Zagadnienia na poprawe semestruI GIK, Matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ĆWICZENIA Z MATEMATYKI -
ZAGADNIENIA NA POPRAWĘ SEMESTRU I
1. ROWZIĄZYWANIE RÓWNAŃ I NIERÓNOŚCI
Zakres materiału dotyczący:

równań kwadratowych – znajomość pojęć: delta, miejsca zerowe (zależność liczby miejsc
zerowych w zależności od wyróżnika kwadratowego, wykres trójmianu kwadratowego);

wielomianów - będzie obejmował rozkładanie wielomianu na czynniki z zastosowaniem:
wyciągania czynnika przed nawias, grupowania wyrazów, zastosowania tw. Bezout, rysowanie
wykresu,
Zad. Rozwiązać nierówności:
a)
2
6 9 0
  
,
b)
3 2
6 0
x x x
  
.
c)
3 2
x x x
x x x
   
.
4 5 2 0
x
x

2
3
2
d)

.

2. SZKICOWANIE WYKRESÓW FUNKCJI
Zakres materiału dotyczący szkicowania wykresów funkcji będzie obejmował wszystkie przykłady
z zestawu, czyli niezbędna jest umiejętność przekształcania wykresy funkcji, wyznaczania miejsc
zerowych oraz wierzchołka trójmianu kwadratowego.
Zad. Naszkicować wykres funkcji i wskazać miejsca zerowe:
  


x x
2
6
dlax
 
2
a)
 
f x
,

 
x
2
dlax
 
2
  


x x
2
6
dlax

3
b)
 
f x
.

 
x
3
dlax

3
3. MACIERZE I UKŁADY RÓWNAŃ
Zakres materiału dotyczący macierzy obejmuje wszystkie zadania z zestawu, przy czy szczególną
uwagę należy zwrócić na wyznaczniki, rząd macierzy i macierz odwrotną, bo te zadania na pewno
pojawią się na zaliczeniu.
Układy równań zarówno cramerowskie oraz z zastosowaniem tw. Kroneckera – Capelliego, to kolejne
dwa przykłady, które na pewno będą na zaliczeniu.
Przykłady:
Zad 1. Rozwiązać następujące układy równań:

4 2 4 2
3 6
3 4 5
x y z
x y z
x y z
   

2 3 3 2
2 4 6 2 6
5 8 5 7
x y z t
x y z t
x y z t


   


   
a)
, b)

  

   
Zad. 2.Obliczyć

A

1

1
0



A


2

3
1



2
0
1


   
 Zad. 3. Obliczyć:

1

2
0
0



0
1
3
5


det

2
4

1

1





2
2
0
1

Zad. 4. Obliczyć rząd macierzy:

1

2
0
0
1



0
1
3
5
0


A


2
4

1

1
2





2
2
0
1

2

4. GEOMETRIA ANALITYCZNA
Zakres materiału dotyczący geometrii analitycznej będzie obejmował obliczanie pól powierzchni figur
(trójkątów i równoległoboków), objętości brył (czworościanów i równoległościanów), wyznaczanie
równania płaszczyzny i prostej w
3

, szukanie punktu symetrycznego do prostej i płaszczyzny.
Przykładowo:
Zad. 1
Dane są punkty (5, 4), (3,2), (2, 5)
A B C


a) oblicz pole trójkąta
ABC
,
b) sprawdź czy trójkąt
ABC
jest prostokątny.
O A B C
b) rozpiętego na wektorach
     
     
1,0, 2 , 0,2, 3 , 1, 1,2
Zad.3
Wyznacz równanie parametryczne prostej w
3

przechodzącej przez punkty
 
A

B
 .
 
Zad.4
Oblicz równanie płaszczyzny przechodzącej przez:
a)
punkty
 
A
 ,
 
2,3, 1
B
,
 
1,0,2
C
,
2,2,1
b)
punkt
 
A
 oraz wektory [ 1,3,2], [3,2,5]
2,3, 1
u v
 

,
c)
proste o równaniach
x t
k y t
z t
1 ,
: 1 ,
1 2,


 
x t
l y t
z t


 


  


  

 

 
Zad.5
Znaleźć punkt symetryczny do punktu (5,2, 1)
A
 względem płaszczyzny o równaniu
: 2 3 23 0

    .
x y z
UWAGA !:
- do prawie wszystkich z powyższych zadań potrzebna jest umiejętność obliczania iloczynów:
skalarnego, wektorowego oraz mieszanego.
Zad. 2
Oblicz objętość czworościanu (ewentualnie równoległościanu):
a) o wierzchołkach (0,1,0), (5,2,1), (2,5,0), (0,2,4)
  
u v w
1, 3,2 ,
2,2,1
 
1 ,
: 1 2,
1 ,
[ Pobierz całość w formacie PDF ]