ZADANIE BRZEGOWE LINIOWEJ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI, Matematyka, Wytrzymałość materiałów
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ZADANIE BRZEGOWE LINIOWEJ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
1
ZADANIE
: dla ciała obciążonego na powierzchni S
q
i posiadającego więzy na pow
ie
rzchni S
u
wyznaczyć tensor naprężenia T
σ
, tensor odkształcenia T
ε
i wektor przemieszczenia
u
.
1. NARZĘDZIA : komplet równań liniowej (fizykalnie i geometrycznie) teorii sprężystości
równania równowagi -
równania Naviera
σ
ij j
,
+=
0
X
i
3 równania, 6 niewiadomych
σ
ij
+ statyczne warunki brzegowe na S
q
q
i
ν
=
σα
i j
ν
j
liniowe równania geometryczne -
równania Cauchy 'ego
ε
ij
=
1
2
( )
uu
i j
,
+
,
6 równań, 3 niewiadome u
i
+ kinematyczne warunki brzegowe na S
u
liniowe równania fizyczne -
równania Hooke 'a
ε
ij
= + −
1
[
( )
ν σ ν σ δ
ij
kk ij
]
6 równań, 6 niewiadomych
ε
ij
E
Zadanie do rozwiązania:
układ 15 równań rózniczkowo - algebraicznych o 15 niewiadomych,
równań które muszą spełniać narzucone statyczne i kinematyczne warunki brzegowe.
Dowód istnienia rozwiązania:
dowód istnienia i jednoznaczności istnienia zadania
brzegowego liniowej teorii sprężystości podał Kirchhoff (1859) (szczegóły - patrz
FUNG Y. C.,
Podstawy Mechaniki Ciała Stałego, rozdz. 7.4.
)
2. METODY REDUKCJI LICZBY RÓWNAŃ LTS
Metoda sił
eliminacja przemieszczeń z
równań Cauchy’ego
Ð
1
Õ
Õ
2
równania Hooke ' a
równania nierozdzielności
odkształceń
równania Naviera
Ð
4
3
równania Beltramiego (1892) - Michella (1900)
(równania nierozdzielności odkszt. w naprężeniach)
j i
1
ZADANIE BRZEGOWE LINIOWEJ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
2
ε ε ε ε
ij kl
,
+ − − =
0
kl ij
,
ik jl
,
jl ik
,
ε
ij
=
1
+
ν
σ
ij
−
ν
σδ
kk ij
E
E
σ σ σ σ
i j kl
,
+ − − =
kl ij
,
ik jl
,
jl ik
,
ν
(
σδ σδ σδ σδ
,
kl i j
+
,
i j kl
−
,
jl ik
−
,
ik jl
)
1
+
ν
gdzie
σ
=
σ
kk
σ
ij j
,
+=
X
i
0
⇒
σ
ij jk
,
=−
X
i k
,
zrównujemy wskaźniki
k = l
∇+
2
σ
ij
1
ν
σ
,
ij
−
ν
∇ = − +
2
σδ
,
ij
(
XX
i j
,
j i
,
)
1
+
1
+
ν
2
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
2
2
2
gdzie
∇= + +
x
2
x
2
x
2
1
2
3
zrównujemy wskaźniki
i = j
⇒
∇=−
+
−
2
σ
1
1
ν
X
i,
∇+
2
σ
ij
1
ν
σ
kk ij
,
=−
−
ν
ν
δ
ij i i
XXX
,
− +
(
i j
,
,
)
1
+
1
+ statyczne i kinematyczne warunki brzegowe
Metoda przemieszczeń
równania równowagi
Õ
Õ
1
równania Hooke ' a
Ð
3
2
równania geometryczne
równania Naviera (1820 ?)
(równania równowagi w przemieszczeniach)
σ
ij j
,
+=
0
X
i
σ
ij
=
2
G
ε λ ε δ
ij
+
kk ij
2
G
ε λ ε δ
ij j
,
+
kk j ij
,
+ =
X
i
0
ε
ij
=
1
2
( )
uu
i j
,
+
,
Gu
ijj
,
++ +=
( )
G
λ
u
jji
,
X
i
0
dywergencja pola wektorowego
u
div u
= + + =
∂
∂
u
x
1
∂
∂
u
x
2
∂
∂
u
x
3
u
jj
,
1
2
3
gradient pola skalarnego
ϕ
grad
ϕ
=


∂ϕ
∂
x
,
∂ϕ
∂
x
,
∂ϕ
∂
x


=
ϕ
,
i
1
2
3
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
ϕ
∂ ∂ ∂
2
2
2
laplasjan pola skalarnego
ϕ
∇= + + =
2
ϕ
i,
x
2
x
2
x
2
1
2
3
Gu G r d ivuX
∇++
2
i
( )
λ
+=
i
0
+
statyczne i kinematyczne warunki brzegowe
ν
j i
j i
ZADANIE BRZEGOWE LINIOWEJ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
3
3. METODY ROZWIĄZANIA ZADANIA BRZEGOWEGO
metoda bezpośrednia rozwiązania równań Beltramiego-Michella lub Naviera : metoda
ogólna, ale b. trudna,
metoda "półodwrotna" : możliwa do wykorzystania jedynie w szczególnych przypadkach,
niekiedy "zadowala się" przybliżeniami, ale stosunkowo prosta
METODA PÓŁODWROTNA
Podejście statyczne
(analogia do met. przemieszczeń)
Podejście kinematyczne
(analogia do met. sił)
sprawdzić stat. war. brzeg.
