Zadanie 6(1),
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Przykład 3.6. Naprężenia styczne przy zginaniu nierównomiernym.
Wykorzystując wzór Żurawskiego wyznacz rozkład naprężenia stycznego w przekroju
podporowym belki wspornikowej obciążonej na końcu swobodnym pionową siłą P. Wymiary
przekroju poprzecznego belki podane są na rysunku zamieszczonym poniżej.
Oblicz naprężenia przyjmując następujące wartości liczbowe:
P=20kN, a=1cm
Przekrój poprzeczny
P
6a
2a
2a
2a
2a
Rozwiązanie
Wyznaczymy rozkład naprężenia stycznego
xy
τ i
xz
τ ze wzoru Żurawskiego.
T
⋅
S
y
z
max
(
y
)
T
⋅
S
z
z
max
(
z
)
τ
(
y
)
=
, i
τ
(
z
)
=
gdzie:
xy
b
(
y
)
⋅
I
xz
b
(
z
)
⋅
I
z
z
S
- moment statyczny względem osi centralnej odciętej części przekroju zawarty między
prostymi y=y
o
, y=y
max
(na rysunku poniżej odcięta część przekroju oznaczona jest
zakreskowanym polem),
max
S
- moment statyczny względem osi centralnej odciętej części przekroju zawarty między
prostymi z=z
o
, z=z
max
(na rysunku poniżej odcięta część przekroju oznaczona jest
zakreskowanym polem),
b(y)- szerokość przekroju w miejscu przecięcia z prostą y=y
o
,
b(z)- szerokość przekroju w miejscu przecięcia z prostą z=z
o
,
I
z
- moment bezwładności przekroju względem osi z. Sposób obliczania momentu
bezwładności względem osi centralnej został przedstawiony w zadaniu nr 3.1 „projektowanie
przekroju poprzecznego”
y
z
T – siła tnąca skierowana wzdłuż osi y,
max
z
z
y=y
o
y=y
max
6
a
⋅
(
2
a
)
3
2
a
⋅
(
6
a
)
3
I
z
=
+
(
2
a
)
2
⋅
12
a
+
+
(
2
a
)
2
⋅
12
a
=
136
a
4
12
12
Wyznaczmy siłę tnącą w utwierdzeniu.
T=P=20[kN]
α
P
α -α
α
L
T
T
P
2
Dalsze obliczenia przeprowadzone zostaną w dwóch punktach.
W punkcie
A
wyznaczone będą naprężenia styczne
τ ,
xy
a w punkcie
B
naprężenia styczne
τ .
xz
A
. naprężenie styczne
τ
xy
Wyznaczmy naprężenie styczne
τ w dolnej części przekroju dla
xy
y
∈
(
a
a
,
)
y
ci
=(1/2) (3a+y)
Obliczmy moment statyczny odciętej części przekroju
S
y
z
max
=
y
⋅
F
ci
i
y
- oznacza współrzędną środka ciężkości odciętej części przekroju
F
pole powierzchni odciętej części przekroju
ci
S
z
max
=
1
(
3
a
+
y
)
⋅
(
3
a
−
y
)
⋅
6
a
=
3
a
⋅
(
9
a
2
−
y
2
)
.
2
Podstawiając do wzoru na naprężenie styczne obliczoną funkcję momentu statycznego
otrzymamy:
y
2
(
−
)
T
⋅
S
y
z
max
(
y
)
P
⋅
3
a
⋅
(
a
2
−
y
2
)
a
2
P
τ
(
y
)
=
=
=
⋅
dla
y
∈
(
a
a
,
)
xy
b
(
y
)
⋅
I
6
a
⋅
136
a
4
272
a
2
z
Wyznaczmy teraz naprężenie styczne w górnej, węższej części przekroju dla
y
−
(
a
5
a
,
)
3
∈
y
ci
=(1/2) (-5a+y)
Obliczmy moment statyczny odciętej części przekroju
Obliczenia można uprościć jeżeli pamiętamy, że moment statyczny względem osi centralnej
jest równy zeru. Oznacza to w naszym zadaniu, że wartości bezwzględne momentów
statycznych części górnej i dolnej przekroju są jednakowe. Momenty statyczne tych części
względem osi z muszą się różnić znakiem.
Moment części zakreskowanej równy jest więc momentowi części niezakreskowanej wziętej
ze znakiem przeciwnym.
Stąd
S
y
z
max
=
y
⋅
F
ci
i
y
- oznacza współrzędną środka ciężkości odciętej części przekroju
F
pole powierzchni odciętej części przekroju
ci
S
z
max
=
(
−
)
1
(
−
5
a
+
y
)
⋅
(
5
a
+
y
)
⋅
2
a
=
−
a
⋅
(
y
2
−
25
a
2
)
.
2
Podstawiając do wzoru na naprężenie styczne obliczoną funkcję momentu statycznego
otrzymamy:
y
2
(
25
−
)
T
⋅
S
y
z
max
(
y
)
P
⋅
a
⋅
(
y
2
−
25
a
2
)
a
2
P
τ
(
y
)
=
=
−
=
⋅
dla
y
−
(
a
,
5
)
xy
b
(
y
)
⋅
I
2
a
⋅
136
a
4
272
a
2
z
Narysujmy wykresy wyznaczonych funkcji naprężenia.
4
∈
a
+
τ
xy
τ
max
=(25/272) P/a
2
=18.38 [MPa]
τ=(24/272) P/a
2
=17.65 [MPa]
τ=(8/272) P/a
2
= 5.88 [MPa]
τ
wyznaczone ze wzoru Żurawskiego na górnej powierzchni półki wyniosło 5.88 [MPa]. W
rzeczywistości na swobodnej powierzchni górnej półki wartość tego naprężenia równa jest
zeru, a w miejscu połączenia ze środnikiem gwałtownie wzrasta.
B
.
naprężenie styczne
τ
xz
Wyznaczmy naprężenie styczne
τ w dolnej części przekroju dla
xz
z
∈ i
(
a
,
)
z
−
(
−
3
a
,
a
)
.
∈ to znaczy dla
przekroju dzielącego pionowo środnik jest formalnie możliwe, ale ze względu na małą
zgodność z rzeczywistością nie będzie tu przedstawiane.
τ dla
z
−
(
a
a
,
)
Wyznaczmy naprężenia dla
z
∈
(
a
,
)
5
Należy pamiętać o tym, że otrzymaliśmy przybliżony rozkład naprężenia stycznego.
Założenie o stałym rozkładzie naprężenia wzdłuż osi z, poczynione przy wyprowadzaniu
wzoru Żurawskiego nie pozwala na uwzględnienie zaburzeń pola naprężenia szczególnie
dużych w miejscu skokowej zmiany szerokości przekroju belki. Naprężenie styczne
xy
a
∈
Wyznaczanie ze wzoru Żurawskiego naprężeń stycznych
xz
a
[ Pobierz całość w formacie PDF ]