zaedaniaegzamin, Studia, golański, Zadanka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Egzamin z przedmiotu: Wstęp do Teorii GierZadanie 1Prowadzący: dr Michał LewandowskiAgnieszka Radwańska gra w tenisa z Karoliną Woźniacki. Agnieszka może zaserwować na backhandlub na forehand Woźniacki. Jeśli Woźniacki przewidzi właściwie, na którą stronę Agnieszka zaserwuje,odbierze serw z większym prawdopodobieństwem. Agnieszka ma jednak silniejszy serwis nabackhand. Dlatego, jeśli Agnieszka zaserwuje na backhand a Karolina to przewidzi, wówczas Karolinaodbierze z prawdopodobieństwem 60%, a jeśli zaserwuje na forehand i Karolina to przewidzi,wówczas odbierze z prawdopodobieństwem 90%. Jeśli Woźniacki nie przewidzi serwu na forehand,wówczas odbierze z prawdopodobieństwem 20%, a jeśli nie przewidzi serwu na backhand, odbierze zprawdopodobieństwem 30%. Gra w formie strategicznej jest pokazana w tabeli poniżej.a) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek. ………………………..…………………..……………………………………………………………………………………………………………………………b) Wyznacz i narysuj korespondencje najlepszych odpowiedzi dla obu tenisistek na jednymwykresie.Korespondencje najlepszych odpowiedzi:………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………Zadanie 2Dana jest następująca gra:a) Znajdź równowagę Nasha ……………………………………………………………………………………………………….b) Znajdź poziomy bezpieczeństwa wiersza i kolumny (wypłaty, jakie mogą sobiezagwarantować gracze – np. poziom bezpieczeństwa kolumny to wypłata w równowadze wgrze najbardziej dla kolumny niekorzystnej, czyli takiej, gdzie wypłaty kolumny są identycznejak w grze powyżej a wypłaty wiersza są po prostu ujemnymi wypłatami kolumny)Gra wierszaAABKolumnyAABPoziomy bezpieczeństwa: Wiersza:………………………., Kolumny:……………………………BBc) Narysuj wielobok wypłat i nanieś na niego status quo wyznaczony w poziomachbezpieczeństwa graczy oraz zbiór negocjacyjny (bargaining set)d) Znajdź rozwiązanie arbitrażowe Nasha, gdzie status quo jest wyznaczone przez poziomybezpieczeństwa graczy ……………………………………………………………………………………………………………Zadanie 3Rozważmy problem duopolu. Mamy dwie firmy, produkujące identyczne dobro. Każda z firm wybierawłasną produkcję (x1 i x2). Cena dobra dana jest odwrotną funkcją popytu p(x1,x2)=60-3(x1+x2) (lub0 jeśli suma produkcji przekracza 20). Funkcja kosztów wynosi ci(xi)=12xi dla i=1,2. Obaj gracze dążądo maksymalizacji zysku, czyli różnicy między dochodem a kosztem.a) (Cournot) Przyjmijmy, że gracze dokonują wyboru x1 i x2 jednocześnie. Wyznacz równowagiNasha oraz zyski w równowadze ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….b) (Stackelberg) Przyjmijmy, że najpierw decyzje podejmuje gracz 1, a następnie –zaobserwowawszy decyzję gracza 1 – decyzję podejmuje gracz 2. Przebieg gry, wypłaty imożliwe akcje i strategie są wspólną wiedzą w tej grze. Wyznacz równowagę i zyski wrównowadze. (Wskazówka użyj indukcji wstecznej, najpierw rozwiąż problem gracza 2 i wyznaczfunkcję reakcji na akcję gracza 1, potem podstaw do problemu gracza 1) ………………………………….……………………………………..……………………………………………………………………………………………………………..Zadanie 4Dana jest następująca gra:a) Zamień powyższą grę w postaci ekstensywnej na grę w postaci strategicznej.b) Znajdź równowagi Nasha w strategiach czystych. ……………………………………………………………………c) Czy są równowagi Nasha, które nie są równowagami doskonałymi w podgrach? ……………………d) Ile podgier można wyróżnić w poniższym drzewie (cała gra jest również podgrą)? ……………......Zadanie 5Dana jest następująca gra:Gracz 2ABCX4,21,12,3Y0,24,22,1Gracz 1a) Rozwiąż grę metodą iteracyjnej eliminacji strategii zdominowanych. Za każdym razem podaj,przez jaką strategię jest zdominowana dana strategia. Podaj równowagę Nasha będącąrozwiązaniem. ………………..…………………………………….