zadania1a, Analiza matematyczna, Pawelec
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Zadaniaprzygotowawcze-cz¦±¢druga
1.Zbadajwjakichpunktachodwzorowanie
H
:
R
2
!
[0
,
1]danewzorem
H
(
x,y
)=
(
y,
sin
x
)jestlokalnieodwracalne.Znajd¹mo»liwiedu»yzbiórpoobci¦ciudoktórego
H
jestglobal
n
ieodwracalne.Znajd¹pochodn¡odwzorowaniaodwrotnegowpunkcie
K
=(3
,
cos
p
2).
2.Poleceniejakwy»ejdla
H
:
R
2
!
R
×
R
+
,
H
(
x,y
)=(
x
+7
,y
2
),
K
=(7
,
25).
3.Znajd¹pochodne:
a)
g
0
(
x
),je±li:
g
(
x
)=
f
(
x,y
(
x
)),
f
(
x,y
)=
x
2
+3
xy
sin
x
b)
@f
@u
,
@f
@v
,je±li
f
(
u
−
v,u
+
v
)=
e
u
·
v
+
u
2
;
c)
f
z
,f
t
je±li:
f
(
x,z
)=
xz
·
ln
z
,
x
=
x
(
z,t
)=
zt
2
.
3.Znajd¹punkty,wktórychfunkcja
f
zadaje
y
jakofunkcj¦uwikłan¡
'
(
x
),je±li
f
(
x,y
)=
x
2
+
y
2
−
4
x
−
5.Znajd¹punktyzerowaniasi¦pochodnejfunkcjiuwikłanej
y
=
'
(
x
).
Stwierd¹,czywtychpunktachjestekstremum,je±litak-okre±lczyjesttomaksimum
czyminimum.
4.Danyjestzbiór
S
=
{
(
x,y
)
2
R
2
:
x
−
e
xy
+
y
2
+
y
=0
}
.Dobierzwarto±ci
a,b
tak,
abypunkty(0
,a
)i(
b,
0)nale»ałydozbioru
S
.Stwierd¹,czymo»liwejestwotoczeniu
tychpunktówrozwikłaniezmiennej
y
wzgl¦dem
x
lub
x
wzgl¦dem
y
.Je±litak,znajd¹
warto±cipochodnychfunkcjiuwikłanychwodpowiednichpunktach.
5.Udowodnijprawdziwo±¢wzorunapochodn¡funkcjizło»onej,tznudowodnij,»eje±li
f,g
-ró»niczkowalneorazzło»enie
f
g
istnieje,
A
=
Df
g
(
p
)
,
B
=
Dg
p
,tozło»eniejest
ró»niczkowalneoraz:
D
(
f
g
)
p
=
A
·
B
.
6.Udowodnij,»eje±li
F
=(
f
1
,f
2
,...,f
n
),
f
i
:
R
k
!
R
dla
i
=1
,
2
,...,n
,orazka»daz
funkcji
f
i
jestró»niczkowalna,tofunkcja
F
jestró»niczkowalna.
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]