Zal zm los, Matematyczna modele ryzyka, Łochowski
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
2009-04-07
Modelowanie zależności
pomiędzy zmiennymi losowymi
Matematyczne podstawy teorii ryzyka
i ich zastosowanie
Semestr letni 2008/2009
R. Łochowski
Zmienne losowe niezależne -
przypomnienie
• Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y są
niezależne jeżeli dla dowolnych a<b i c<d
(
)
( )
(
)
P
X a b Y c d X Y a b c d
Î
Ç × Ç ×
, & , , , ,
Î
=
P
Î
Ç × Ç ×
×
=
P Y
(
X a b Y c d
Î
Ç ×
, ,
) (
Î
Ç ×
)
• Jeżeli X i Y są niezależne, to dla dowolnych
funkcji f i g, dla których istnieją
E E
f X g Y
( ) (
, :
(
)
E
f X g Y f X g Y
( ) ( )
=
E Y
( ) ( )
• W ogólnej sytuacji, gdy X i Y nie są niezależne
powyższa równość nie musi zachodzić
Kowariancja i korelacja -
przypomnienie
•
Jedną z wielu miar niezależności zmiennych losowych
jest współczynnik korelacji Pearsona, który definiujemy
za pomocą formuły
r
X Y
)
=
Cov E E E
D D D D
( )
( ) ( )
X Y XY X Y
,
=
( )
( ) ( )
−
Y
X Y X Y
•
Współczynnik korelacji przyjmuje wartości z przedziału
[-1,1],
•
nie zmienia się przy transformacjach liniowych
zmiennych X i Y (z dokładnością do znaku),
•
jeżeli jest równy 1 lub -1, to zmienne losowe X i Y są
związane zależnością liniową,
(
)
, 0
•
Jeżeli zmienne X i Y są niezależne, to
(ale nie na odwrót).
r
X Y
=
1
É Ù É Ù
É Ù É Ù
É Ù
É Ù
(
,
2009-04-07
Dwuwymiarowa zmienna losowa
• Dwuwymiarowa zmienna losowa
(dwuwymiarowy wektor losowy) (X,Y) to
zmienna, która przyjmuje wartości będące
parami liczb rzeczywistych.
• Współrzędne dwuwymiarowej zmiennej
losowej X i Y są również zmiennymi losowymi.
Mo
żliwe są wszystkie kombinacje:
X – dyskretna
X – ciągła
Y – dyskretna
x
x
Y - ciągła
x
x
Rozkład łączny i rozkłady brzegowe,
przypadek dyskretny
• Rozkład łączny dwóch zmiennych losowych X i Y
to rozkład wektora losowego (X,Y) na płaszczyźnie
liczb rzeczywistych
• Jeżeli zmienne X i Y są dyskretne, to rozkład
łączny dany jest za pomocą prawdopodobieństw
R
2
(
)
( )
( )
(
)
P X x Y y P XY x y p i j
=
& , , ,, 1,2,...
i j
= =
=
i j ij
=
=
• Rozkłady brzegowe wektora (X,Y) to rozkłady
zmiennych X i Y
• Zadanie: jaka jest zależność od
oraz gdy X i Y są niezależne?
p
( )
i
ij
p X x
=
P
=
i
q Y y
=
P
( )
=
j
j
Rozkład łączny i rozkłady brzegowe -
przypadek ciągły
• Jeżeli istnieje pewna funkcja
taka, że dla a<b i c<d
f
®
2
: 0,
R
É
+¥
)
(
)
b d
(
)
É Ù É Ù
Ð Ð
( )
P X Y a b c d f x y dxdy
, , ,
Î
Ç × Ç ×
×
=
,
a c
to f nazywa się gęstością wektora (X,Y) zaś
zmienne X i Y mają rozkłady ciągłe odpowiednio o
gęstościach
f x f x y dy f y f x y dx
( )
=
Ð
+¥
( )
, ,
( )
=
Ð
+¥
( )
,
X
Y
−¥
−¥
• Zadanie: jaka jest zależność pomiędzy gęstością
rozkładu łącznego a gęstościami rozkładów
brzegowych gdy zmienne X i Y są niezależne?
