Zag wlasne, gik, gik, I sem, zaawans met oprac obserwacji
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Aleksander Brzezińskia.brzezinski@gik.pw.edu.pl, tel. 0607/211-589ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJzagadnienie własne, diagonalizacja macierzyWykład: Zaawansowane metody opracowywania obserwacjiKierunek: Geodezja i Kartografia, semestr II 2014/2015notatki do wykładu w dniu 21.10.2014 r.Zalecana lektura:Strang G., and Borre K., 1997, Linear algebra, geodesy, and GPS, Wellesley-Cambridge Press, Wellesley, MA 02181 USAArnold V. I., 1973, Ordinary Differential Equations, (translated from Russian and edited by R. A. Silverman), The M.I.T. Press,Cambridge, Mass., and London, England (Polish translation was published by PWN in 1975)Brzeziński A., 1987, Polar motion and excitation functions, Mitteilungen der geod¨tischen Institute der Technischen Universit¨taaGraz, Folge 58, Graz, AustriaElementy algebry liniowej: zagadnienie własne, diagonalizacja macierzyZagadnienie własne:niechAbędzie macierzą kwadratową wymiarun×no stałych współczyn-nikach. Szukamy niezerowych rozwiązań równania liniowego (układu równań)A⃗=λ⃗ ,xx(1)w którym̸⃗=⃗jest wektorem wymiarun.Parametr skalarnyλ,dla którego takie rozwiązaniexistnieje jest nazywanywartością własnąmacierzyA,natomiast odpowiadający wektor⃗jestxnazywanywektorem własnymmacierzyA.Poszukiwanie wartości i wektorów własnych zadanejmacierzyAjest nazywanezagadnieniem własnym.Rozwiązywanie zagadnienia własnego od-grywa ważną rolę w studiowaniu dynamiki fizycznych układów. Natomiast w algebrze liniowejzagadnienie własne jest ściśle związane z procedurą diagonalizacji macierzy kwadratowych.Równanie (1) możemy przedstawić w równoważnej postaci(A−λI)⃗=⃗ ,x(2)gdzieIoznacza macierz jednostkową wymiarun×n,natomiast⃗jest wektorem zerowymwymiarun.Równanie (2) opisuje jednorodny układ równań liniowych. Warunkiem koniecznym idostatecznym istnienia niezerowych rozwiązań jest zerowanie się wyznacznika macierzy układu:det(A−λI)= 0.(3)(4)Wyznacznik ten jako funkcja parametruλjest wielomianem stopnianpostacidet(A−λI)=PA(λ) = (−1)nλn+an−1λn−1+. . .+a1λ+a,gdzieaℓsą stałymi współczynnikami. Jest to tzw.wielomian charakterystycznymacierzyA.Elementy algebry liniowej: zagadnienie własne, diagonalizacja macierzyA zatem, wartości własne macierzyAsą pierwiastkami jej wielomianu charakterystycznego, czylirozwiązaniamirównania charakterystycznegoPA(λ) = 0.(5)Podstawowe równanie algebry mówi, że wielomian stopnianma dokładnienpierwiastków,uwzględniając ich krotności. W konsekwencji, dowolna macierzAwymiarun×nmanwartościwłasnychλ1, λ2, . . . , λn, w ogólności zespolonych.Jeśli macierzAma różne wartości własneλ1, λ2, . . . , λn, wówczas istniejenodpowiadającychwektorów własnych⃗1, ⃗2, . . . , ⃗n, które są liniowo niezależne.x xxJeśli macierzAjest rzeczywista, wówczas również wielomian charakterystyczny ma współ-czynniki rzeczywiste. W tym przypadku zespolone wartości własne mogą występować tylko wewzajemnie sprzężonych parach, tzn. jeśliλjest zespoloną wartością a⃗jest odpowiadającymxjej wektorem własnym, wówczas równieżλ∗i(⃗ )∗są wartością i wektorem własnym.xUwagi1. Wektory własne nie są zdefiniowane jednoznacznie. Jeśli⃗ℓjest wektorem własnym odpo-xwiadającym wartości własnejλℓ, wówczas iloczync⃗ℓ, gdziecjest dowolnym niezerowymxskalarem, jest także wektorem własnym odpowiadającymλℓ. Dokonując wyboru kierujemysię na ogół kryterium wygody wybierając np. wektory własne o współrzędnych całkowitych.2. Wartość własna może być zerem, co ma miejsce w przypadku macierzy osobliwejA.Elementy algebry liniowej: zagadnienie własne, diagonalizacja macierzyTwierdzenie:Jeśli macierzAwymiarun×nmanwartości własnychλ1, λ2, . . . , λn, wówczas1. iloczyn wartości własnych jest równy wyznacznikowi macierzyA,czyliλ1·λ2·. . .·λn=detA.(6)(7)2. suma wartości własnych jest równa śladowi macierzyA,czyliλ1+λ2+. . .+λn=trA=a11+a22+. . .+ann.3. diagonalizacja macierzy: jeśli odpowiadające wektory własne⃗1, ⃗2, . . . , ⃗nistnieją i są li-x xxniowo niezależne, wówczas···λ1λ2···−1S AS= Λ =. . . . ..(8). ...0 0· · ·λn]x xxgdzieS=⃗1⃗2. . . ⃗njest macierząn×n,której kolumny są wektorami własnymi.[Uwagi1. Dekompozycja (8) nie jest jednoznaczna ze względu na niejednoznaczność wektorów wła-snych.2. W przypadku macierzyAn×n, która ma mniej niżnwektorów własnych, diagonalizacja jestniemożliwa. To może mieć miejsce tylko w przypadku wielokrotnych wartości własnych.Elementy algebry liniowej: zagadnienie własne, diagonalizacja macierzyA=SΛS−1.Ak=SΛkS−1dlak= 1, 2, 3,. . . .Równanie (8) można równoważnie przedstawić jako dekompozycję macierzyA(9)(10)Korzystając z tej dekompozycji można bardzo łatwo liczyć potęgi macierzy Agdzieλk1···kλ2· · ·kΛ =. . .. ..(11). .. .k0 0· · ·λnDekompozycja (10) może być uogólniona na ujemne wartościkorazk= 0,przy założeniuλℓ̸= 0dlaℓ= 1, 2,. . . , n.Następnym krokiem może być uogólnienie na ułamkowe potęgiA.Jako przykład możemy policzyć pierwiastek kwadratowy macierzyA√λ1√· · ·√−1√λ2· · ·−1B=A=SΛS =S.(12). ... .S ,..√.· · ·λnzakładającλℓdlaℓ= 1, 2,. . . , n.Na mocy równania (10) macierzBspełnia tożsamośćB2=A,co uzasadnia nazwę “pierwiastek kwadratowy macierzyA”. [ Pobierz całość w formacie PDF ]