Zagadnienie 19, Zagadnienia MK
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
19.Reprezentacja pędowa. Postać operatora położenia w reprezentacji pędowej
Jak wiemy, w reprezentacji położeniowej operator pędu wygląda następująco:

p
=−
i
ℏ∇
r
=−
i
ℏ
∂
∂

r
Zagadnienie własne

p

p
=
p

p
⇔
∂
p
∂

r
=

p

p
, czyli

p
=
Ce
i

p

r
ℏ
Bierzemy definicję delty Diraca „fizyków” (tak, tą sprawiającą najwięcej wątpliwości
matematycznych). Plus kilka własności:

k
=
1
∞
2
∫
−∞
e
−
ikx
dk
(1)

k
=
1
∣∣

k

(2)
∞
f

x
o
=
∫
−∞
f

x

x
−
x
o

dx
(3)
Funkcje normujemy do delty Diraca:
∫


p'


p
d
3
r
=
∣
C
2
∣
∫
e
−
i

p'

r
ℏ
e
i

p

r
ℏ
d
3
r
=
∣
C
2
∣
∫
e
i

p
x
−
p
x
'

x
ℏ
e
i

p
y
−
p
y
'

y
ℏ
e
i

p
z
−
p
z
'

z
ℏ
d
3
r
=
x,y,z - zmienne niezależne
∣
C
2
∣
∫
e
i

p
x
−
p
x
'

x
ℏ
i

p
y
−
p
y
'

y
ℏ
i

p
z
−
p
z
'

z
ℏ
dz
=
∣
C
2
∣

2
3
dx
∫
e
dy
∫
e
∣
i
/ℏ
∣


p
x
−
p
x
'

p
y
−
p
y
'

p
z
−
p
z
'

,
gdzie ostatnie przekształcenie używa definicji (1) i własności (2).
z czego wynika
∣
C
2
∣

2
3
=1⇒
C
=
1
2ℏ
3/2
, więc :

p


r
=
1
i

p

r
ℏ
∣
i
/ℏ
∣

2ℏ
3/2
e
Dowolną funkcję można rozłożyć na funkcje własnych operatora pędu

p


r



r
=
∫
a


p

p


r

d
3
p
, gdzie „a” to współczynniki dla każdej funkcji
(mamy tutaj nieme założenie o ciągłym widmie wartości własnych operatora pędu. Odczuwam w
swoim wykształceniu spore niedostatki formalizmu, zatem wyjaśnienie tego faktu zlecam komuś
bardziej światłemu).


r
=
∫
a


p

p


r

d
3
p
=
1
2ℏ
3/2
∫
a


p

e
i

p

r
ℏ
d
3
p
(4)
Zauważamy, że jest to transformata Fouriera funkcji a
Jacak przedstawił to trochę na opak, znaki przy eksponencie „mówią” o tym, czy jest to
transformata, czy transformata odwrotna. Jak zdefiniujemy, tak należy się tym posłużyć.
*
 
2
∫
f

x

e
ikx
dx
ℱ
f

x
=
1

2
∫

f

k

e
−
ikx
dk
Z tego wszystkiego można napisać, że a(p) jest funkcją własną operatora pędu w bazie pędowej.
Skorzystamy z twierdzenia o równości wartości średnich operatora.
〈
∣

r
∣
〉=
∫

*


r


r


r

d
3
r
=
∫
a
*


p

r
p
a


p

d
3
p
Wyliczmy pomocniczo

r


r
=

r
1
2ℏ
3/2
∫
a


p

e
i

p

r
ℏ
d
3
p
=
wchodzimy bezkarnie z r pod całkę

r


r
=
1
2ℏ
3/2
∫
a


p


re
i

p

r
ℏ
d
3
p
=
1
2ℏ
3/2
⋅{[−
i
ℏ
e
i

p

r
ℏ
a


p
]
∞
−∞
−
∫
−
i
ℏ
e
i

p

r
ℏ

∂
∂

p
a


p

d
3
p
zatem

r


r
=
1
∂

p
a


p

d
3
p
Policzmy jeszcze sprzężenie(4)

*


r
=
1
2ℏ
3/2
∫
e
i

p

r
ℏ

i
ℏ
∂
2ℏ
3/2
∫
a
*


p

e
−
i

p

r
ℏ
d
3
p
„zbudujmy” teraz wyrażenie na wartość średnią (oczekiwaną) operatora „r”
〈
∣

r
∣
〉=
∫

*


r


r


r

d
3
r
=
1
2ℏ
3/2
∫
{
∫
a
*


p'

e
−
i

p'

r
ℏ
d
3
p'

∫
e
i

p

r
ℏ
∂

p
a


p

d
3
p
}
d
3
r
=
2ℏ
3/2
∭
a
*


p'

e
−
i

p'

r
1
ℏ
e
i

p

r
ℏ

i
ℏ
∂
∂

p
a


p

d
3
p'd
3
pd
3
r
=
∂

p
a

p

d
3
p'd
3
pd
3
r
=*
cytata z Jacaka (z tego wykładu) „no i masz nawykonywać tych całek...”
1
i

p
−
p'

r
ℏ

i
ℏ
∂
korzystamy z:
2
3
∫
e
i

p
−
p'

r
ℏ
d
3
r
=ℏ
3


p
−

p'
 , wszystko się „upraszcza”
*=
∬
a
*


p'


p
−

p'

i
ℏ
∂
∂

p
a


p

d
3
p'd
3
p
=
całkujemy po „p” korzystając z (3)
=
∫
a
*


p'

i
ℏ
∂
∂

p'

a


p'

d
3
p'
=
∫
a
*


p

r
p
a


p

d
3
p
, zatem

r
p
=
i
ℏ
∂
∂

p
Czujni niech sprawdzą, czy to zawiera błędy oraz czy trzyma się „kupy”. Pieczarka
ℱ
−1


f

k
=
1

i
ℏ
∂
2ℏ
3/2
∭
a
*

p'

e
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]