Zadania maturalne z matematyki- stereometria poziom podstawowy, zadania maturalne, Dokumenty
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
STEREOMETRIA
Poziom podstawowy
Zadanie 1
( 8 pkt. )
W stoŇku tworzĢca o dþugoĻci 16 jest nachylona do powierzchni podstawy pod kĢtem,
ktrego tangens jest rwny
4
3
. Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy
tego stoŇka.
Zadanie 2
( 3 pkt. )
ProstokĢtny arkusz blachy o wymiarach 40 cm na 60 cm jest rozwiniħciem powierzchni
bocznej walca. Oblicz objħtoĻę walca, ktrego wysokoĻę jest rwna krtszemu bokowi
prostokĢta.
Zadanie 3
( 7 pkt. )
ObjħtoĻę prostopadþoĻcianu, ktrego wysokoĻę ma dþugoĻę 10 cm, rwna siħ 480 cm
3
.
Stosunek dþugoĻci krawħdzi podstawy wynosi 3 : 4. Wyznacz miarħ kĢta nachylenia
przekĢtnej prostopadþoĻcianu do pþaszczyzny podstawy. SporzĢdŅ rysunek prostopadþoĻcianu
i zaznacz szukany kĢt.
Zadanie 4
( 6 pkt. )
Asia chce rozlaę 8 l soku malinowego do sþoiczkw w ksztaþcie graniastosþupa prawidþowego
szeĻciokĢtnego, ktrych wysokoĻę jest rwna dþuŇszej przekĢtnej podstawy. Wykonaj
odpowiednie obliczenia i odpowiedz, czy wystarczy jej 26 sþoiczkw, jeĻli wysokoĻę kaŇdego
z nich jest rwna 0,8 dm?
Zadanie 5
( 5 pkt. )
KrawħdŅ podstawy ostrosþupa prawidþowego czworokĢtnego ma dþugoĻę 6 cm. Pole
powierzchni caþkowitej tego ostrosþupa jest rwne 108 cm
2
. Wyznacz miarħ kĢta nachylenia
Ļciany bocznej do pþaszczyzny podstawy. SporzĢdŅ rysunek ostrosþupa i zaznacz szukany kĢt.
Zadanie 6
( 6 pkt. )
Dach pewnej budowli ma ksztaþt ostrosþupa prawidþowego szeĻciokĢtnego. KrawħdŅ boczna
tego ostrosþupa ma dþugoĻę b, a miara kĢta nachylenia tej krawħdzi do pþaszczyzny podstawy
wynosi a. Wyznacz objħtoĻę tego ostrosþupa i tangens kĢta dwuĻciennego miħdzy ĻcianĢ
bocznĢ a pþaszczyznĢ podstawy.
Zadanie 7
( 4 pkt. )
Agnieszka, planujĢc wycieczkħ za miasto, postanowiþa kupię termos. W sklepie byþy dwa
rodzaje termosw: biaþe i czerwone. Biaþy termos miaþ Ļrednicħ dwa razy wiħkszĢ niŇ
czerwony, ale za to byþ dwa razy niŇszy.
a)
Ktry z termosw ma wiħkszĢ pojemnoĻę? OdpowiedŅ uzasadnij.
b)
PojemnoĻę czerwonego termosu jest rwna 0,75 litra. Jaka jest pojemnoĻę biaþego
termosu?
 Zadanie 8
( 5 pkt. )
Oblicz objħtoĻę bryþy pokazanej na rysunku. Wymiary podane sĢ w milimetrach.
Poziom rozszerzony
Zadanie 1
( 8 pkt. )
W ostrosþupie prawidþowym trjkĢtnym, ktrego krawħdzie majĢ dþugoĻę a, poprowadzono
pþaszczyznħ przechodzĢcĢ przez krawħdŅ podstawy i Ļrodek przeciwlegþej krawħdzi bocznej.
Pþaszczyzna przekroju nachylona jest do pþaszczyzny podstawy pod kĢtem a.
a)
WykaŇ, Ňe
cos
a
6
.
3
b)
SporzĢdŅ rysunek ostrosþupa i zaznacz kĢt a.
