Zagadnienie 6, Egzamin EAE
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Egzamin dyplomowy
2013
(studia
inżynierskie
, stacjonarne I-go stopnia)
Pytanie kierunkowe
numer 6
dla Elektroniki i Telekomunikacji (EiT):
Ciągła, dyskretna i szybka transformata Fouriera, widmo sygnału.
Analiza Fouriera wzięła nazwę od francuskiego matematyka Jeana Baptistea Josepha Fouriera (1768-
1830). Fourier postawił kontrowersyjną tezę w swoim artykule na temat propagacji ciepła (1807). Uważał, że
każdy ciągły okresowy przebieg może być wyrażony jako suma odpowiednich fal sinusoidalnych. Jednym z
recenzentów Fouriera był Joseph Louis Lagrange, który całkowicie nie zgadzał się z Fourierem (chodziło o
sygnały z „narożami” takimi jak np. w sygnałach prostokątnych). Praca Fouriera mogła zostać opublikowana
dopiero po śmierci Lagrange’a. Teza Fouriera okazała się prawdziwa, jednak Lagrange miał trochę racji co
można zaobserwować w postaci efektu Gibbsa („dzwonienie” o amplitudzie 9% wysokości skoku), który
jednak ma tę własność, że gdy ilość sygnałów z których syntetyzowany jest sygnał dąży do nieskończoności to
energia różnicy sygnału oryginalnego i syntetyzowanego dąży do zera.
Funkcja sinusoidalna ma szczególne znaczenie dla systemów liniowych, dlatego że niezmienny w czasie
system liniowy przekształca dowolną funkcję sinusoidalną na funkcję sinusoidalną o innej amplitudzie i
przesunięciu fazowym. Jeżeli dysponuje się przekształceniem, które rozkłada dowolny sygnał na zbiór funkcji
sinusoidalnych, to można teoretycznie przewidywać, w jaki sposób sygnał ten zostanie przetworzony przez
dowolny niezmienny w czasie system liniowy. Ten fakt zadecydował o niezwykłej przydatności
przekształcenia Fouriera.
Sygnały można podzielić na ciągłe/dyskretne i okresowe/nieokresowe. Każdy rodzaj sygnału analizuje
się wykorzystując inny rodzaj przekształcenia.
Sygnał ciągły nieokresowy – (proste) przekształcenie Fouriera (CFT - Continuous Fourier Transform)
Sygnał ciągły okresowy – szeregi Fouriera (Fourier Series)
Sygnał dyskretny nieokresowy – dyskretne w czasie (dyskretno-czasowe) przekształcenie Fouriera (DTFT -
Discrete-Time Fourier Transform)
Sygnał dyskretny okresowy – dyskretne przekształcenie Fouriera (DFT – Discrete Fourier Transform)
Jedynym przekształceniem który jest realizowalny w sprzęcie jest DFT, gdyż wszystkie pozostałe wymagają
pewnych danych w ilości nieskończonej co jest obecnie nieosiągalne dla komputerów.
Ciągła transformata Fouriera
Transformata jest wynikiem ciągłego przekształcenia Fouriera (transformacji CFT), które rozkłada
sygnały nieokresowe na zbiór funkcji sinusoidalnych. Przekształcenie to, w odróżnieniu od szeregów Fouriera,
jest bardziej ogólne dlatego, że można z niego korzystać zarówno do sygnałów okresowych, jak i
nieokresowych. Dla sygnałów okresowych daje ono jednak takie same wyniki jak rozkład na współczynniki
szeregu Fouriera. Dla sygnałów nieokresowych w wyniku CFT otrzymuje się ciągłą funkcję rozkładu. Oznacza
to, że sygnał nieokresowy rozkładany jest na nieskończony zbiór sinusoid i kosinusoid, których częstotliwość
zmienia się w sposób ciągły. Dlatego w wyniku przekształcenia otrzymujemy ciągłą funkcję rozkładu, która
pokazuje, jaka jest amplituda sinusoidy lub kosinusoidy o danej częstotliwości
f
lub pulsacji ω = 2
Π
f
. Do
wyznaczenia funkcji rozkładu wykorzystuje się równania analizy. Istnieją dwie postacie tego równania.
Pierwsza może być wykorzystana tylko do analizy sygnałów rzeczywistych, druga zaś do analizy zarówno
sygnałów rzeczywistych, jak i zespolonych.
Ciągłe przekształcenie Fouriera
Równania analizy
Równania syntezy
¥
1
∫
R
(
w
)
=
x
(
t
)
cos(
w
t
)
dt
Rzeczywisty
ciągły sygnał
nieokresowy
p
∫
¥
-
¥
x
(
t
)
=
0
R
(
w
)
cos(
w
t
)
-
I
(
w
)
sin(
w
t
)
d
w
¥
1
∫
I
(
w
)
=
-
x
(
t
)
sin(
w
t
)
dt
p
-
¥
Zespolony
ciągły sygnał
nieokresowy
∫
¥
¥
∫
¥
¥
1
-
j
w
t
j
w
d
t
X
(
w
)
=
x
(
t
)
e
dt
x
(
t
)
=
X
(
w
)
e
w
2
p
-
-
Szeregi Fouriera
Równania analizy
Równania syntezy
T
2
2
p
mt


