zadania1, Analiza Matematyczna 1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ARKUSZ I
ANALIZA MATEMATYCZNA I
CIGI LICZBOWE
Zad. 1. Sprawdzi¢, czy nast¦puj¡ce ci¡gi s¡ monotoniczne:
1) a
n
=
n
n
2
+ 1
;
2) b
n
=
n
2
3
n
2
+ 1
;
3) c
n
= n(2)
n
;
4) d
n
=
2
n
n!
;
5) e
n
=
n
3
n
;
6) f
n
=
1
(2n)!
;
7) g
n
= n
(1)
n
;
8) h
n
= cos(n);
9) i
n
= 2
p
n
:
Zad. 2.
?
Korzystaj¡c z denicji granicy ci¡gu wykaza¢, »e
1) lim
n!1
3n
n + 1
= 3;
2) lim
n!1
p
n + 2 = +1;
n!1
(3 + 2
n
) = +1;
4) lim
n!1
log
2
(n + 3) = +1;
n!1
log
n+1
4 = 0 ;
6) lim
n!1
1
2
n
+ 5
= 0:
Zad. 3. Obliczy¢
1) lim
n!1
n
3
+ 2n
2
+ 1
n 3n
3
;
2) lim
n!1
p
n
2
+ 4n + 1
p
n
2
+ 2n
;
3) lim
n!1
p
n
3
+
1
p
n
5
+ 1 + 1
;
4) lim
n!1
(
p
n + 3)
2
n + 1
;
r
q
n +
p
n
q
n
p
n
n
p
n
2
1
5) lim
n!1
;
6) lim
n!1
n
;
7) lim
n!1
r
p
n
;
8) lim
n!1
8
n1
7
n+1
;
q
n +
p
n
n +
9) lim
n!1
2
n+1
3
n+2
3
n+2
;
10) lim
n!1
2
n1
5
2
2n
7
;
11) lim
n!1
5 3
2n
2
n
+ 3
n
;
12) lim
n!1
log
8
n
;
13) lim
n!1
27
log
3
n
16
log
2
n
;
14) lim
n!1
1 + 3 + ::: + (2n 1)
2 + 4 + ::: + 2n
;
1 +
2
+
2
2
+ ::: +
1
2
n
2
n
n
15) lim
n!1
;
16) lim
n!1
1 +
;
1 +
3
+
3
2
+ ::: +
1
3
n
!
1
2
n
2
3n
n
2
+ 5
n
+
1
n
2
17) lim
n!1
;
18) lim
n!1
;
3n + 1
3n + 2
3n+1
3n + 1
n + 2
3n+1
19) lim
n!1
;
20) lim
n!1
;
3) lim
5) lim
log
2
n
5
1
1
2
n + 4
n + 3
52n
21) lim
n!1
;
22) lim
n!1
n ( ln (n + 1) ln n ) ;
ln
1
3
n
p
10
n
+ 9
n
+ 8
n
;
23) lim
n!1
;
24) lim
n!1
1
n
p
5n
4
+ n
3
n + 1 ;
s
2
3
n
3
4
n
25) lim
n!1
26) lim
n!1
n
+
;
p
3 + sin n ;
p
2
n
+ cos n
2
;
27) lim
n!1
28) lim
n!1
s
3
n
+ 2
n
5
n
+ 4
n
;
2n + (1)
n
3n + 2
29) lim
n!1
n
30) lim
n!1
;
31) lim
n!1
2n
2
+ sin n!
4n
2
3 cos n
2
;
32) lim
n!1
2n
cos n
2
3n
;
6n + 1
n!1
2
n
cos n;
34) lim
n!1
n sin n!
n
2
+ 1
:
Zad. 4. Wykaza¢, »e nie istnieje granica ci¡gu (a
n
)
n2N
, gdzie
2) a
n
= cos
n
1 +
(1)
n
n
!
n
1) a
n
= n + (1)
n
n
2
;
2
;
3) a
n
=
:
Zad. 5.
?
Wykaza¢ zbie»no±¢ ci¡gów o wyrazach ogólnych:
1) a
n
=
(n!)
2
(2n)!