Zadanie 2
( 4 pkt. )
Ostrosþup Ļciħty to czħĻę ostrosþupa zawarta miħdzy jego podstawĢ i przekrojem pþaszczyznĢ
rwnolegþa do podstawy. ĺciany boczne ostrosþupa Ļciħtego sĢ trapezami, a podstawy
wielokĢtami podobnymi.
Ostrosþup prawidþowy o objħtoĻci V = 216 cm
3
przeciħto pþaszczyznĢ rwnolegþĢ do
podstawy, dzielĢcĢ wysokoĻę tego ostrosþupa w stosunku 12, liczĢc od jego wierzchoþka.
Oblicz objħtoĻę ostrosþupa Ļciħtego.
®ABC . Promieı
okrħgu opisanego na tym trjkĢcie ma dþugoĻę R. TrjkĢt obracamy wokþ boku BC. Oblicz
objħtoĻę otrzymanej bryþy obrotowej.
®BCA ,
a
®BAC , zaĻ
=
b
>
90
A
Zadanie 4
( 3 pkt. )
JakĢ figurĢ jest przekrj szeĻcianu pþaszczyznĢ przechodzĢcĢ przez Ļrodki dwch sĢsiednich
krawħdzi i Ļrodek symetrii szeĻcianu? Oblicz pole tego przekroju, przyjmujĢc, Ňe krawħdŅ
szeĻcianu ma dþugoĻę a. Wykonaj rysunek.
Zadanie 5
( 6 pkt. )
PrzekĢtna przekroju osiowego walca ma dþugoĻę d i jest nachylona do pþaszczyzny podstawy
pod kĢtem a. W walec wpisano graniastosþup prawidþowy szeĻciokĢtny. Oblicz pole
powierzchni tego graniastosþupa i dþugoĻę jego krtszej przekĢtnej.
Zadanie 3
( 6 pkt. )
Dany jest trjkĢt ABC, w ktrym
=
Zadanie 6
( 10 pkt. )
W prostopadþoĻcianie przekĢtne Ļcian bocznych poprowadzone z tego samego wierzchoþka
majĢ dþugoĻci rwne 5 i 4. KĢt, ktrego ramiona zawierajĢ te przekĢtne, ma miarħ 60
0
. Oblicz
sinus kĢta nachylenia przekroju prostopadþoĻcianu wyznaczonego przez te przekĢtne do
podstawy tego prostopadþoĻcianu.
SCHEMAT PUNKTOWANIA Î STEREOMETRIA
Poziom podstawowy
Numer
zadania
Etapy rozwiĢzania zadania
Liczba
punktw
Wykonanie rysunku lub przyjħcie oznaczeı, np. h- dþugoĻę wysokoĻci
stoŇka, r- dþugoĻę promienia podstawy.
1
Zapisanie ukþadu rwnaı pozwalajĢcego wyznaczyę wysokoĻę stoŇka
Ë
h
=
3
2
i promieı jego podstawy:
r
4
.
Ì
h
2
+
r
2
=
16
2
RozwiĢzanie zapisanego ukþadu rwnaı:
h ,
=
48
r .
=
64
5
5
2
1
( w wypadku jednego bþħdu rachunkowego Î 1 pkt. )
1024
Obliczenie pola powierzchni bocznej stoŇka:
P .
=
p
1
5
Obliczenie pola podstawy stoŇka:
P .
=
4096
p
1
25
Obliczenie stosunku pola powierzchni bocznej do pola podstawy tego
stoŇka:
b
P
=
5
.
1
4
p
SporzĢdzenie rysunku wraz z oznaczeniami lub wprowadzenie opisowych
oznaczeı
1
2
Obliczenie dþugoĻci promienia r podstawy walca: cm
r
= .
30
1
p
36000
Obliczenie objħtoĻci walca
V cm
3
.
=
1
p
SporzĢdzenie rysunku prostopadþoĻcianu i zaznaczenie na nim szukanego
kĢta.
1
Ë
10
ab
=
480
Zapisanie ukþadu rwnaı:
a
=
3
, gdzie a, b to dþugoĻci krawħdzi
2
Ì
3
b
4
podstawy.
