zadania1, Analiza matematyczna, Pawelec
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1.Zbadajzbie»no±¢nast¦puj¡cychci¡gówfunkcyjnych,znajd¹obszarzbie»no±ci,funk-
cj¦graniczn¡,sprawd¹czyzbie»no±¢jestjednostajna,je±linieznajd¹mo»liwiedu»y
podzbiór,naktórymzbie»no±¢jestjednostajna.
a)
f
n
(
x
)=
1
1+
nx
,
dla
x>
0;
b)
g
n
(
x
)=
x
+
1
n
sin(
nx
)
,x
2
R
;
c)
h
n
(
x
)=
nx
e
−
nx
2
,
dla
x
2
[
−
1
,
1];
d)
f
n
(
x
)=
nx
1+
nx
2
,x
2
R
;
e)
g
n
(
x
)=
n
sin(
nx
)
,x
2
R
;
f)
f
n
(
x
)=
p
x
+
n
+1
−
p
x
+
n,x
­
0
(
0dla
x
2
R
\{
1
n
}
1dla
x
=
1
n
g)
f
n
(
x
)=
2.Zbadajci¡gło±¢odwzorowa«:
(
x
2
+
y
2
x
2
−
y
2
dla
x
2
6
=
y
2
0 dla
x
2
=
y
2
a)
f
:
R
2
!
R
, f
(
x,y
)=
(
1
x
2
+
y
2
−
1
dla
x
2
+
y
2
6
=1
0 wp.p.
2
!
R
, f
(
x,y
)=
b)
f
:
R
(
x
+
y
+
z
xy
−
z
dla
xy
6
=
z
0wp.p.
c)
f
:
R
3
!
R
, f
(
x,y,z
)=
(
1
x
2
+
y
2
−
z
2
dla
x
2
+
y
2
6
=
z
2
0 wp.p.
3
!
R
, f
(
x,y,z
)=
d)
f
:
R
(
x
2
y
x
2
+
y
2
dla
x
2
+
y
2
6
=0
0wp.p.
2
!
R
, f
(
x,y
)=
e)
f
:
R
(
1
−
x
3
2
x
2
+
y
4
dla
x
2
+
y
2
6
=0
1 wp.p.
f)
f
:
R
2
!
R
, f
(
x,y
)=
(
−
y
3
x
4
+sin
2
y
dla
x
4
+sin
2
y
6
=0
wp.p.
2
!
R
, f
(
x,y
)=
g)
f
:
R
(
x
3
+
y
3
xy
dla
xy
6
=0
0wp.p.
2
!
R
, f
(
x,y
)=
h)
f
:
R
3.Narysujpodanezbiory:
1
 2
=
{
x
:
k
x
−
(5
,
1)
k
1
­
1
^k
x
+(3
,
1)
k
1
<
2
}
;
a)
A
R
2
=
{
x
:
k
x
−
(5
,
0)
k
max
­
2
^k
x
+(3
,
1)
k
1
<
2
}
;
b)
B
R
k
,a
n
=(
a
1
n
,a
2
n
,...,a
k
n
)jestci¡giemCauchy’ego
toci¡giwspółrz¦dnych(
a
i
n
)
n
2
N
s¡równie»ci¡gamiCauchy’ego,dla
i
=1
,...,k
.
4.Udowodnij,»eje±lici¡g(
a
n
)
n
2
N
R
5.Udowodnij,»eje±lici¡g(
a
n
)
n
2
N
R
k
,a
n
=(
a
1
n
,a
2
n
,...,a
k
n
)jestci¡giemzbie»nymdo
k
toci¡giwspółrz¦dnych(
a
i
n
)
n
2
N
s¡równie»ci¡gamizbie»nymi,dla
i
=1
,...,k
.
Doczegozbie»nes¡teci¡gi?
g
2
R
k
jestprzestrzeni¡zupełn¡wykorzystuj¡cfakt,»e
R
jestzupełna.
6.Udowodnij,»e
R
7.Wyka»równowa»no±¢podanychnawykładziedefinicjici¡gło±ciodwzorowa«.
8.Poda¢przykład,»esumaniesko«czonejilo±cizbiorówdomkni¦tychniemusiby¢do-
mkni¦ta.Tosamodlaprzeci¦cianiesko«czonejilo±cizbiorówotwartych.
n
zwarto±¢zbiorujestrównowa»najegoograniczono±ciido-
9.Wyka»,»ewprzestrzeni
R
mnkni¦to±ci.
10.Wyka»,»eobrazzbioruzwartegoprzyodwzorowaniuci¡głymjestzwarty.
11.Obliczpochodecz¡stkowefunkcjiiodwzorowa«(wobszarzeichokre±lono±ci):
a)
z
(
x,y
)=
x
p
y
+
y
p
x
;
b)
u
(
x,y,z
)=sin
x
2
p
tg
y
−
e
sin
z
cos
2
y
;
c)
f
:
R
3
!
R
2
,f
(
x
1
,x
2
,x
3
)=((
x
1
x
2
)
x
3
,
(sin
x
1
)
ln
x
2
);
1
y
z,
(sin
x
)
(sin
y
)
sin
z
);
d)
f
:
R
4
!
R
2
,f
(
x,y,z,t
)=(
x
2
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]