Zadanie 3 Kuskiewicz, WMI, TI
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Twierdzenie Hahna-Banacha
Twierdzenie Hahna-Banacha
– podstawowe twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane i
udowodnione niezależnie przez Hansa Hahna i Stefana Banacha w latach 20. XX wieku.
Twierdzenie to mówi o możliwości rozszerzenia ograniczonych funkcjonałów liniowych z
podprzestrzeni przestrzeni unormowanej na całą przestrzeń, a także o bogatej strukturze przestrzeni
sprzężonej.
Twierdzenie
Sformułowanie
Przypuśćmy, że
(a)
X
jest przestrzenią liniową nad nad ciałem liczb rzeczywistych
ℝ
,
(b)
p
:
X
ℝ
jest funkcjonałem podaddytywnym i dodatnio jednorodnym, tzn.
p

x

y

p

x

p

y
 dla wszystkich
x ,y
∈
X
,
p

x
=
p

x
 dla wszystkich
∈[0,∞]
oraz
x
∈
X
,
(c)
M
jest podprzestrzenią liniową przestrzeni
X
,
(d)
:
M
ℝ
jest odwzorowaniem liniowym takim, że

x

p

x

dla wszystkich
x
∈
M
.
Wówczas istnieje funkcjonał liniowy
:
X
ℝ
taki, że

x
=
x
 dla
x
∈
M
(1)
oraz

x

p

x

dla
x
∈
X
. (2)
Uwagi o dowodzie
• Zwykle dowód twierdzenia Hahna-Banacha jest budowany przy użyciu lematu
Kuratowskiego-Zorna, choć niektórzy autorzy podają dowody indukcyjne (dowody podane
przez Hahna w 1927 i Banacha w 1929 były właśnie indukcyjne).
• Przy pomocy twierdzenia Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-Tarskiego
, więc każdy dowód twierdzenia Hahna-Banacha wymaga pewnej formy aksjomatu
wyboru.
• Aksjomat o wyborach zależnych wystarczy dla dowodu twierdzenia Hahna-Banacha dla
przestrzeni ośrodkowych. Twierdzenie o rozszerzaniu filtrów do ultrafiltrów wystarczy do
udowodnienia twierdzenia Hahna-Banacha w pełnej ogólności, ale to ostatnie twierdzenie
nie implikuje że każdy filtr jest zawarty w filtrze maksymalnym.
Wnioski
• Jeżeli
X
jest rzeczywistą przestrzenią liniową, a funkcjonał
p
:
X
ℝ
spełnia warunek
(b), to dla każdego
x
0
∈
X
istnieje taki funkcjonał liniowy
f
:
X
ℝ
, że
f

x
0
=
p

x
0

oraz
f

x

p

x

dla
x
∈
X
.
• Załóżmy, że
(a)
X
jest przestrzenią liniową nad ciałem
K
liczb rzeczywistych bądź zespolonych,
a
p
:
X
[0,∞]
jest półnormą,
(b)
M
⊆
X
jest podprzestrzenią liniową, oraz

0
:
M

K
jest funkcjonałem
liniowym takim, że
∣
0

x
∣
p

x

dla wszystkich
x
∈
M
. (3)
Wówczas istnieje funkcjonał liniowy :
X

K
taki, że
∣
M
=
0
oraz
∣
0

x
∣
p

x

dla wszystkich
x
∈
X
. (4)
•
Twierdzenie o wydobywaniu normy
: Jeśli
X
jest niezdegenrowaną przestrzenią
unormowaną oraz
x
∈
X
∖{0} , to
∥
x
∥=
x
,
x
dla pewnego
x
,
∈
X
,
takiego, że
∥
x
,
∥=1
.
• Jeśli
X
jest przestrzenią unormowaną,
M
jest jej domkniętą podprzestrzenią liniową oraz
x
∈
X
∖
M
, to istnieje
x
,
∈
X
,
taki, że
f

x
=1,
x
,
∣
M
≡0
oraz
∥
x
,
∥=
1
dist

x,M

.(5)
• Twierdzenie o oddzielaniu.
• Stosując twierdzenie Hahna-Banacha można udowodnić istnienie granicy Banacha i
funkcjonału Banacha.
Bibliografia
1. Janusz Pawlikowski, The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox.
Fundamenta Mathematicae 138 (1991)
2. William Arveson,
The Noncommutative Hahn-Banach theorems
.
3. Mark Aronovich Naimark,
Normed Rings
. Wolters–Noordhoff, Groningen, 1970, s. 63
4. Gerd Wittstock,
Ein operatorwertiger Hahn-Banach Satz
, J. Funct. Anal. 40 (1981), s. 127–
150.
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]