Wektory
B
,
B
,
B
i
B
leżą wszystkie na jednej prostej, prostopadłej do płaszczyzny ramki
1
2
3
4
i przechodzącej przez jej środek.
Zwroty tych wektorów są zgodne i są skierowane w stronę czytelnika.
Zatem
61
−
G
G
G
G
G
G
G
G
[ Pobierz całość w formacie PDF ]