Zagadnienie 3, Zagadnienia MK
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Zagadnienie 3.
Oznaczenia:
Metryka
– uogólnienie pojęcia odległości, dla dowolnego niepustego zbioru (przestrzeni) X to
dowolna funkcja
spełniająca dla każdego
aksjomaty:
1.
2.
3.
Parę
nazywamy przestrzenią metryczną, tylko w przestrzeni metrycznej można
definiować takie pojęcia jak:
kula: kula K o środku w S i promieniu R:
zbieżność:
a więc również i pojęcia pochodnych oraz całek.
najprostsza, trywialna metryka:
Szkolna metryka (euklidesowa) na
:
Norma
– uogólnienie pojęcia długości, dla dowolnej przestrzeni liniowej X (rzeczywistej
bądź zespolonej) norma to dowolna funkcja
spełniająca dla dowolnego
,
aksjomaty:
1.
2.
3.
Parę
nazywamy przestrzenią unormowaną, każda przestrzeń unormowana jest
przestrzenią metryczną, z domyślą metryką
 Banach
– najwybitniejszy polski matematyk wszechczasów, jak i bez większych wątpliwości
będący na podium największych polskich naukowców wszechczasów (Kopernik,
Skłodowska, Banach), słabo znany ze względu na to, że to, czym się zajmował raczej trudno
wyjaśnić dzieciom w gimnazjum
Przestrzeń Banacha
– jest to przestrzeń unormowana, w której każdy ciąg Cauchy’ego jest
zbieżny, tzn. dla każdego ciągu
:
Warunek ten jest używany do sprawdzania zbieżności ciągów na
, ponieważ
jest
przykładem przestrzeni Banacha. Przestrzenie Banacha są regularną klasą przestrzeni, tylko w
nich zachodzi np. twierdzenie, że każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny, co m.in.
pozwala na budowę baz w przestrzeni Hilberta.
Iloczyn skalarny
– uogólnienie rzutu, na dowolnej przestrzeni liniowej X jest to funkcja
spełniająca w przypadku
dla każdego
:
1.
2.
3.
Można z tych własności łatwo wywieźć:
czyli
antyliniowość względem drugiego argumentu.
W wersji rzeczywistej iloczynu skalarnego sprzężenia znikają i jest on liniowy względem obu
argumentów.
Parę
nazywamy przestrzenią unitar
ną, ka
żda przestrzeń unitarna jest unormowana, z
domyślną normą określoną jako:
. W przestrzeni unitarnej sens mają takie
pojęcia kąt między wektorami:
czy ortogonalność:
Uwaga: w fizyce kwantowej iloczyn skalarny oznacza się
i jest on wtedy liniowy
względem drugiego argumentu, a nie pierwszego.
Przykłady:
 Przestrzeń Hilberta
– jest to unitarna przestrzeń Banacha
W notacji mechaniki kwantowej elementy przestrzeni Hilberta oznacza się
Każda przestrzeń Hilberta posiada bazę – zbiór ortonormalny
, tzn.
który jest zupełny, tzn. każdy
jest liniową kombinacją elementów bazy, inaczej - może
być zapisany we współrzędnych bazy:
Przykłady baz:
,
współrzędne wektora w tej bazie to zespolony szereg Fouriera danej funkcji, dla
przestrzeni rzeczywistej zbiór
pełni analogiczną
funkcję
2.
dla
wielomiany Hermite’a, dla
funkcje Hermite’a
Przykłady przestrzeni Hilberta:
3.
przestrzeń
ciągów całkowalnych z kwadratem
z iloczynem
skalarnym
, warunek gwarantuje, że suma ta jest zbieżna i
W mechanice kwantowej używa się ośrodkowej zespolonej przestrzeni Hilberta.
Ośrodkowość jest właściwością powodującą, że jego baza jest przeliczalna, tzn. możemy
ponumerować jej elementy liczbami naturalnymi. Dodatkowo utożsamia się wektory różniące
się tylko fazą
. W początkowym okresie rozwoju mechaniki kwantowej
Heisenberg zaproponował jej opis macierzowy, odpowiadający przestrzeni
, a Schrödinger
opis falowy odpowiadający
, dopiero Hilbert wykazał, że były to 2 aspekty tego samego
typu przestrzeni.
Operator liniowy
– dla przestrzeni unormowanych
jest to funkcja
spełniająca:
1.
2.
W notacji mechaniki kwantowej
1.
dla przestrzeni Hilberta
bazą jest zbiór funkcji
1.
przestrzenie funkcyjne typu
, patrz zagadnienie 4.
2.
z iloczynem skalarnym
Ciągłość operatora definiuje się identycznie jak ciągłość funkcji, tylko w domyślnych
metrykach dla
.
Sprzężenie hermitowskie
– operacja przyporządkowująca liniowemu, ciągłemu operatorowi
z przestrzeni Hilberta H operator
, taki że dla każdych
z określonymi
:
W notacji mechaniki kwantowej:
Operator jest hermitowski kiedy
co należy rozumieć jako:
Operator unitarny
– ciągły, liniowy operator między przestrzeniami
będącymi
przestrzeniami Hilberta
spełniający:
innymi słowy zachowuje on iloczyn skalarny.
Oznaczenie:
- iloczyn skalarny w przestrzeni A
Twierdzenie: Kiedy operator unitarny działa z przestrzeni w tą samą przestrzeń
, to
jest unitarny wtedy i tylko wtedy, kiedy jest różnowartościowy i
:
Dowód:
kiedy U jest różnowartościowy i ciągły, to operator odwrotny
jest dobrze określony
implikacja w prawo:
implikacja w lewo:
ostatecznie:
Trywialny operator unitarny to operator identyczności
Zdecydowanie mniej trywialny jest unitarny operator
–
transformata Fouriera
f
Wartość i wektor własny operatora
– jeśli dla danego operatora liniowego T działającego na
przestrzeni Hilberta H i
zachodzi:
to x nazywamy wektorem, a
wartością własną operatora.
Warto zwrócić uwagę, że jeśli x jest wektorem własnym operatora T z wartością
, to
również
jest jego wektorem własnym z wartością własną
Twierdzenie spektralne
– zbiór
wektorów własnych operatora hermitowskiego
tworzy
bazę przestrzeni Hilberta.
Przykład: funkcje Hermite’a są bazą przestrzeni Hilberta i funkcjami własnymi Hamiltonianu
dla oscylatora harmonicznego.
Jakub Ślęzak
[ Pobierz całość w formacie PDF ]