∫
Rzeczywisty
okresowy
sygnał
nieokresowy
R
[
m
]
=
x
(
t
)
cos
dt
¥
=

2
p
mt
2
p
mt







x
(
t
)
=


R
[
m
]
cos
-
I
[
m
]
sin






T
T
T
T
0
m
0
T
2
2
p
mt


przed zastosowaniem tego równania współczynnik R[0] należy podzielić
przez 2
∫
I
[
m
]
=
-
x
(
t
)
sin
dt


T
T
0
Zespolony
okresowy
sygnał
nieokresowy
T
2
p
mt
2
p
mt
1
¥
=
-
j
j
∫
X
[
m
]
=
x
(
t
)
e
dt
T
x
(
t
)
=
X
[
m
]
e
T
T
0
m
0
Całka Fouriera daje w efekcie składową rzeczywistą – wskazująca na stopień korelacji analizowanego sygnału
z funkcją cos(2π
ft
) i składową urojoną – skorelowaną z funkcją sin(2π
ft
). Należy zwrócić uwagę, że
przekształcenie Fouriera w sensie zwykłym nie nadaje się do wszystkich sygnałów, lecz jedynie do sygnałów o
ograniczonej energii
(wszystkie sygnały rzeczywiste). Generalnie aby sygnał miał transformatę Fouriera X(ω),
musi on spełniać tzw.
warunki Dirichleta
:
1.
∫
¥
¥
x
(
t
)
dt
<
¥
,
-
2.
mieć skończone wartości ekstremów w każdym skończonym przedziale,
3.
mieć skończona liczbę punktów nieciągłości w każdym skończonym przedziale.
Właściwości CFT
1.
Liniowość:
ax
(
t
)
+
by
(
t
)
«
aX
(
j
w
)
+
bY
(
j
w
)
-
j
w
t
2.
Przesunięcie w dziedzinie czasu:
x
(
t
-
t
)
«
X
(
j
w
)
e
0
0
(
)
±
j
w
t
3.
Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości:
x
(
t
)
e
«
X
j
(
w
M
w
)
0
0
d
n
x
(
t
)
n
4.
Pochodna:
«
(
j
w
)
X
(
j
w
)
n
dt
 t
1
∫
¥
5.
Całka:
x
(
t
)
d
t
«
X
(
j
w
)
+
p
X
(
0
)
d
(
w
)
j
w
-
∫
¥
¥
1
(
)
6.
Iloczyn sygnałów:
z
(
t
)
=
x
(
t
)
y
(
t
)
«
Z
(
j
w
)
=
X
(
jv
)
Y
j
(
w
-
v
)
dv
=
X
(
j
w
)
Ä
Y
(
j
w
)
2
p
-
∫
¥
¥
7.
Splot sygnałów:
z
(
t
)
=
x
(
t
)
Ä
y
(
t
)
=
x
(
t
)
y
(
t
-
t
)
d
t
«
Z
(
j
w
)
=
X
(
j
w
)
Y
(
j
w
)
-
∫
¥
¥
8.
Korelacja:
z
(
t
)
=
x
(
t
)
y
*
(
t
-
t
)
d
t
«
Z
(
j
w
)
=
X
(
j
w
)
Y
*
(
j
w
)
-
9.
Symetria:
X
(
jt
)
«
2
p
x
(
-
w
)
1
w


