Zadania na dowodzenie geometria czI, Matura, Materiały OKE Łomża
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
„Z
ADANIA
NA
DOWODZENIE
”
G
EOMETRIA
CZ
. 1
Autor: Wojciech Guzicki
Materiały konferencyjne
Wrzesień 2010
Centralna Komisja Egzaminacyjna
Zespół ds. realizacji projektów
współfinansowanych z Europejskiego
Funduszu Społecznego
ul. Lewartowskiego 6, 00-190 Warszawa
tel./fax (022) 536-65-46
tel. (022) 536-65-31
www.cke-efs.pl
ZADANIA NA DOWODZENIE
GEOMETRIA, cz. I
Wojciech Guzicki
Warkuszachmaturalnychmaturypróbnej(listopad2009r.)imaturypodstawowej
(maj2010r.)znalazłysi¦zadaniageometrycznenadowodzenie.Zapoprawnerozwi¡za-
nietakiegozadaniazdaj¡cymógłotrzyma¢2pkt.Zatembyłytotzw.„zadaniakrótkiej
odpowiedzi”.Przywystawianiuoceny zarozwi¡zaniezadaniana dowodzenie kierowano
si¦ zasad¡, »e dowód matematyczny powinien by¢ kompletny i tylko w wyj¡tkowych
sytuacjach mo»na uzna¢, »e zdaj¡cy „pokonał zasadnicze trudno±ci zadania”, nie do-
prowadzaj¡c przy tym rozwi¡zania do ko«ca.
W tym opracowaniu pokazuj¦ 21 zada« geometrycznych na dowodzenie o podob-
nym stopniu trudno±ci jak zadania ze wspomnianych wy»ej arkuszy. Przyjmuj¦, »e za
poprawne rozwi¡zanie ka»dego z tych zada« przyznaje si¦ 2 pkt. Natomiast kwestia, za
jakie rozwi¡zanie cz¦±ciowe mo»na przyzna¢ 1 pkt, jest w ka»dym przypadku spraw¡
dyskusyjn¡.
Pokazuj¦ trzy typy zada« na dowodzenie. Pierwszy polega na tzw. „rachunku k¡-
tów”.Dowódgeometrycznysprowadzasi¦dowyznaczeniamiarpewnychistotnychwza-
daniu k¡tów i wyci¡gni¦ciu wła±ciwych wniosków z przeprowadzonych oblicze«. W ta-
kich zadaniach pokonanie zasadniczych trudno±ci zadania mo»e polega¢ na wła±ciwym
wybraniu k¡tów „wyj±ciowych” i wyznaczeniu (za ich pomoc¡) miar innych k¡tów. Do-
ko«czenie rozwi¡zania sprowadza si¦ wówczas do wyci¡gni¦cia wniosków. Drugi typ
zada« to proste nierówno±ci geometryczne, w dowodzie których wykorzystuje si¦ tzw.
nierówno±¢ trójk¡ta. Pokonanie zasadniczych trudno±ci zadania mo»e polega¢ na wła-
±ciwymwyborze trójk¡tówi zapisaniu nierówno±ci trójk¡tadla nich. Znówdoko«czenie
rozwi¡zania mo»e polega¢ na zebraniu razem tych nierówno±ci. Wreszcie trzeci typ za-
da« to proste zadania, w których korzysta si¦ z przystawania trójk¡tów. Pokonanie
zasadniczych trudno±ci zadania mo»e polega¢ na wła±ciwym wyborze trójk¡tów i peł-
nymuzasadnieniuichprzystawania(doko«czenierozwi¡zaniapolegawówczasnawyci¡-
gni¦ciu wniosku) lub na wła±ciwym wyborze trójk¡tów, stwierdzeniu ich przystawania
i wyci¡gni¦ciu poprawnego wniosku przy braku pełnego uzasadnienia przystawania.
We wszystkich przedstawionych dowodach korzystamy z nast¦puj¡cych twierdze«
geometrycznych, które powinny by¢ dobrze znane ka»demu maturzy±cie:
1. Suma k¡tów trójk¡ta jest równa 180
.
1a. Suma k¡tów ostrych trójk¡ta prostok¡tnego jest równa 90
.
1b. K¡t zewn¦trzny trójk¡ta jest równy sumie k¡tów wewn¦trznych do niego nie-
przyległych.
1c. Suma k¡tów czworok¡ta jest równa 360
.
2. K¡ty wierzchołkowe s¡ równe.
3. Suma k¡tów przyległych jest równa 180
.
4. K¡ty przy podstawie trójk¡ta równoramiennego s¡ równe.
5. K¡tyodpowiadaj¡ceinaprzemianległeprzydwóchprostychrównoległychs¡równe.
1
5a. Suma k¡tów poło»onych przy tym samym boku równoległoboku jest równa
180
.
5b. Przeciwległe k¡ty równoległoboku s¡ równe.
6. Suma dwóch boków trójk¡ta jest wi¦ksza od boku trzeciego.
7. Boki trójk¡ta poło»one naprzeciw równych k¡tów s¡ równe.
Korzystamy tak»e z trzech cech przystawania trójk¡tów.
2
ZADANIA
1. Rachunek k¡tów
1.
Punkt
O
le»y wewn¡trz trójk¡ta
ABC
. Udowodnij, »e
]
AOB >
]
ACB
.
2.
Dany jest trójk¡t ostrok¡tny równoramienny
ABC
, w którym
AC
=
BC
. Odcinek
AD
jest wysoko±ci¡ tego trójk¡ta. Udowodnij, »e
]
ACB
=2
· ]
BAD
.
3.