;
2) b
n
= 1 +
1
2
+
1
3
+ ::: +
1
n
ln n:
Zad. 6. Wyznaczy¢ kresy zbiorów:
1) A = f
1
3n + 1
: n 2Ng;
2) B = f(
2
3
)
n
: n 2Ng;
3) C = f(2)
n+1
: n 2Ng;
4) D = f1 +
(1)
n
n
: n 2Ng; 5) E = fn + n(1)
n
: n 2Ng; 6) F = fsin
n
2
: n 2Ng;
7) G = fln(n + 1) : n 2Ng; 8)
H = f
k
n
: n;k 2N; k < ng; 9)
I = f
1
n
+
1
k
: n;k 2Ng:
Zad. 7. Wyznaczy¢ kresy zbiorów:
1) A = fx 2R : jxj + j2 2xj¬ 3g;
2) B = fx 2R : log
2
jjxj 1j < 2g;
3) C = fx 2R : sin x ­
1
2
^x > 0g;
4) D = fcos(2x) + 1 : x 2Rg;
5) E = f
x + 2
x + 1
: x > 1g;
6) F = f
x
x
2
+ 1
: x 2Rg:
1
33) lim
ARKUSZ II
ANALIZA MATEMATYCZNA I
3
GRANICE FUNKCJI
Zad. 1. Obliczy¢ granice funkcji nie wykorzystuj¡c reguªy de L'Hospitala:
x!1
ln(
x
2
5x + 4
x (x 5)
);
x!1
e
5x + 4
x
3
5
;
x!1
arctg
x
2
5x + 4
x 5
;
x!1
arctg
x
2
5x + 4
x 5
;
5) lim
x!1
x + 4
p
x
2
+ x
;
6) lim
x!1
x + 4
p
x
2
+ x
;
x!1
(
p
x
2
+ 2 x);
x!1
(
p
x
2
+ 2 x);
7) lim
8) lim
x!1
(
p
e
x
+ 1
p
e
x
1);
x!1
(
p
x + 1 x);
11) lim
x!1
3
2x
4
x
9
x
+ 3
x
+ 2
;
12) lim
x!1
3
2x
4
x
9
x
+ 3
x
+ 2
;
x!1
e
x+sin
2
x
;
x!1
e
x+sin
2
x
;
15) lim
x!1
arctg 2x
x 1
;
16) lim
x!1
tg
1
x
tg
2
x
;
p
x
p
x + 3
;
ln
1
x + 2
2x1
17) lim
18) lim
x!1
1 +
;
x
2
+ 2x
x
2
+ 2
!
x1
x
2
+ 2x
2x
2
+ 2
!
x1
19) lim
x!1
;
20) lim
x!1
:
Zad. 2. Obliczy¢:
1) lim
x!
1
2
4x
2
1
2x + 1
;
2) lim
x!2
x
3
8
x 2
;
x
2
4x + 3
2x 6
3x
2
+ 5x 2
4x
2
+ 9x + 2
;
3) lim
x!3
;
4) lim
x!2
p
x 5
x 25
;
p
1 + x
p
1 x
2x
5) lim
x!25
6) lim
x!0
;
p
x 2 2
x 6
7) lim
x!1
x
6
1
1 x
2
;
8) lim
x!6
;
9) lim
x!0
sin
2
x
1 cos x
;
10)
?
lim
x!
2
(tg x
1
cos x
);
11)
?
lim
x!
2
cos 5x
cos 3x
;
12) lim
x!0
3x sin 2x
2x sin 3x
;
1) lim
2) lim
3) lim
4) lim
9) lim
10) lim
13) lim
14) lim
x!1
e
4
13) lim
x!0
sin x
3
sin x
7
sin x
4
sin x
6
;
14) lim
x!0
tg 2x
tg 3x
;
15) lim
x!0
+
p
x cos
1
x
2
;
16) lim
x!0
+
(1 sin 2x)
1
x
+1
;
17) lim
x!0
ln (1 3x)
x
;
18) lim
x!0
(2 + x)
1
x
2
:
Zad. 3. Obliczy¢ granice jednostronne funkcji f w punkcie x
o
(o ile istniej¡), je±li:
1) f (x) =
2x 1
(2 x)
2
; x
o
= 2;
2) f (x) =
p
x + 1
; x
o
= 1;
x + 1
1
x
2
2x + 1
; x
o
= 1;
3) f (x) =
x
; x
o
= 1;
4) f (x) = 3
2x + e
1
x+1
5) f (x) =
tg 3x
x
2
; x
o
= 0;
6) f (x) =
sin(2 x)
jx 2j
; x
o
= 2;
p
tg x
x
7) f (x) =
; x
o
= 0;
8) f (x) = ln
1
x
2
9
; x
o
= 3:
Zad. 4. Uzasadni¢, »e podane granice nie istniej¡:
x!1
e
1
1 x
3
;
2) lim
x!1
x
p
x 1
;
3) lim
x!2
x
3
+ 8
jx + 2j
