Zadania ruchu postepowego, Dokumenty rożne
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
5. Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po
okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej
Wybór i opracowanie zadań Ryszard Signerski i Małgorzata Obarowska
5.1. Dynamika ruchu postępowego
5.1.1.
Balon opada ze stałą prędkością. Jaką masę balastu należy wyrzucić, aby balon zaczął
wznosić się z tą samą prędkością? Masa balonu (z balastem) wynosi
300 kg
, a siła wyporu
2900N
.
5.1.2.
Małpka wspina się po pionowej lianie z przyspieszeniem
0,5 m/s
2
. Oblicz siłę
napinającą lianę, jeżeli masa małpki wynosi
5 kg
. Masę liany zaniedbać.
5.1.3.
Winda może poruszać się w górę i w dół z przyspieszeniem o takiej samej wartości. W
windzie tej na wadze sprężynowej stoi studentka. Różnica wskazań wagi przy ruchu w górę i
w dół wynosi
50 N
. Jakie jest przyspieszenie windy, jeżeli ciężar studentki wynosi
500 N
?
5.1.4.
W wagonie poruszającym się poziomo z pewnym przyspieszeniem wisi na nici ciężarek
o masie
100 g
. Nić odchylona jest od pionu o kąt
15
0
. Oblicz przyspieszenie wagonu i siłę
napinającą nić.
5.1.5.
Dźwig podnosi ciężar
Q
zawieszony na linie, której dopuszczalne naprężenie wynosi
F
max
. Znajdź najkrótszy czas, w którym można podnieść ten początkowo spoczywający ciężar
na wysokość
h
. Opory ośrodka i ciężar liny pominąć.
5.1.6.
Sanki zsunęły się za zbocza o nachyleniu
30
0
i długości
20 m
, po czym do chwili
zatrzymania przebyły odległość
200 m
po torze poziomym. Współczynnik tarcia na całej
trasie jest jednakowy. Wyznacz jego wartość.
5.1.7.
Oblicz wysokość, na jaką może wjechać samochód, który mając początkową prędkość
72 km/h
, porusza się w górę z wyłączonym silnikiem. Nachylenie zbocza wynosi
30
0
, a
efektywny współczynnik tarcia
0,1
.
5.1.8.
Dwa klocki o masach
m
1
i
m
2
związane nieważką i nierozciągliwą nicią leżą na
poziomym stole. Do pierwszego z nich przyłożono siłę
F
pod kątem α
(patrz rys. 5.1.8.).
Współczynniki tarcia między klockami, a stołem wynoszą odpowiednio
f
1
i
f
2
. Oblicz
przyspieszenie klocków i siłę napinającą nić.
F
m
2
m
1
α
f
2
f
1
rys. 5.1.8.
r
5.1.9.
Dwa ciężarki o masach
m
1
i
m
2
połączono nieważką i nierozciągliwą nicią przerzuconą
przez bloczek znajdujący się na szczycie równi
(rys. 5.1.9.). Współczynnik tarcia między
ciężarkiem
m
2
i równią wynosi
f
2
, a kąt
nachylenia równi α. Masę bloczka można
pominąć. Wyznacz siłę napięcia nici i
przyspieszenie ciężarków, przyjmując, że
ciężarek
m
1
porusza się w dół.
m
2
m
1
α
rys. 5.1.9.
5.1.10
Klocek o masie
m = 3 kg
położono na wózek o masie
M = 15 kg
. Współczynnik tarcia
między tymi ciałami wynosi
f = 0,2
. Na klocek działa pozioma siła
F = 20 N
, a wózek może
poruszać się swobodnie (bez tarcia) po szynach. Znajdź przyspieszenie klocka względem
wózka.
5.2. Dynamika ruchu punktu materialnego po okręgu
5.2.1.
Po wypukłym moście o promieniu krzywizny
R = 100 m
jedzie samochód ze stałą
prędkością
v = 54 km/h
. Masa samochodu wynosi
m = 2000 kg
. Oblicz siłę nacisku
samochodu na most w jego najwyższym punkcie. Jaka musiałaby być prędkość samochodu,
aby stracił on kontakt z podłożem?
5.2.2.
Mały ciężarek o masie
m = 100 g
przywiązano do nici o długości
l = 50 cm
i
wprawiono w ruch obrotowy po okręgu w płaszczyźnie poziomej. Nić odchyla się od pionu o
kąt α
= 45
0
. Wyznacz prędkość kątową ciężarka, okres obiegu i siłę napięcia nici.
5.2.3.
Kierowca samochodu jadącego z prędkością
v
zauważa nagle przed sobą ścianę. Jak
powinien zareagować kierowca: zahamować, czy zakręcić, próbując uniknąć uderzenia w
ścianę? Współczynnik tarcia kół o podłoże wynosi
f
.