Obliczenie dþugoĻci krawħdzi podstawy: 6cm, 8 cm.
2
Obliczenie dþugoĻci przekĢtnej podstawy: d = 10 cm.
1
ZauwaŇenie, Ňe a= 45
0
1
SporzĢdzenie rysunku i przyjħcie oznaczeı, np. h- wysokoĻę
graniastosþupa, d = h- dþugoĻę dþuŇszej przekĢtnej podstawy, a- dþugoĻę
krawħdzi podstawy
1
Wykorzystanie wþasnoĻci szeĻciokĢta foremnego i zauwaŇenie, Ňe dþugoĻę
krawħdzi podstawy jest rwna poþowie dþugoĻci dþuŇszej przekĢtnej:
4
a
=
1
d
=
1
h
=
0
4
dm
.
1
2
2
Ê
P
Ê
Numer
zadania
Etapy rozwiĢzania zadania
Liczba
punktw
1
a
2
3
Obliczenie pola podstawy graniastosþupa:
P
P
=
6
µ
=
0
24
3
dm
2
4
4
Obliczenie objħtoĻci sþoiczka:
V
=
0
192
3
l.
1
Obliczenie, ile soku zmieĻci siħ w 26 sþoiczkach: 4,992 3 l .
1
Oszacowanie þĢcznej pojemnoĻci sþoiczkw: ok. 8,64 l. Podanie
odpowiedzi.
1
SporzĢdzenie rysunku ostrosþupa i zaznaczenie szukanego kĢta a.
1
Zapisanie wzoru na pole powierzchni caþkowitej ostrosþupa:
42 + 4 0,5 6 h = 108, gdzie h- dþugoĻę wysokoĻci Ļciany bocznej .
1
5
Obliczenie dþugoĻci wysokoĻci Ļciany bocznej: h = 6 cm.
1
Obliczenie cosinusa szukanego kĢta:
cos
a
3
=
1
.
1
6
2
Podanie miary kĢta: a= 60
0
1
SporzĢdzenie rysunku wraz z oznaczeniami i poprawnym zaznaczeniem
kĢtw. np. h- wysokoĻę ostrosþupa, a- dþugoĻę krawħdzi podstawy,
b- miara kĢta dwuĻciennego przy podstawie, P
p
- pole podstawy,
V- objħtoĻę.
1
Obliczenie dþugoĻci wysokoĻci
h .
= b
µ
sin
a
1
Obliczenie dþugoĻci krawħdzi podstawy
a .
= b
µ
cos
a
1
6
Obliczenie pola podstawy ostrosþupa: =
P
P
=
3
3
b
2
cos
2
a
.
1
2
Obliczenie objħtoĻci:
V
p
=
1
P
µ
h
=
3
b
3
cos
2
asin
a
.
1
3
2
Wyznaczenie
tg
b
=
2
3
tg
a
i sformuþowanie odpowiedzi.
1
3
Obliczenie promienia podstawy walca i stoŇka: r = 60 mm.
1
Zapisanie proporcji:
r
=
tg 30
0
1
h
8
Zastosowanie wzoru na objħtoĻę walca i obliczenie objħtoĻci:
V
w
= 144 000 pmm
3
1
Zastosowanie wzoru na objħtoĻę stoŇka i obliczenie objħtoĻci:
V
s
= 72 000
3 mm
3
1
Obliczenie objħtoĻci bryþy: V = 72 000 p(2 + 3 ) mm
3
1
Wprowadzenie oznaczeı, np. r, h - wymiary biaþego termosu,
0,5r, 2h Î wymiary czerwonego termosu.
1
7
Wyznaczenie wzorw na objħtoĻę termosw: V
b
= pr
2
h, V
c
= 0,5pr
2
h.
1
Obliczenie stosunku objħtoĻci termosw V
b
V
c
= 2 i uzasadnienie, Ňe
Agnieszka powinna kupię biaþy termos.
1
Obliczenie objħtoĻci biaþego termosu: V
b
= 1,5 l
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]