10.
Przeskalowanie:
x
(
at
)
«
X
,
a
> 0


a
a
t
¥
1
2
2
11.
Równość Parsevala:
∫
∫
x
(
t
)
dt
=
X
(
j
w
)
d
w
2
p
-
¥
-
¥
Dyskretna transformata Fouriera
DFT (Discrete Fourier Transform) jest procedurą matematyczną używaną do wyznaczenia zawartości
harmonicznej, lub częstotliwościowej, sygnału dyskretnego. Pochodzeniem DFT jest CFT. DFT jest
zdefiniowane jako:
N
∑
-
=
1
-
j
2
p
nm
/
N
,
X
(
m
)
=
x
(
n
)
e
n
0
lub korzystając z zależności Eulera:
N
∑
-
=
1
[
]
X
(
m
)
=
x
(
n
)
cos(
2
p
nm
/
N
)
-
j
sin(
2
p
nm
/
N
)
.
n
0
Z drugiego równania widać, że kolejne częstotliwości analizy odpowiadają korelacji sygnału analizowanego z
funkcjami harmonicznymi sinus i cosinus, mającymi kolejne
m
pełnych okresów w rozważanym przedziale
próbkowania. Wynik DFT zawiera informację o zawartości sygnału analizowanego tzn. sygnały o jakich
częstotliwościach stanowią badany sygnał w dziedzinie czasu. Ponadto DFT określa również zależności fazowe
pomiędzy różnymi składowymi zawartymi w sygnale wejściowym.
Częstotliwość próbkowania, ilość próbek, tw. o próbkowaniu oraz aliasing
Przekształcenie DFT jest stosowane w przypadku sygnałów dyskretnych. Aby przekształcić ciągły
sygnał przy pomocy DFT należy wcześniej go spróbkować (zmienić charakter na dyskretny). W tym momencie
należy się zastanowić nad częstotliwością próbkowania
f
s
i ilością próbek
N
. Parametry te wpływają na kilka
czynników:
1.
Rozdzielczość częstotliwościową DFT:
∆f = f
s
/N
,
2.
Czas akwizycji próbek i czas wykonania obliczeń: im więcej próbek (większe
N
) tym wymagany jest
dłuższy czas.
3.
Stosunek sygnał/szum w dziedzinie DFT: zwiększenie
f
s
ponad wymagane
f
s
/2
i zwiększenie
N
może
zmniejszyć SNR
DFT
i zniekształcenia sygnału powodowane filtrem antyaliasingowym.
4.
Otrzymanie danych nie obarczonych aliasingiem:
Aby sygnał analogowy mógł być poprawnie przeanalizowany przy pomocy DFT musi on być
poprawnie spróbkowany
tzn. zgodnie z
twierdzeniem o próbkowaniu
(Nyquista, Shannona,
Kotielnikowa
1
). Aby sygnał był poprawnie spróbkowany największa częstotliwość jego składowych nie
może być większa od połowy częstotliwości próbkowania (zaleca się by
f
max
< f
s
/2
, lecz można spotkać
z
f
max
≤ f
s
/2
). Nie spełnienie tego warunku powoduje pojawienie się w wyniku DFT
aliasingu
nieodtwarzalnego
czyli nakładanie się na siebie kolejnych powtarzających się widm (powielenia
widma w każdej całkowitej wielokrotności
f
s
po obu stronach osi częstotliwości). Tak jak kryminalista
1
Można spotkać równoważne nazwy. Nyquista od częstotliwości Nyquista równej
f
s
/2
, Kotelnikowa od V.A. Kotel’nikova, który w
1933r. sformułował to twierdzenie w przydatnej dla przetwarzania sygnałów formie (wcześniej występowało w teorii interpolacji a
zostało odkryte przez E.T. Whittaker’a 1915r.), ostatecznie doceniono twierdzenie po publikacji pracy C.E. Shannon’a w 1949r.
może używać przybranego nazwiska lub tożsamości (alias), sinusoida przyjmuje inną, nie swoją
częstotliwość. Jednoznaczne odtworzenie sygnału analogowego nie jest możliwe, gdyż w tym
przypadku dane cyfrowe nie są w sposób niepowtarzalny związane z jakimś szczególnym przebiegiem
analogowym. Przebieg sinusoidalny całkowicie ukrył swoją prawdziwą tożsamość – popełniono