5.2.4.
Jaka jest prędkość satelity na orbicie kołowej odległej o
h
od powierzchni Ziemi? Stała
grawitacji jest równa
G
, masa Ziemi wynosi
M
z
,
, a jej promień
R
z
.
5.2.5.
Okres obiegu Księżyca wokół Ziemi wynosi
T = 27,32
dób ziemskich, a jego średnia
odległość od Ziemi
r = 384 400 km
. Oblicz masę Ziemi. Stała grawitacji G = 6,67 x 10
-11
Nm
2
/kg
2
.
5.2.6.
Oblicz promień orbity stacjonarnego satelity Ziemi. Dane są: promień Ziemi
R
Z
= 6370
km
, przyspieszenie na powierzchni Ziemi
9,81 m/s
2
i czas trwania doby ziemskiej
24 godziny
.
5.3. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
5.3.1.
Koło zamachowe o momencie bezwładności
I = 0,2 kgm
2
obraca się wokół poziomej
osi przechodzącej przez jego środek, wykonując
n = 600 obr/min
. Przy hamowaniu koło
zatrzymuje się po upływie czasu
∆t = 20 s
. Znajdź moment siły hamującej i liczbę obrotów do
chwili zatrzymania.
5.3.2.
Na rurę o cienkich ściankach nawinięto nić, której wolny koniec
przymocowano do sufitu. Rura odkręca się z nici pod działaniem własnego
ciężaru (rys. 5.3.2.). Znajdź przyspieszenie rury i siłę napięcia nici, jeżeli
masę i grubość nici można zaniedbać. Początkowa długość nici jest dużo
większa od promienia rury. Ciężar rury wynosi
Q
.
N
r
r
Q
rys. 5.3.2.
5.3.3.
Oblicz moment bezwładności molekuły, CO
2
względem osi przechodzącej przez środek
masy i prostopadłej do osi molekuły. Molekuła jest liniowa z atomem C znajdującym się w jej
środku. Długość wiązania C─O wynosi
1,13 x 10
-10
m
.
5.3.4.
Wykaż, że moment bezwładności układu składającego się z dwóch mas
m
1
i
m
2
odległych o
r
od siebie względem osi prostopadłej do odcinka łączącego
m
1
i
m
2
i
przechodzącej przez środek masy układu wynosi
µr
2
.
µ
jest masą zredukowaną układu i
wynosi
µ
=
m
+
1
m
2
. Otrzymany wynik zastosuj do molekuły, CO, dla której
r = 1,13 Ǻ
i do
m
m
1
2
molekuły HCl gdzie
r = 1,27 Ǻ
.
5.3.5.
Przez bloczek zawieszony na poziomej osi przerzucono nieważką i nierozciągliwą nić,
do końców której przymocowano ciężarki o masach
m
1
= 0,5 kg
i
m
2
= 0,2 kg
. Masa bloczka
wynosi
m = 0,4 kg
. Bloczek traktujemy jako jednorodny krążek. Znajdź liniowe
przyspieszenie ciężarków. Przyjmij, że nić nie ślizga się po bloczku.
5.3.6.
Z równi pochyłej o kącie nachylenia
α
stacza się bez poślizgu ciało o momencie
bezwładności
I
, masie
m
i promieniu
r
. Wyznacz jego przyspieszenie liniowe, kątowe i siłę
tarcia.
5.3.7.
Pełne, jednorodne ciała: walec i kula staczają się bez poślizgu z równi pochyłej o kącie
nachylenia
α
i wysokości
h
. Masy i promienie tych ciał są jednakowe. Które z nich stoczy się
wcześniej?
5.3.8.
Kula o początkowej prędkości w ruchu postępowym
v
0
= 10 m/s
wtacza się bez
poślizgu na równię pochyłą o kącie nachylenia
45
0
. Jaką drogę przebędzie kula po równi do
chwili zatrzymania się i po jakim czasie wróci do podstawy równi?
5.3.9.
Środek masy kuli bilardowej posiada początkową prędkość
v
0
(rys. 5.3.9.). Promień
kuli wynosi
R
, jej masa
M
, a współczynnik tarcia pomiędzy
kulą i stołem jest równy µ. Jak daleko przesunie się kula po
stole, zanim przestanie się ślizgać?
v
r
rys. 5.3.9.
r
r
5.3.10.
W czasie pokazów gimnastyki artystycznej można oglądać
ćwiczenie, w którym obręcz rzucona przez zawodniczkę tocząc się
początkowo z poślizgiem wraca ku niej i w końcowej fazie ruchu toczy
się już bez poślizgu. Jest to możliwe, jeżeli w czasie rzutu zawodniczka
nada obręczy ruch obrotowy o odpowiednim kierunku (rys. 5.3.10.).
