zakresB 13, Biotechnologia PŁ
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
WYDZIAŁBIOTECHNOLOGIIINAUKOYWNOCI
BIOTECHNOLOGIA
EGZAMINPOSEMESTRZEI(2012/2013)
I.LICZBYZESPOLONE
1. Sformułowa¢ definicj¦ modułu i argumentu głównego liczby zespolonej. Jaki jest argument główny
liczby
z
=
−
2 + 2
i
? Przedstawi¢ liczb¦
z
= 1
−
i
w postaci trygonometrycznej, liczb¦
z
= 2(cos
4
3
+
sin
4
3
) w postaci kartezja«skiej. Wyznaczy¢ cz¦±¢ rzeczywist¡ i cz¦±¢ urojon¡ liczby zespolonej
(1
−
2
i
)
2
3+2
i
.
2. Sformułowa¢ twierdzenia: o pot¦gowaniu liczby zes
polon
ej, o pierwiastkowaniu liczby zespolonej
w postaci trygonometrycznej. Obliczy¢ (
−
1
−
i
)
31
i
4
p
−
16, wynik przedstawi¢ w postaci kartezja«skiej.
Ile pierwiastków ma wielomian zespolony stopnia n? Rozwi¡za¢ równanie (
iz
−
2)
3
(
z
2
−
4
z
+ 5) = 0.
II.CIGILICZBOWE
1. Poda¢ definicj¦ ci¡gu rosn¡cego, malej¡cego, ograniczonego oraz odpowiednie przykłady. Zbada¢
monotoniczno±¢ ci¡gu
a
n
=
2
n
−
1
.
n
2. Sformułowa¢: definicj¦ liczby
e
, twierdzenia o zwi¡zku zbie»no±ci ci¡gu z jego ograniczono±ci¡, twier-
dzenia o granicach ci¡gów zapisane nast¦puj¡co:
1
+
1
=
1
,
1·1
=
1
, itp.).
III.RACHUNEKRÓNICZKOWY
1. Poda¢ definicj¦ granicy funkcji, definicj¦ granicy jednostronnej oraz definicj¦ funkcji ci¡głej w punk-
cie. Narysowa¢ wykres funkcji
f
(
x
) takiej, ¹e lim
x
!
1
f
(
x
) istnieje i która nie jest ci¡gła punkcie
x
= 1.
Sformułowa¢ własno±ci funkcji ci¡głych: o lokalnym zachowaniu znaku, własno±¢ Darboux, własno±¢
Weierstrassa. Naszkicowa¢ wykresy funkcji, które tych własno±ci nia maj¡.
2. Poda¢ definicj¦ pochodnej funkcji i jej interpretacj¦ geometryczn¡. Korzystaj¡c z definicji obliczy¢
pochodn¡ funkcji
f
(
x
) =
x
2
−
3
x
w punkcie
x
0
= 1. Twierdzenie o zwi¡zku ci¡gło±ci z istnieniem
pochodnej. Czy implikacja odwrotna jest prawdziwa? Poda¢ odpowiednie przykłady.
3. Poda¢ twierdzenie Lagrange’a wraz z interpretacj¡ geometryczn¡. Sformułowa¢ wnioski z twierdzenia
Lagrange’a, jeden z nich
udowodni¢
. Wykaza¢, »e np. funkcja
f
(
x
) = 2
x
+ arctg
x
jest rosn¡ca na
zbiorze
R
. Zbada¢ monotoniczno±¢ funkcji
f
(
x
) =
1
ln
x
.
4. Poda¢ definicj¦ maksimum i minimum lokalnego wraz z przykładami. Sformułowa¢ warunek ko-
nieczny istnienia ekstremum lokalnego dla funkcji ró»niczkowalnej i pokaza¢ na przykładzie, »e
implikacja odwrotna jest fałszywa. Sprawdzi¢, czy funkcja
f
(
x
) =
x
6
−
2
x
−
5 ma ekstremum w
punkcie
x
= 0. Sformułowa¢ I warunek wystarczaj¡cy istnienia ekstremum lokalnego. Sformuło-
wa¢ i
udowodni¢
II warunek wystarczaj¡cy istnienia ekstremum lokalnego. Sprawdzi¢, czy funkcja
f
(
x
) = 2
x
10
+
x
7
−
x
2
−
25
x
ma ekstremum w punkcie
x
= 1 (jakie to ekstremum?).
