zaedaniaegzaminodpowiedzi, Studia, golański, Zadanka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Egzamin z przedmiotu: Wstęp do Teorii Gier
Prowadzący: dr Michał Lewandowski
Zadanie 1
Agnieszka Radwańska gra w tenisa z Karoliną Woźniacki. Agnieszka może zaserwować na backhand
lub na forehand Woźniacki. Jeśli Woźniacki przewidzi właściwie, na którą stronę Agnieszka zaserwuje,
odbierze serw z większym prawdopodobieństwem. Agnieszka ma jednak silniejszy serwis na
backhand. Dlatego, jeśli Agnieszka zaserwuje na backhand a Karolina to przewidzi, wówczas Karolina
odbierze z prawdopodobieństwem 60%, a jeśli zaserwuje na forehand i Karolina to przewidzi,
wówczas odbierze z prawdopodobieństwem 90%. Jeśli Woźniacki nie przewidzi serwu na forehand,
wówczas odbierze z prawdopodobieństwem 20%, a jeśli nie przewidzi serwu na backhand, odbierze z
prawdopodobieństwem 30%. Gra w formie strategicznej jest pokazana w tabeli poniżej.
a)
Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek.
Nie ma równowag w strategiach czystych (patrz tabelka powyżej). Szukamy równowagi w strategiach
mieszanych. Oznaczmy przez p prawdopodobieństwo backhand_W a przez q prawdopodobieństwo
backhand_R.
Woźniacki tak wybiera p, aby Radwańska była obojętna pomiędzy backhandem i forehandem:
Radwańska tak wybiera q, aby Woźniacki była obojętna pomiędzy backhandem i forehandem:
Równowaga jest zatem następująca:
(0,7 backhand_R + 0,3 forehand_R; 0,6 backhand_W + 0,4
backhand_W). Wypłaty:
b)
Wyznacz i narysuj korespondencje najlepszych odpowiedzi dla obu tenisistek na jednym
wykresie.
q
Korespondencje najlepszych odpowiedzi:
0,7
0,6
p
Zadanie 2
Dana jest następująca gra:
a)
Znajdź równowagę Nasha:
Jedyną równowagą Nasha jest AA
b)
Znajdź poziomy bezpieczeństwa wiersza i kolumny (wypłaty, jakie mogą sobie
zagwarantować gracze – np. poziom bezpieczeństwa kolumny to wypłata w równowadze w
grze najbardziej dla kolumny niekorzystnej, czyli takiej, gdzie wypłaty kolumny są identyczne
jak w grze powyżej a wypłaty wiersza są po prostu ujemnymi wypłatami kolumny)
Gra wiersza
Kolumny
A
B
A
B
2
7
7
2
A
A
B
0
1
B
1
0
Poziomy bezpieczeństwa: Wiersza: 2, Kolumny: 1
c)
Narysuj wielobok wypłat i nanieś na niego status quo wyznaczony w poziomach
bezpieczeństwa graczy oraz zbiór negocjacyjny (bargaining set)
Zbiór negocjacyjny
SQ
d)
Znajdź rozwiązanie arbitrażowe Nasha, gdzie status quo jest wyznaczone przez poziomy
bezpieczeństwa graczy
Najpierw znajdziemy równanie prostej przechodzącej przez odcinek oznaczający zbiór negocjacyjny:
Teraz podstawimy do problemu maksymalizacji
Warunki konieczne maksymalizacji (ponieważ parabola jest wklęsła są również warunkami
wystarczającymi):
Zatem rozwiązaniem jest punkt
(5,4)
.
Zadanie 3
Rozważmy problem duopolu. Mamy dwie firmy, produkujące identyczne dobro. Każda z firm wybiera
własną produkcję (x1 i x2). Cena dobra dana jest odwrotną funkcją popytu p(x1,x2)=60-3(x1+x2) (lub
0 jeśli suma produkcji przekracza 20). Funkcja kosztów wynosi ci(xi)=12xi dla i=1,2. Obaj gracze dążą
do maksymalizacji zysku, czyli różnicy między dochodem a kosztem.
a)
(Cournot) Przyjmijmy, że gracze dokonują wyboru x1 i x2 jednocześnie. Wyznacz równowagi
Nasha oraz zyski w równowadze
Problem gracza 1:
Analogicznie dla gracza 2.
Warunki pierwszego rzędu (warunki konieczne istnienia ekstremum) dla problemów maksymalizacji
obu graczy (funkcja wklęsła i dlatego są to zarazem warunki wystarczające):
Rozwiązując otrzymujemy:
Zyski wynoszą:
b)
(Stackelberg) Przyjmijmy, że najpierw decyzje podejmuje gracz 1, a następnie –
zaobserwowawszy decyzję gracza 1 – decyzję podejmuje gracz 2. Przebieg gry, wypłaty i
możliwe akcje i strategie są wspólną wiedzą w tej grze. Wyznacz równowagę i zyski w
równowadze. (Wskazówka użyj indukcji wstecznej, najpierw rozwiąż problem gracza 2 i wyznacz
funkcję reakcji na akcję gracza 1, potem podstaw do problemu gracza 1)
Rozwiązujemy najpierw problem drugiego gracza (analogicznie, jak powyżej):
Warunek pierwszego rzędu:
Stąd wyznaczamy funkcję reakcji gracza 2 na akcję gracza 1:
Teraz tą funkcję reakcji wstawimy do problemu gracza 1 zamiast x2:
Tak więc rozwiązaniem jest:
Zyski wynoszą:
Zadanie 4
Dana jest następująca gra:
a)
Zamień powyższą grę w postaci ekstensywnej na grę w postaci strategicznej.
C
D
E
F
AG
0,8
0,8
0,8
0,8
AH
0,8
0,8
0,8
0,8
BG
3,1
1,3
2,2
3,0
BH
0,0
0,0
2,2
3,0
 b)
Znajdź równowagi Nasha w strategiach czystych: Są dwie równowagi Nasha w strategiach
czystych:
(BG,D) oraz (BH,E)
c)
Czy są równowagi Nasha, które nie są równowagami doskonałymi w podgrach?
Tak (BH,E)
d)
Ile podgier można wyróżnić w poniższym drzewie (cała gra jest również podgrą)?
Są 3
podgry
.
Zadanie 5
Dana jest następująca gra:
Gracz 2
X
Y
A
4,2
0,2
Gracz 1
B
1,1
4,2
C
2,3
2,1
a)
Rozwiąż grę metodą iteracyjnej eliminacji strategii zdominowanych. Za każdym razem podaj,
przez jaką strategię jest zdominowana dana strategia. Podaj równowagę Nasha będącą
rozwiązaniem.
1) Najpierw eliminujemy strategię C gracza pierwszego, która jest silnie zdominowana przez strategię
mieszaną pA+(1-p)B, gdzie p spełnia następujące warunki:
Zatem
.
2) Następnie eliminujemy strategię X gracza drugiego, ponieważ jest słabo zdominowana przez
strategię Y.
3) Na koniec eliminujemy strategię A gracza pierwszego, ponieważ jest silnie zdominowana przez
strategię B. Rozwiązanie,
czyli para strategii B,Y jest równowagą Nasha w strategiach dominujących
.
b)
Czy w wyniku procedury z punktu a) nie straciliśmy jakiejś równowagi Nasha? Jeśli tak, to
jaką?
Utraciliśmy równowagę A,X
w wyniku kroku drugiego powyżej – w drugim kroku wyeliminowaliśmy
strategię słabo zdominowaną, a wówczas możemy stracić pewne równowagi Nasha, mianowicie te,
które nie są równowagami w strategiach dominujących.
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]