zbrodnię doskonałą! By mieć pewność że warunek
f
max
< f
s
/2
jest spełniony stosuje się filtry
antyaliasingowe, które wycinają składowe sygnału o częstotliwości powyżej
f
s
/2
. Im są one mniej
strome tym mniej zniekształceń wprowadzają do sygnału oryginalnego (patrz wyżej, punkt 3).
Odwrotne dyskretne przekształcenie Fouriera
Jeżeli DFT zostało wykonane ze zbioru próbek otrzymanych w wyniku
poprawnego próbkowania
to
jest możliwe odtworzenie sygnału pierwotnego wykorzystując odwrotne dyskretne przekształcenie Fouriera
IDFT (Inverse DFT). Jest ono zdefiniowane jako:
∑
-
=
N
1
1
j
2
p
mn
/
N
x
(
n
)
=
X
(
m
)
e
(
głównie chodzi o zmianę znaku wykładnika
)
N
m
1
lub
1
N
∑
-
=
1
[
]
x
(
n
)
=
X
(
m
)
cos(
2
p
mn
/
N
)
+
j
cos(
2
p
mn
/
N
)
.
N
m
1
Czynnik skalujący 1/N sprawia, że amplitudy widma są równe połowie wartości amplitudy wejściowej
sinusoidy w dziedzinie czasu. Należy zaznaczyć że czynnik ten w zależności od konwencji przyjętej przez
autora może stać albo przy wzorze na DFT albo przy wzorze na IDFT. Czasami można spotkać czynnik
skalujący w postaci 1/√N a wtedy stoi on zarówno przy wzorze na DFT jak i IDFT. Zapewnia to taką samą
skale przy transformowaniu w obie strony.
Symetria i powielenia
Wynik DFT jest dyskretnym ciągiem wartości o długości takiej samej jak ciąg wartości wejściowych.
Istotne jednak z punktu widzenia analizy sygnału są jedynie pierwsze N/2-1 wartości. Pozostałe są nadmiarowe.
Wartości wyjściowe od X(N/2) do X(N-1) są „odbiciem lustrzanym” pierwszych N/2-1 prążków. Ponadto
wynik DFT jest zwielokrotnione w ten sposób, że kopia widma pierwotnego zostaje umieszczona w każdej
całkowitej wielokrotności
f
s
po obu stronach osi częstotliwości. Jest to istotna wiedza w przypadku
analizowania wyników z przeciekiem.
Wyniki DFT
W wyniku DFT posiadamy informację na temat częstotliwości sygnałów składających się na sygnał
analizowany. Informacje te nie są jednak podawane wprost i trzeba je obliczyć. Do tego celu należy
wykorzystać wzór:
m
×
f
f
(
m
)
=
s
.
N
Warto tu przy okazji podkreślić pewną wadę wyniku DFT wynikająca z jego dyskretnego charakteru.
Otrzymane widmo posiada rozdzielczość częstotliwościową
∆f = f
s
/N
. W związku z czym nieodpowiednio
dobrane parametry DFT mogą spowodować, że w wyniku nie zostaną zawarte wszystkie istotne informacje.
DFT daje prawidłowe wyniki tylko wtedy, kiedy ciąg danych wejściowych zawiera energię rozłożoną
dokładnie przy częstotliwościach, dla których dokonujemy analizy równaniem na
f
(m), będących całkowitymi
wielokrotnościami częstotliwości podstawowej
f
s
/N.
Amplitudy sygnałów z widma DFT również wymagają przeliczenia. W przypadku DFT sygnału
spróbkowanego synchronicznie
tzn. takiego w którym każda oscylacja sygnału próbkowanego posiada
całkowitą liczbę okresów w rozpatrywanym przedziale próbkowania wykorzystuje się następujące wzory:
2
przebieg rzeczywisty:
A
=
A
,
DFT
N
A
przebieg zespolony:
A
=
DFT
.
N
Zerowy prążek DFT stanowi sumę kolejnych próbek sygnału w dziedzinie czasu i w zasadzie jest
proporcjonalna do wartości średniej z próbek (gdy jest współczynnik skalujący 1/N to jest to średnia