…………………………………………………………………b) Czy w wyniku procedury z punktu a) nie straciliśmy jakiejś równowagi Nasha? Jeśli tak, tojaką? …………………………………….…………………………………….…………………………………………………………..Zadanie 6Dana jest następująca gra ultimatum.a) Ile strategii ma gracz 1? Ile strategii ma gracz 2? Gracz 1:………….., Gracz 2:…………….b) Podaj równowagi doskonałe w podgrach? ……………………………………………………………………………………………….c) Czy strategia zaakceptuj 3 a wszystko inne odrzucaj dla gracza 2 oraz zaoferuj 3 dla gracza 1 jestrównowagą Nasha? Uzasadnij jednym zdaniem. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….Zadanie 7Znajdź równowagi stabilne ewolucyjnie w następującej grze:Odpowiedź: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..Zadanie 8Dana jest gra „Panika finansowa” omawiana na wykładzie.a) Czy istnieje równowaga separowalna, w której dobry typ Wypłaca a słaby Nie Wypłaca pieniędzy zbanku? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..b) Sprawdź następujące strategie: Gracz 1: Nie Wypłacać, Gracz 2- dobry: Nie Wypłacać, Gracz 2- słaby:Wypłacać. Czy jest to równowaga Bayesowska Nasha? Jeśli tak, to dla jakich wierzeń gracza 1? …………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….Zadanie 9(DODATKOWE)Ala, Basia i Cecylia oraz Darek, Ernest oraz Filip są z tej samej klasy. W długich rozmowach na przerwach chłopcyustalili jako najważniejsze kryterium oceny, że blondynka powinna mieć niebieskie oczy a brunetka ciemne.Dziewczynki z kolei stwierdziły po długiej konwersacji, że fajny chłopak musi być przede wszystkim wysoki. Wponiższych tabelkach znajduje się charakterystyka chłopców i dziewczynek:WłosyAlaBlondynkaBasiaBrunetkaCecylia BrunetkaOczyNiebieskieCiemneJasneWłosyBlondynBrunetBlondynWzrostWysokiWysokiNiskiDarekErnestFilipOkazało się, że blondynki wolą brunetów, brunetki blondynów, bruneci brunetki (!) i blondyni blondynki (!).a) Sporządź ranking chłopców odnośnie dziewczynek i dziewczynek odnośnie chłopców.I miejsce II miejsce III miejsceAlaBasiaCecyliaDarekErnestFilipI miejsce II miejsce III miejsceb) Czy poniższe skojarzenie jest stabilne? Jeśli nie, podaj kto z kim mógłby zablokować to skojarzenie?Basia - Darek,Cecylia – ErnestAla - Filip……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….c) Jakie skojarzenie będzie wybrane, jeśli użyjemy algorytmu Gale-Shapley’a z chłopcami proponującymiwyjście na randkę dziewczynkom?…………………………………………….…………………………………………….…………………………………………….d) Czy można zyskać poprzez podanie nieprawdziwych preferencji? Wskazówka: użyj algorytmu Gale-Shapley’az chłopcami proponującymi (jak wyżej), jeśli Ala skłamie i powie, że woli Filipa niż Darka. Jakie będziewówczas skojarzenie:…………………………………………….…………………………………………….…………………………………………….Zadanie 10(DODATKOWE)Rozważmy następującą grę: dwóch przestępców zostało zamkniętych w osobnych celach.•••Jeśli oboje będą zeznawać, dostaną wyroki każdy po 5 latJeśli oboje nie będą zeznawać, dostaną wyroki każdy po 1 rokuJeśli jeden będzie zeznawać a drugi nie, to ten pierwszy zostanie zwolniony w ogóle a ten drugi dostaniemaksymalny wyrok 20 lat.Zanim jednak zaczną grać, każdy z przestępców może wybrać czy być honorowym czy niehonorowym(niezależnie i bez informowania drugiego). Niehonorowy przestępca dba wyłącznie o to, aby jak najkrócejprzesiedzieć w więzieniu. Honorowy przestępca natomiast nie lubi być kapusiem. Jego użyteczność jeśli on samnie zeznaje pozostaje niezmieniona. Teraz jednak woli nie zeznawać i siedzieć 20 lat w więzieniu niż zeznawać isiedzieć 5 lat (w przypadku, kiedy ten drugi zeznaje). Również woli nie zeznawać i siedzieć rok w więzieniu niżzeznawać i zostać zwolnionym (w przypadku kiedy ten drugi nie zeznaje).Zapisz grę w postaci ekstensywnej. Poprzez znalezienie równowag Nasha w odpowiednich podgrach i metodęindukcji wstecznej znajdź równowagi doskonałe w podgrach. Ile ich jest? [ Pobierz całość w formacie PDF ]