;
4) lim
x!0
1
sin 2x
:
Zad. 5. Wyznaczy¢ dziedzin¦ funkcji f i granice w punktach brzegowych dziedziny, je±li:
1) f(x) = e
3
3 x
;
2) f(x) =
1
arc sin(x 1)
;
3) f(x) = arctg
1
x 3
;
4) f(x) = x sin
1
x
;
5) f(x) =
2 + sin x
3x
;
6) f(x) =
2
ln x
:
Zad. 6. Wyznaczy¢ asymptoty funkcji f, gdzie:
7) f (x) =
1
e
x
1
;
8) f (x) =
p
1 + x
2
x
;
9) f (x) =
x
3
(x + 1)
2
;
10) f (x) = x arctg x
x
x + 2
;
12) f (x) = arc cos
1 x
11) f (x) = x + ln
1 + x
;
1
p
2 x
:
13) f (x) =
2x ln x 1
ln x
;
14) f (x) = e
1) lim
Arkusz III
ANALIZA MATEMATYCZNA I
5
CIGO FUNKCJI
Zad. 1. Naszkicowa¢ wykres funkcji f, wskaza¢ jej punkty nieci¡gªo±ci i okre±li¢ ich rodzaj:
(
1 x 2x
2
dla x < 0;
(
ln(x) dla x < 0;
sgn (sin x) dla x ­ 0;
1) f(x) =
2) f(x) =
e
x
+ 1
dla x ­ 0;
8
<
sin 2x dla x < ;
jxj dla x 2 (; 1];
ln(x 1) dla x > 1;
8
<
arctg x dla x < 0;
ctg
4
3) f(x) =
:
4) f(x) =
:
dla x 2 (0; 1];
e
x+1
dla x ­ 1;
8
<
5) f(x) =
x
2
2x
jx 2j
dla x 6= 2;
2
6) f(x) =
8
<
x
jxj 1
dla x 6= 1;
:
:
dla x = 2;
0
dla x = 1;
7) f(x) = sgn (x (x 1)) dla x 2R;
8) f(x) = x sgn (x 1) dla x 6= 3:
Zad. 2. Zbada¢ ci¡gªo±¢ funkcji f okre±lonej wzorem:
(
2x1
p
5+x
2
x2
(
x sin
x
dla x 6= 2;
dla x 6= 0;
1) f(x) =
2) f(x) =
4
3
dla x = 2;
0
dla x = 0;
8
<
8
<
xe
x
dla x < 0;
2(x
p
2x)
x1
dla x < 1;
3) f(x) =
0
dla x = 0;
4) f(x) =
1
dla x = 1;
:
x+
p
x
x
:
dla x > 0;
x + e
1
dla x > 1;
1x
8
<
8
<
(1 2x)
x
dla x < 0;
dla x < 0;
2 dla x = 0;
ln
2+x
x
dla x > 0;
1
x
2
5) f(x) =
0
dla x = 0;
6) f(x) =
:
:
x arctg
x
2
dla x > 0;
1
(
(
1 cos
x
ln x+1
dla x 6= 0;
2 ln x
+ x dla x > 0;
1
2
7) f(x) =
8) f(x) =
0
dla x = 0;
dla x = 0:
Zad. 3. Znale¹¢ rzeczywiste warto±ci parametrów a i b, dla których funkcja f jest ci¡gªa:
(
sin 2x
(
3x
dla x 6= 0;
a dla x = 0;
bx + 3 dla x < 1;
2x
2
+ x + a dla x ­ 1;
1) f(x) =
2) f(x) =
(
2 arctg
1x
dla x < 1;
1
(
x + a dla x ¬ 0;
x
tg ax
3) f(x) =
4) f(x) =
ax
dla x ­ 1;
dla x > 0;
8
<
(1 x)
x
dla x < 0;
8
<
(x 1)
3
dla x ¬1;
a
x + b
dla 1 < x < 1;
5) f(x) =
ax + 1
dla 0 ¬ x ¬ 2;
6) f(x) =
:
:
p
x + 3 dla x ­ 1;
(a
2
x)
2
dla x > 2;
Zad. 4. Uzasadni¢, »e podane równania maj¡ rozwi¡zanie we wskazanych przedziaªach:
1)
2
+ x = 1; (0;
2
);
2) ln x + 2x = 1; (
2
; 1);
p
3
;
p
3);
3) arctg x =
x
2
(
1
4) ln x = 2 x; [1; 2];
5) x
4
= 4
x
(1; 0];
6) x 2
x
= 1; (0; +1):
2 + e
sin x
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]