Zadania1, MEiL PW, MiBM, Analiza 3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ZADANIA Z MATEMATYKI – zestaw 8
Studia zaoczne inżynierskie, rok I, semestr 2
Wydział Budownictwa Wodnego i Inżynierii Środowiska PG
Kierunek: Budownictwo
CAŁKI KRZYWOLINIOWE
Zad.1
Obliczyć całkę krzywoliniową nieskierowaną:
1
∫
dl
,
gdzie
L
jest odcinkiem prostej
y
=
2
x
0
≤
x
≤
1
a).
, dla
,
2
2
x
+
y
+
4
L
∫
−
x
dl
gdzie
L
jest łukiem krzywej
2
ye
,
x
(
t
)
=
ln(
1
+
t
),
y
(
t
)
=
2
arctg
t
−
t
+
3
0
≤
t
≤
1
b).
L
∫
gdzie
K
jest brzegiem trójkąta
(
x
+
y
)
dl
,
ABO
,
A
=
(
),
B
=
(
0
),
O
=
(
0
),
c).
K
∫
2
2
gdzie
K
jest okręgiem powstałym z przecięcia płaszczyzny
2
y
+
z
dl
,
x
=
i sfery
y
d).
K
2
2
2
2
x
+
y
+
z
=
a
,
∫
2
2
gdzie
L
jest krzywą
2
2
x
+
y
dl
,
x
+
y
+
2
x
=
0
e).
,
L
∫
3
(
x
−
3
y
)
dl
,
gdzie
K
jest odcinkiem między punktami
A
−
(
1
i
B
(
0
),
f).
K
g).
(
)
,
[ ]
.
∫
2
2
gdzie
t
t
.
x
+
y
+
1
dl
K
:
x
(
t
)
=
e
cos
t
,
y
(
t
)
=
e
sin
t
,
t
∈
0
π
4
K
Zad.2
Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną:
xdx
+
ydy
∫
gdzie
K
jest zorientowanym dodatnio okręgiem
2
2
,
x
+
y
=
4
a).
2
2
x
+
y
K
∫
gdzie
L
jest ćwiartką okręgu
2
2
2
xdx
+
ydy
,
x
+
y
=
1
A
)
B
(
0
b).
skierowaną od
do
,
L
∫
xdx
+
ydy
+
zdz
,
gdzie
K
jest łukiem linii śrubowej
x
(
t
)
=
r
cos
t
,
y
(
t
)
=
r
sin
t
,
z
(
t
)
=
t
c).
,
K
0
≤
t
≤
2
o przedstawieniu parametrycznym zgodnym z kierunkiem łuku,
2
2
x
y
∫
gdzie
K
jest elipsą
xydx
+
xdy
,
+
=
1
d).
, skierowaną ujemnie względem swego wnętrza.
2
2
a
b
L
Zad.3
Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną (czasami można stosować twierdzenie Greena):
∫
2
2
2
2
x
+
y
dx
+
y
[
xy
+
ln(
x
+
x
+
y
)]
dy
,
a).
gdzie K jest dodatnio zorientowanym brzegiem
K
2
D
=
{(
x
,
y
)
∈
R
:
1
≤
x
≤
e
,
0
≤
y
≤
ln
x
},
figury:
∫
x
e
[(
1
−
cos
y
)
dx
−
(
y
−
sin
y
)
dy
],
b).
gdzie K jest dodatnio zorientowanym brzegiem figury:
K
2
D
=
{(
x
,
y
)
∈
R
:
0
≤
x
≤
π
,
0
≤
y
≤
sin
x
},
∫
xy
2
dx
−
ydy
,
gdzie
K
jest dodatnio zorientowanym brzegiem figury:
c).
K
 2
2
2
D
=
{(
x
,
y
)
∈
R
:
x
+
y
=
1
dla
x
≤
0
x
=
0
dla
−
1
≤
y
≤
0
2
y
=
0
dla
1
≥
x
≥
0
y
=
−
x
+
1
dla
x
≥
0
∧
y
≥
0
},
∫
y
x
y
2
(
e
cos
x
−
e
)
dx
+
(
e
sin
x
−
x
)
dy
,
d).
gdzie K jest dodatnio zorientowanym brzegiem figury:
K
2
D
=
{(
x
,
y
)
∈
R
:
0
≤
x
≤
π
,
0
≤
y
≤
sin
x
},
∫
2
2
2
2
2
y
(
−
5
x
)
dx
+
x
(
+
5
y
)
dy
,
gdzie
L
jest zorientowanym dodatnio okręgiem
x
+
y
=
R
e).
.
L
Zad.4
Sprawdzić, czy całka nie zależy od drogi całkowania, obliczyć tę całkę:
∫
2
2
2
4
3
(
6
y
x
−
5
x
)
dx
+
(
y
+
4
yx
)
dy
, gdzie
K
jest dowolnym łukiem gładkim rozpiętym od punktu
a).
K
A
0
B
( −
−
2
)
do
,
π
π
∫
cos
4
y
dx
−
4
x
sin
4
ydy
,
A
(
)
B
(
2
)
b).
po dowolnym łuku gładkim od punktu
do
,
6
4
AB
1
x
∫
3
2
2
(
4
xy
−
)
dx
+
(
6
x
y
+
)
dy
,
A
3
2
)
B
(
0
c).
po dowolnym łuku gładkim od punktu
do
,
y
y
AB
x
y
∫
(
+
y
)
dx
+
(
+
x
)
dy
, gdzie
K
jest dowolnym łukiem gładkim rozpiętym od
d).
2
2
2
2
x
+
y
x
+
y
K
A
0
)
B
(
y
>
0
punktu
do
, leżącym w pasie
y
∫
(
+
ln
x
+
)
dx
−
(
−
ln
x
)
dy
, gdzie
K
jest dowolnym łukiem gładkim rozpiętym od punktu
e).
x
K
A
(
e
,
2
)
B
(
x
>
0
do
, leżącym w pasie
y
2
y
y
y
y
∫
(
−
cos
)
dx
+
(sin
+
cos
)
dy
, gdzie
K
jest dowolnym łukiem gładkim rozpiętym od
f).
2
x
x
x
x
x
K
A
( π
)
B
( π
)
punktu
do
.
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]