5. Poda¢ definicj¦ krzywej wypukłej i wkl¦słej w punkcie oraz interpretacj¦ geometryczn¡. Sformułowa¢
i
udowodni¢
warunek wystarczaj¡cy wypukło±ci lub wkl¦sło±ci krzywej na przedziale. Wykaza¢, »e
krzywa
y
=
x
2
−
ln
x
jest wypukła. Poda¢ definicj¦ punktu przegi¦cia. Sformułowa¢ warunek konieczny
istnienia punktu przegi¦cia krzywej. Sprawdzi¢, czy
x
= 0 jest punktem przegi¦cia krzywej
y
=
x
4
e
−
x
.
x
2
6. Sformułowa¢ reguł¦ de l’Hospitala. Korzystaj¡c z reguły obliczy¢ granic¦ lim
x
!1
ln
x
. Wymieni¢ wszyst-
kie symbole nieoznaczone.
 7. Poda¢ definicj¦ asymptoty pionowej krzywej
y
=
f
(
x
) oraz odpowiednie przykłady. Czy prosta
x
= 1
jest asymptot¡ pionow¡ krzywej
y
=
e
−
1
? Odpowied¹ uzasadni¢. Poda¢ definicj¦ asymptoty uko-
±nej. Korzystaj¡c z definicji sprawdzi¢, czy prosta
y
= 1 jest asymptot¡ uko±n¡ krzywej o równaniu
y
=
ln
x
+1
(
x
−
1)
2
ln
x
−
2
. Sformułowa¢ twierdzenie o współczynnikach asymptoty uko±nej.
IV.RACHUNEKCAŁKOWY
1. Poda¢ definicj¦ funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej. Obliczy¢
R
1
x
4
+1
−
3
p
1 +
x
3
0
d
x
oraz
R
x
0
. Czy funkcja
F
(
x
) = sin
x
+
x
cos
x
+ sin
jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji
f
(
x
) =
x
sin
x
?
Sprawdzi¢, czy
R
xe
−
x
dx
=
−
xe
−
x
−
e
−
x
+
C
. Wyznaczy¢ funkcj¦
f
(
x
), je»eli wiadomo, »e
sin
x
d
x
R
f
(
x
)
dx
=
x
2
ln
x
+ 2 ln
x
+
C
.
2. Sformułowa¢ i
udowodni¢
tw. o całkowaniu przez cz¦±ci dla całki nieoznaczonej. Sformułowa¢ twier-
dzeni
e o cał
kowaniu przez podstawienie dla całki nieoznaczonej. Obliczy¢ całki
R
ln
xdx
,
R
x
cos(
x
2
)
dx
,
p
R
x
x
2
+ 1
dx
,
R
x
sin
xdx
.
3. Poda¢ interpretacj¦ geometryczn¡ całki oznaczonej. Obliczy¢ pole obszaru ograniczonego krzywymi
y
= 3
x
2
,
y
= 3. Sformułowa¢ twierdzenie Newtona-Leibniza. Sformułowa¢ twierdzenia o całkowaniu
przez cz¦±ci oraz o całkowaniu przez podstawienie dla całki oznaczonej. Korzystaj¡c z tych twierdze«
obliczy¢ całki:
x
p
x
−
4
dx
.
R
1
R
8
R
x
ln
xdx
,
xe
4
x
dx
,
1
0
4
R
1
4. Poda¢ definicj¦ całki niewła±ciwej na przedziale niewła±ciwym
h
a,
1
). Obliczy¢ całk¦
1+
x
2
dx
i
0
R
0
R
xe
−
x
2
dx
,
1
poda¢ jej interpretacj¦ geometryczn¡. Zbada¢ zbie»no±¢ całki:
(
x
−
1)
3
dx
. Poda¢ definicj¦
−1
0
1
R
1
p
x
dx
i poda¢ jej
całki niewła±ciwej z funkcji niepograniczonej na przedziale
h
a,b
). Obliczy¢ całk¦
0
R
1
interpretacj¦ geometryczn¡. Zbada¢ zbie»no±¢ całki
x
ln
2
x
dx
.
1
V.UKŁADYRÓWNALINIOWYCH
1. Napisa¢ układ n równa« liniowych o n niewiadomych. Sformułowa¢ tw. Cramera. Wykaza¢, »e układ
8
<
x
+
y
=
0
x
−
y
+
z
=
0
ma dokładnie jedno rozwi¡zanie dla ka»dego
2
R
. Poda¢ jakie to rozwi¡zanie
:
2
y
+
z
=
0
(nie rozwi¡zywa¢ układu!).
2. Napisa¢ układ m równa« liniowych o n niewiadomych. Sformułowa¢ tw. Kroneckera-Capelliego. Zba-
8
<
x
+
y
+
z
=
1
da¢ ilo±¢ rozwi¡za« układu równa« w zale»no±ci od parametru
2
R
:
x
+
y
−
3
z
=
2
:
x
+
y
+
z
=
3
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]