Zadanie 2, Skręcanie prętów
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Przykład 7.2. Skręcanie pręta – zadanie statycznie niewyznaczalne
Przedstawić wykresy momentu skręcającego i kąta skręcenia pręta zamocowanego sztywno
na obu końcach według schematu statycznego
Rysunek 1. Pręt skręcany
Równanie równowagi:
M
A
−
M
B
−
m
2
=
l
−
ml
0
,
M
A
−
M
B
=
3
ml
.
(1)
Zadanie jest statycznie niewyznaczalne; dwie niewiadome M
A
i M
B
, a tylko jedno
równanie (1). Dodatkowe równanie otrzymamy z warunków:
0
ϕ
A
=
0 =
i
ϕ
B
(2)
Pierwszy z tych warunków służy do obliczenia
()
ϕ , gdyż
()
x
ϕ =
A
ϕ
0
. Natomiast drugi
warunek
ϕ jest dodatkowym równaniem dla obliczenia momentów w zamocowaniach.
0
Obliczamy, kolejno:
()
α
−
α
;
0
≤
x
≤
l
,
M
S
M
x
=
A
,
ϕ
() ()
x
= ϕ
M
A
x
,
l
=
M
A
l
;
GJ
GJ
0
0
()
mx
β
−
β
;
0
≤
x
≤
l
,
M
S
x
=
M
A
−
,
()
M
l
M
x
mx
2
()
2
M
l
ml
2
ϕ
x
=
A
+
A
−
,
ϕ
l
=
A
−
;
GJ
GJ
2
GJ
GJ
2
GJ
0
0
0
0
0
()
γ
−
γ
;
0
≤
x
≤
l
,
M
S
x
=
M
A
−
ml
−
mx
,
(3)
=
()
2
M
l
ml
2
M
−
ml
mx
2
()
5
M
l
5
ml
2
ϕ
x
=
A
−
+
A
x
−
,
ϕ
l
=
A
−
;
GJ
2
GJ
2
GJ
4
GJ
2
GJ
4
GJ
0
0
0
0
0
0
()
δ
−δ
;
0
≤
x
<
l
,
M
S
x
=
M
A
−
2
ml
,
()
5
M
l
5
ml
2
M
x
2
ml
()
3
M
l
9
ml
2
ϕ
x
=
A
−
+
A
−
x
,
ϕ
l
=
A
−
;
2
GJ
4
GJ
2
GJ
2
GJ
GJ
4
GJ
0
0
0
0
0
0
()
ε
−ε
;
0
≤
x
≤
l
,
M
S
x
=
M
A
−
3
ml
,
()
3
M
l
9
ml
2
M
−
3
ml
()
4
M
l
21
ml
2
ϕ
x
=
A
−
+
A
x
,
ϕ
l
=
A
−
.
GJ
4
GJ
GJ
GJ
4
GJ
0
0
0
0
0
Oczywiście
()
ϕ dla przedziału ε
l
ε− jest kątem skręcenia
ϕ , który musi być równy zeru.
Zatem,
4
M
A
l
21
ml
2
−
=
0
.
(4)
GJ
4
GJ
0
0
Równania (1) i (4) dają rozwiązanie:
M
A
= ,
21
ml
16
(5)
27
M
B
=
−
ml
16
Z równań (3) i (5) obliczamy:
()
ml
21
,
()
21
ml
2
α
−α
;
M
S
x
=
ϕ
l
=
;
16
16
GJ
0
()
21
()
ml
5
,
()
17
ml
2
β
− β
;
M
S
x
=
ml
−
mx
,
M
l
=
ϕ
l
=
;
16
16
8
GJ
0
()
5
()
ml
11
,
()
65
ml
2
(6)
γ
−γ
;
M
S
x
=
ml
−
mx
,
M
l
=
−
ϕ
l
=
;
16
16
32
GJ
0
()
ml
11
,
()
27
ml
2
δ
−δ
;
M
S
x
=
−
ϕ
l
=
;
16
16
GJ
0
ε
−ε
;
M
S
()
ml
x
=
−
27
,
()
0
ϕ .
l
=
16
Ekstremalny kąt skręcenia występuje w przekroju γ
γ− i wynosi:
ϕ
5

2201
ml
2

l
=

.
(7)
16
1024
GJ
0
Zauważmy, że
maks
M
S
=
27
ml
16
(8)
2201
ml
2
maks
ϕ
.
1024
GJ
0
2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]