"wymyślić"
u
1
,
u
2
,
u
3
sprawdzić kinematyczne war. brzeg.
sprawdzić równ. Naviera
wyznaczyć odkształcenia
ε
i j
=
wyznaczyć odkształcenia
ε
i j
σ
i j
(
)
ε
i j
=
1
(
u
i, j
+
j, i
u
)
2
sprawdzić równ. nierozdz. odkszt.
wyznaczyć przemieszczenia
ε
i j
=
1
wyznaczyć naprężenia
σ
i j
=
σ
i j
(
ε
i j
)
(
u
+
j, i
u
)
2
i, j
+ statyczne war. brzegowe
+ równania Naviera
+ kinematyczne war. brzegowe
Jeżeli przemieszczenia wynikające z
rozwiązania równań geometrycznych nie
spełniają kinematycznych warunków
brzegowych, to przyjęta macierz naprężeń
nie opisuje rzeczywistego pola naprężeń.
Należy znaleźć inną macierz i ponownie
przebyć całą procedurę.
4. ZASADA SUPERPOZYCJI
ZADANIE
:
ciało o ustalonych więzach kinematycznych obciążono układem obciążenia
( )
,
(1)
i otrzymano rozwiązanie zadania brzegowego
T
σε
(1)
,
(1)
, u. tępnie to samo
(1)
ciało obciążono układem obciążenia
( )
u . Jakie
jest rozwiązanie zadania brzegowego przy łącznym obciążeniu ciała obydwoma układami
obciążeń ?
qX
() ()
2
,
2
i uzyskano rozwiązanie
TT
() ()
()
2
,
2
,
2
ROZWIĄZANIE :
rozwiązanie dla łącznego układu obciążenia
qq q
(1)
( )
2
XX X
= +
(1)
(1)
jest sumą rozwiązań dla układu (1) i (2), tzn.:
TT T
(1)
( )
2
TT T
ε
ε
= +
(1)
( )
2
uu u
= +
(1)
( )
ε
DOWÓD :
wszystkie równania teorii sprężystości, łącznie z warunkami brzegowymi są
równaniami liniowymi, a dla zależności liniowych zawsze obowiązuje zasada superpozycji.
"wymyślić" T
σ
(1)
qX
σ ε
= +
2
= +
σ
σ σ
ZADANIE BRZEGOWE LINIOWEJ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
4
PRZYKŁAD :
równania Naviera
Założenie :
σ
(1)
+ =
X
(1)
0
σ
()
+ =
()
2
0
ij j
,
i
ij j
i
Teza :
(
)
(
)
σσ
(1)
+
( )
+ + =
XX
(1)
( )
2
0
ij
ij
i
i
,
j
Dowód:
σσ
(1)
+ + + = ⇒ +
()
2
XX
(1)
()
0
(
)
(
)
(1)
()
2
+ + =
( )
2
0
ij j
,
ij j
,
i
i
ij
ij
i
i
,
j
5. ZASADA de SAINT-VENANTA (1855)
Zasada intuicyjno - empiryczna, bez istnienia ogólnego dowodu teoretycznego jej
słuszności,
Dla bryły obciążonej na niewielkiej powierzchni w porównaniu z całkowitą powierzchnią
ciała znane jest rozwiązanie zagadnienia brzegowego. Zmieniamy obciążenie na tej
powierzchni, ale tak, aby oba obciążenia były statycznie równoważne (
S
(1)
=
S
(2)
,
M
(1)
=
M
(2)
).
Zasada de Saint-Venanta mówi, że rozwiązanie dla nowego obciążenia różni się od
wyjściowego dowolnie mało, poza niewielkim obszarem w pobliżu obciążonej powierzchni.
2
X
,
2
2
σσ
(1)
XX
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]