Zadanie 1, Skręcanie prętów
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Przykład 7.1. Skręcanie pręta – zadanie statycznie wyznaczalne
Sporządzić wykresy momentu skręcającego i kąta skręcenia dla pręta o schemacie statycznym
przedstawionym na rysunku 1.
Rysunek 1. Pręt skręcany
Niewiadomy moment M
A
obliczymy z warunku równowagi::
=
n
M
=
0
;
M
−
ml
−
m
2
l
+
ml
=
0
(1)
ix
A
i
1
M
A
=
2
ml
− obliczymy korzystając z definicji tych
wielkości. Moment skręcający w przekroju poprzecznym pręta równy jest liczbowo
algebraicznej sumie momentów względem osi pręta od wszystkich sił występujących po
jednej stronie tego przekroju. Za dodatni przyjmuje się taki moment, który działa na przekrój
obracając go przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Otrzymujemy
αα −
, β
β
,
.
.
.
α
−α
;
0
≤
x
<
l
,
M
S
()
ml
x
=
M
A
=
2
,
()
β
−
β
;
0
<
x
<
l
,
M
S
x
=
M
A
−
M
=
2
ml
−
ml
=
ml
,
()
γ
−γ
;
0
≤
x
≤
l
,
M
S
x
=
M
A
−
M
−
2
mx
=
ml
−
2
mx
,
(2)
()
δ
−
δ
;
0
≤
x
<
l
,
M
S
x
=
M
A
−
M
−
2
ml
=
−
ml
,
()
ε
−
ε
;
0
<
x
≤
l
,
M
S
x
=
M
A
−
M
−
2
ml
+
M
=
0
.
Momenty skręcające w przekrojach
β− . W
przekrojach obciążonych momentem skupionym mamy nieciągłość funkcji
()
x
=
l
−
0
przedziału α
α− jest przekrojem
x
przedziału β
= 0
+
M
S
x
, dlatego
przedziały zmiennej x zawierają ostre nierówności. Widzimy, że
()
M
S
x
są funkcjami stałymi
lub liniowymi.
Kąt skręcenia pręta obliczymy ze wzoru:
() ()
ϕ
x
=
ϕ
0
+
∫
x
M
S
()
x
dx
(3)
0
GJ
0
W poszczególnych przekrojach otrzymuje się:
() ()
x
2
ml
2
ml
()
2
ml
2
α
−
α
:
ϕ
x
=
ϕ
0
+
∫
dx
=
x
;
ϕ
l
=
,
0
GJ
GJ
GJ
0
0
0
()
2
ml
2
x
ml
2
ml
2
ml
()
3
ml
2
(4)
β
−
β
:
ϕ
x
=
+
∫
dx
=
+
x
;
ϕ
l
=
,
GJ
0
GJ
GJ
GJ
GJ
0
0
0
0
0
( )
()
3
ml
2
x
ml
−
2
mx
3
ml
2
ml
m
γ
−
γ
: ϕ
x
=
+
∫
dx
=
+
x
−
x
2
;
GJ
0
GJ
GJ
GJ
GJ
0
0
0
0
0

l

13
ml
2
()
3
ml
2
ϕ


=
=
ϕ
,
ϕ
l
=
,
2
4
GJ
max
GJ
0
0
()
3
ml
2
x
ml
3
ml
2
ml
()
2
ml
2
δ
−
δ
:
ϕ
x
=
−
∫
dx
=
−
x
;
ϕ
l
=
,
GJ
0
GJ
GJ
GJ
GJ
0
0
0
0
0
()
2
ml
2
2
ml
2
ε
−ϕ
ε
:
x
=
+
0
=
.
GJ
GJ
0
0
Zauważmy, że maksymalny kąt skręcenia występuje w przedziale γ
γ− , gdzie występuje
obciążenie momentem ciągłym, w przekroju x=l/2, w którym
M
. Z zależności:
S
=
0
() ()
d
ϕ
x
=
M
S
x
(5)
dx
GJ
0
wynika, że gdy
()
0
M
S
x
0
=
, to
()
ϕ= .
x
ϕ
0
ekstr
.
Zauważmy, że w przekrojach obciążonych skupionymi momentami występują skoki
momentów skręcających, zaś funkcja
()
ϕ jest w tych punktach nierózniczkowalna.
x
13
GJ
ml
2
Mamy: maks
ml
M
s
2
= , maks
ϕ
=
.
4
0
Zakładając, że mamy do czynienia z przekrojem kołowym, dla którego wskaźnik na skręcanie
π
d
3
wynosi
W
S
= obliczymy:
16
τ
=
maksM
S
=
32
ml
(6)
max
W
π
d
3
S
2
Przyjęto tu zmienną x mierzoną od końca poprzedniego przedziału do początku następnego.
Tak, więc przekrój
Kryteria wytrzymałości i sztywności pozwalają na określenie jednej z dwóch wielkości m lub
d, gdy dane są G, k
s
(materiał) i długość l pręta:
32
π
ml
≤
3
13
ml
2
32
104
ml
2
k
,
=
≤
ϕ
.
(7)
d
S
4
G
π
d
4
π
Gd
4
dop
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]