Znajdź związek pomiędzy początkową wartością prędkości ruchu
postępowego
v
0
i prędkości kątowej
ω
0
.
v
r
rys. 5.3.10.
5.3.11.
Po idealnie gładkiej poziomej powierzchni ślizga się bez obrotów walec. Prędkość
liniowa środka masy wynosi
v
0
, a kierunek prędkości jest prostopadły do osi walca. W pewnej
chwili powierzchnia pod walcem staje się szorstka, a współczynnik tarcia posuwistego
przyjmuje wartość
f
. Po jakim czasie walec będzie się toczył bez poślizgu i jaka będzie wtedy
prędkość jego środka masy?
5.3.12.
Kołowrót o masie
m
, momencie bezwładności
I
0
i
promieniach zewnętrznym
R
oraz wewnętrznym
r
leży na
płaszczyźnie poziomej (rys. 5.3.12.). Na kołowrót nawinięta
jest nić, do której przyłożono siłę
F
. Opisz ruch kołowrotu w
zależności od kąta α jaki tworzy nić z kierunkiem poziomym.
F
r
R
α
rys. 5.3.12.
l
2
l
1
5.3.13.
Ciężki walec o promieniu
R
i momencie bezwładności
I
0
wiruje z prędkością kątową
ω
0
. W chwili
t = 0
do dźwigni
hamulcowej przyłożono siłę
F
(rys. 5.3.13.) wskutek czego walec
zatrzymuje się po czasie
t
. Ramiona dźwigni mają długości
l
1
i
l
2
,
a współczynnik tarcia między dźwignią i walcem wynosi
f
.
Oblicz wartość siły
F
.
F
rys. 5.3.13.
5.3.14.*
Walec o masie
M
i promieniu
r
może toczyć się po poziomym stole. Na walec
nawinięta jest nieważka i nierozciągliwa nić, którą przerzucono przez nieważki bloczek. Na
końcu nici zawieszono ciężarek o masie
m
(rys. 5.3.14.). Wyznacz przyspieszenie ciężarka i
siłę tarcia działającą na walec przyjmując, że może być on pełen lub wydrążony
(cienkościenna rura).
rys. 5.3.14.
r
r
5.3.15.
Na krześle mogącym obracać się swobodnie wokół osi pionowej siedzi student i
trzyma w wyprostowanych rękach odważniki po
m = 5 kg
każdy. Odległość każdego
odważnika od osi obrotu wynosi
l
1
= 80 cm
. Krzesło wiruje wykonując
n
1
= 1 obr/sek
. Jak
zmieni się szybkość wirowania studenta, jeśli zegnie on ręce tak, że odważniki będą w
odległości
l
2
= 20 cm
od osi obrotu? Moment bezwładności studenta i krzesła (całkowity)
względem osi obrotu wynosi
I
0
= 3 kgm
2
.
5.3.16.*
Belka o długości
l
i masie
M
może swobodnie obracać się
wokół poziomej osi przechodzącej przez jeden z jej końców. W
drugi koniec belki uderza kula o masie m mająca poziomą prędkość
v
0
(rys. 5.3.16.). Kula grzęźnie w belce. Znajdź prędkość kątową
belki tuż po uderzeniu kuli. W jakie miejsce belki powinna uderzyć
kula, aby składowa pozioma siły reakcji osi w chwili uderzenia
wynosiła zero?
v
r
m
rys. 5.3.16.
5.3.17.*
Na brzegu poziomej, okrągłej platformy o masie
M
i promieniu
R
stoi student o
masie
m
. Platforma może obracać się bez tarcia wokół pionowej osi. Jaka będzie prędkość
kątowa platformy ω, jeżeli student zacznie chodzić wzdłuż jej brzegu ze stałą względem niej
prędkością
v
. Jaką drogę przebędzie student względem platformy w czasie jej jednego
pełnego obrotu?
5.3.18.*
Samolot sportowy z jednym śmigłem lecący z prędkością
v = 360 km/h
wykonuje
zakręt o promieniu
r = 800 m
. Oblicz moment sił wywierany przez śmigło na samolot, jeżeli
moment bezwładności śmigła wykonującego
n = 2400 obr/min
wynosi
I = 15 kgm
2
.
=
-1
wokół osi, która tworzy kąt
30
0
względem pionu. Środek masy
bąka znajduje się w odległości
l = 10 cm
od punktu podparcia. Oblicz wartość prędkości
kątowej precesji osi bąka.
I
5
⋅
10
−
3
kg
m
2
wiruje z
prędkością kątową
ω = 80 s
5.3.19.*
Bąk o masie
m = 0,4 kg
i momencie bezwładności
[ Pobierz całość w formacie PDF ]