Zadania do samodzielnego rozwiązania - naprężenia, studia budownictwo PB PWSZ, Wytrzymałość materiałów
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Przykład 6.5. Zadania do samodzielnego rozwiązania
ZADANIE 1.
Dla następującego stanu naprężenia

0
14
0



σ
=

14
0
14

[
MPa
]

0
14
0



obliczyć naprężenia główne. Zilustrować stan naprężenia na rysunku w układzie wyjściowym
oraz po obrocie do osi głównych.
ZADANIE 2.
Dla podanych tensorów naprężenia wyznaczyć: naprężenia główne
i odpowiadające im kierunki główne; wektory naprężenia
p
, wektory naprężenia normalnego
n
σ oraz wektory naprężenia stycznego
τ w przekroju określonym wektorem normalnym
n
.

3
2
−
1



a)
σ
=

2
6
0

[
MPa
]
,
n
=
[ −
2
3
;

−
1
0
1




2
0
1



b)
σ
=

0
−
1
3

[
MPa
]
,
n
=
[
1
,
1
,
1
]
2
2
2

1
3
2



c)
σ
=

4
−
2

[
MPa
]
,
n
=
[ −
1
.


−
2
1
ZADANIE 3.
W pewnym punkcie na powierzchni ciała określono stan odkształcenia,
mierząc wydłużenia ε , ε , ε w trzech kierunkach:
a
,
b
,
c
. Znaleźć składowe stanu
odkształcenia w układzie osi
xy
oraz odkszałcenia główne.
y
y
b
c
b
60°
45°
150°
a
45°
30°
a)
b)
x
a
x
c
 ZADANIE 4.
Sprawdzić, czy poniższe związki mogą opisywać stan naprężenia dla ciała
będącego w równowadze, gdy składowe sił masowych
f
i
=
0
a)
σ
=
y
7
2
−
5
,
σ ,
y
=
−
5
y
τ
xy
=
x
5 +
8
;
b)
11
6
=
x
+
3
x
2
,
σ
22
4
x
=
x
1
2
,
σ ,
33
=
4
σ ,
12
=
−
10
σ
13
8
=
x
+
2
x
3
x
1
,
σ
23
=
−
8
x
+
1
x
2
.
ZADANIE 5.
Sprawdzić, czy następujące równania mogą opisywać stan odkształcenia:
a)
ε
11
=
k
+
x
3
( )
x
1
x
2
,
ε
22
=
k
x
3
,
ε
12
=
k
x
1
x
2
,
ε
13
= ε
ε
23
=
33
=
0
.
b)
ε
11
4
=
( )
x
+
1
x
2
,
ε
22
=
k
x
3
,
ε
12
5
x
=
x
1
2
,
ε
13
= ε
ε
23
=
33
=
0
.
Wskazówka
: Wykorzystać równania nierozdzielności odkształceń:
∂
2
ε
∂
2
ε
∂
2
ε
∂
2
ε
∂
2
ε
∂
2
ε
∂
2
ε
yy
xy
xy
yz
xx
+
=
2
+
xz
−
=
xx
∂
y
2
∂
x
2
∂
y
∂
x
∂
x
∂
z
∂
x
∂
y
2
∂
y
∂
z
∂
x
∂
2
ε
∂
2
ε
∂
2
ε
∂
2
ε
∂
2
ε
∂
2
ε
∂
2
ε
yz
xy
yy
yy
yz
+
zz
=
2
+
−
xz
=
2
2
∂
y
∂
z
∂
x
∂
y
∂
y
∂
z
∂
y
2
∂
x
∂
z
∂
z
∂
y
∂
2
ε
∂
2
ε
∂
2
ε
∂
2
ε
∂
2
ε
∂
2
ε
∂
2
ε
zz
xx
xz
yz
xy
+
=
2
xz
+
−
=
zz
2
2
∂
x
∂
z
∂
x
∂
z
∂
y
∂
z
∂
x
∂
z
2
∂
x
∂
y
∂
z
ZADANIE 6.
Jaki warunek musi spełniać funkcja
( )
ϕ , aby poniższe równania mogły
x
1
,
x
2
opisywać stan odkształcenia
∂
ε = ,
2
ϕ
∂
ε = ,
2
ϕ
∂
2
ϕ
ε −
=
,
ε
= ε
ε
=
=
0
.
11
2
2
22
2
1
12
∂
x
∂
x
13
23
33
∂
∂
1
2
ZADANIE 7.
Dla pola przemieszczeń opisanego funkcjami:
a)
u
1
=
2
x
2
1
+
3
x
2
−
2
x
3
,
u
−
2
=
x
2
2
3
x
3
,
u
3
=
−
x
2
3
+
2
x
1
+
3
x
2
b)
u
= ,
1
4
x
x
2
1
3
u
2
=
2
x
2
2
+
x
1
x
3
,
u
3
=
−
2
x
1
+
6
x
2
3
.
c)
u
1
=
4
x
2
1
−
x
1
x
2
,
u
2
=
−
3
x
1
+
x
2
2
,
u
3
=
0
znaleźć tensor naprężenia w punkcie o współrzędnych (1,2,3), naprężenia główne w tym
punkcie, siły masowe, składowe wektora naprężenia na płaszczyźnie o równaniu
x
2
= 2.
Materiał jest izotropowy, a stałe sprężystości wynoszą: E, ν.
2
σ
[ Pobierz całość w formacie PDF ]