Na przeciwprostok¡tnej
AB
trójk¡ta prostok¡tnego
ABC
wybrano punkty
D
i
E
w taki sposób, by
AC
=
AE
oraz
BC
=
BD
. Udowodnij, »e
]
DCE
=45
.
4.
Dany jest trójk¡t
ABC
, w którym
]
BAC
=
,
]
ABC
=
oraz
]
ACB
=
. Na
bokach
BC
,
AC
i
AB
tego trójk¡ta wybrano odpowiednio punkty
D
,
E
i
F
w taki
sposób, by
AE
=
AF
,
BD
=
BF
i
CD
=
CE
. Udowodnij, »e
]
EFD
=
+
2
=90
−
6.
Dany jest czworok¡t wypukły
ABCD
. Punkty
P
,
Q
,
R
i
S
s¡ punktami przeci¦cia
dwusiecznych k¡tów zewn¦trznych czworok¡ta
ABCD
. Udowodnij, »e sumy prze-
ciwległych k¡tów czworok¡ta
PQRS
s¡ równe.
7.
W równoległoboku
ABCD
, wktórymbok
AB
jest dwa razy dłu»szy od boku
BC
,
poł¡czono ±rodek
M
boku
AB
z wierzchołkami
C
i
D
. Udowodnij, »e k¡t
CMD
jest prosty.
8.
Punkty
D
i
E
le»¡ odpowiednio wewn¡trz boków
BC
i
AC
trójk¡ta
ABC
. Punkt
F
jest punktem przeci¦cia dwusiecznych k¡tów
CAD
i
CBE
. Udowodnij, »e
]
AEB
+
]
ADB
=2
· ]
AFB.
9.
Na bokach trójk¡ta równobocznego
ABC
, na zewn¡trz trójk¡ta, zbudowano dwa
kwadraty
BEFC
i
ACGH
oraz trójk¡t równoboczny
ABD
tak jak na rysunku:
G
F
C
H
E
A
B
D
3
2
.
5.
Wpi¦ciok¡ciewypukłym
ABCDE
poprowadzonowszystkieprzek¡tne.Udowodnij,
»e
]
CAD
+
]
DBE
+
]
ECA
+
]
ADB
+
]
BEC
=180
.
Udowodnij, »e k¡t
HDE
jest prosty.
10.
Trójk¡t równoramienny
ABC
, w którym
AC
=
BC
, rozci¦to odcinkiem
AD
na
dwa trójk¡ty równoramienne
BDA
i
CAD
tak, »e
AB
=
AD
=
CD
. Udowodnij,
»e
]
ACB
=36
.
11.
Trójk¡t równoramienny
ABC
, w którym
AC
=
BC
, rozci¦to odcinkiem
CD
na
dwa trójk¡ty równoramienne
DCA
i
BCD
tak, »e
AC
=
AD
oraz
CD
=
BD
.
Udowodnij, »e
]
CAB
=36
.
12.
Trójk¡t równoramienny
ABC
, w którym
AC
=
BC
, rozci¦to odcinkiem
AD
na
dwa trójk¡ty równoramienne
DAB
i
CAD
tak, »e
AB
=
DB
oraz
CD
=
AD
.
Udowodnij, »e
]
ACB
=
180
7
.
2. Nierówno±¢ trójk¡ta
13.
Punkty
K
i
L
le»¡naboku
AB
trójk¡ta
ABC
.Udowodnij,»eobwódtrójk¡ta
KLC
jest mniejszy od obwodu trójk¡ta
ABC
.
14.
W trójk¡cie
ABC
poł¡czono wierzchołek
A
z dowolnym punktem
D
boku
BC
.
Udowodnij, »e
2
·
AD > AB
+
AC
−
BC.
3. Przystawanie trójk¡tów
15.
Na bokach
AB
,
BC
i
CA
trójk¡ta
ABC
zbudowano (na zewn¡trz trójk¡ta) trzy
trójk¡ty równoboczne:
AFB
,
BDC
i
CEA
. Udowodnij, »e
AD
=
BE
=
CF
.
16.
Na bokach
BC
i
CD
równoległoboku
ABCD
zbudowano (na zewn¡trz równole-
głoboku) trójk¡ty równoboczne
BCK
i
DCL
. Udowodnij, »e trójk¡t
AKL
jest
równoboczny.
17.
Danyjestrównoległobok
ABCD
zk¡temostrymprzywierzchołku
A
.Napółprostej
AB
wyznaczonopunkt
M
(
M
6
=
B
)taki,»e
CB
=
CM
,anapółprostej
CB
punkt
N
(
N
6
=
B
) taki, »e
AB
=
AN
. Udowodnij, »e
DM
=
DN
.
18.
Na bokach
AB
i
BC
kwadratu
ABCD
obrano odpowiednio punkty
E
i
F
takie,»e
EB
+
BF
=
AB
. Udowodnij, »e suma k¡tów
BAF
,
EDF
i
ECB
wynosi 90
.
19.
Na bokach
AB
,
BC
i
CA
trójk¡ta
ABC
zbudowano trzy trójk¡ty równoboczne:
APB
,
BRC
i
CQA
. Trójk¡t
BRC
le»y po tej samej stronie boku
BC
co trójk¡t
ABC
, pozostałe dwa le»¡ na zewn¡trz trójk¡ta
ABC
. Udowodnij, »e punkty
A
,
P
,
R
i
Q
s¡ współliniowe lub s¡ wierzchołkami równoległoboku.
20.
Dane s¡ dwa kwadraty:
ABCD
i
AEFG
. W obu kwadratach podana kolejno±¢
wierzchołkówjestprzeciwnadoruchuwskazówekzegara.Udowodnij,»e
BE
=
DG
.
4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]