arytmetyczna). Wynik X(0) jest traktowany jako składowa stała (DC) próbkowanego sygnału analogowego.
Przeciek
W przypadku DFT sygnału
spróbkowanego niesynchronicznie
w widnie pojawia się
przeciek
.
Właściwość ta powoduje, że wyniki DFT stanowią jedynie aproksymację widma sygnałów wejściowych
poddanych próbkowaniu. Powoduje on, że dowolny sygnał wejściowy, którego częstotliwość nie jest dokładnie
równa częstotliwości, dla której jest wyznaczana dana próbka DFT, przecieka do wszystkich innych
wyznaczanych próbek DFT. Dla rzeczywistego przebiegu sinusoidalnego, zawierającego
k
okresów w
N
-
punktowym wejściowym ciągu czasowym, wartości prążków
N
-punktowej DFT w funkcji indeksu
m
są
aproksymowane za pomocą funkcji sinc:
[
]
N
sin
p
(
k
-
m
)
X
(
m
)
=
×
.
2
p
(
k
-
m
)
Funkcja sinc stanowi wynik CFT funkcji okna prostokątnego (czyli domyślnego okna, które wycina
interesujący nas fragment sygnału).
Przeciek w DFT ujawnia się gdy synchroniczność próbkowania nie jest spełniona choćby dla jednej
składowej sygnału. Przykład nakładania się listków DTFT (w tym również sprzężonych) i wpływ tego zjawiska
na DFT pokazano poniżej.
Rys. 1. Przeciek
Jak to właściwie jest otrzymywane i dlaczego sinc?
Jak już wspomniano DFT pochodzi od CFT. Transformatą CFT z nieskończonego sygnału
harmonicznego (np. funkcja cosinus) jest delta Diraca – a właściwie dwie (patrz rysunek 2). W praktyce
analizuje się tylko pewien fragment w związku z czym sygnał analizowany jest wymnożony przez okno
prostokątne. Transformatą CFT okna prostokątnego jest funkcja sinc. Wymnożenie sygnału z oknem powoduje
w efekcie splot (rysunek 2f). Zokienkowany sygnał w dziedzinie czasu jest następnie próbkowany i ze względu
na niejednoznaczność sygnału dyskretnego w dziedzinie czasu w widmie DTFT (rysunek 2h)) pojawiają się
powielenia. DFT jest dyskretną wersją widma z rysunku 2h.
Nie zawsze się zdarza aby wartości DFT trafiały w maksima DTFT. Aby mimo to można było sobie
poradzić z odczytaniem częstotliwości z takiego widma stosuje się różne
metody interpolacji widma
, w tym:
interpolację wzorami dokładnymi innymi dla każdego okna, interpolację wzorami przybliżonymi, interpolację
krzywymi wielomianowymi. Ponadto bardzo popularną metoda jest
uzupełnianie zerami
. Polega ona na
dołączeniu do wartości spróbkowanych pewnej liczby zer co powoduje, że transformata gęściej „pokrywa”
DTFT.
W praktyce rzadko stosuje się okno prostokątne. Istnienie wiele innych okien, których widma posiadają
mniejsze listki boczne, a w rezultacie wpływające w mniejszym stopniu na zniekształcenia w wyniku DFT.
Widmo amplitudowe okna prostokątnego stanowi miarę, jakiej zazwyczaj używamy aby porównać inne okna.
Szerokości listków głównych różnych okien nie prostokątnych degradują rozdzielczość częstotliwościową
okienkowanych DFT prawie dwukrotnie. Jednak istotne korzyści zmniejszenia przecieku zazwyczaj przeważają
nad stratą w częstotliwościowej rozdzielczości DFT. Zauważmy zmniejszenie się poziomu pierwszego listka
bocznego i gwałtowny spadek listków bocznych okna Hanna. Okno Hamminga ma nawet mniejsze poziomy
pierwszego listka, lecz listki boczne tego okna opadają wolniej w porównaniu z oknem Hanna.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]