2
2009-04-07
Rozkład łączny i rozkłady brzegowe -
przypadek dyskretno-ciągły
• Jeżeli zmienna X ma rozkład ciągły a zmienna Y
ma rozkład dyskretny, to wówczas rozkład
łączny wektora (X,Y) można określić za pomocą
formuły
P
( , & ) ( , , )
X a b Y y X Y a b y
Î
Ç ×
=
j
=
P
(
)
Î
Ç ×
×
{ }
j
Ð
b
( )
=
f x dx j
, 1,2,...
=
j
a
• Zadanie: wyznaczyć z powyższej formuły
gęstość zmiennej X oraz
q Y y
j
=
P
(
=
j
)
Kopule i dystrybuanty dwuwymiarowe
• Kopulą nazywamy dowolną funkcję
spełniającą warunki
C
®
2
: 0,1 0,1
Ç × Ç ×
C t C s C t t C s s
C s t C s t C s t C s t gdy
s s t t
É Ù É Ù É Ù É Ù
+
,0 0, 0, 1, , ,1 ,
, , , ,
,
=
=
=
=
É Ù É Ù É Ù É Ù
£
1 1
2 2
³
1 2
+
2 1
1 2 1 2
£
• Dystrybuantę rozkładu (X,Y ) definiujemy
wzorem
F s t X s Y t
X Y
,
,
( ) (
=
P
£
,
£
)
Kopule a dystrybuanty dwuwymiarowe
- Twierdzenie Sklara
• Dystrybuanta każdego rozkładu dwuwy-
miarowego, którego rozkłady brzegowe są
jednostajne na przedziale [0,1] jest kopulą
• Zachodzi również odwrotne
Twierdzenie Sklara Każda dystrybuanta
rozkładu dwuwymiarowego da się przedstawić
w postaci
F s t
,
,
X Y
( )
( )
(
( ) ( )
)
F s t C F s F t
X Y
,
,
=
X Y X Y
,
,
( ) ( )
gdzie - kopula, a -
dystrybuanty X i Y
C
F s F t
,
X Y
,
X Y
3
É Ù
É Ù
É Ù É Ù
Ç × Ç × Ç × Ç ×
Ç × Ç × Ç × Ç ×
2009-04-07
Współczynnik korelacji rang
Spearmana
• Współczynnik korelacji rang Spearmana
zmiennych X i Y, , definiujemy za
pomocą formuły
r
S
X Y
(
,
)
(
)
(
( ) ( )
)
r
X Y F X F Y
,
=
r
X Y
,
gdzie - współczynnik korelacji Pearsona
• Zachodzi również formuła
r
r
(
X Y C s t s t dsdt
, 12 ,
)
=
Ð Ð
1 1
Ç
( )
− ×
×
S
É
X Y
Ù
0 0
Współczynnik korelacji rang -
własności
• Współczynnik korelacji rang przyjmuje wartości z
przedziału [-1,1],
• nie zmienia się przy transformacjach monotonicz-
nych zmiennych X i Y, (z dokładnością do znaku)
• jeżeli jest równy 1 lub -1, to zmienne losowe X i Y
są związane zależnością monotoniczną,
• Jeżeli X i Y są niezależne, to (ale
nie na odwrót).
• Estymator współczynnika korelacji rang
r
S
X Y
(
, 0
)
=
r
1 6
Ã
n
(
Rx Ry n n
−
)
(
2
/
3
−
)
S
i
=
1
i i
• Pytanie o rozkład asymptotyczny estymatora.
Prawdopodobieństwo warunkowe
• Prawdopodobieństwo warunkowe, że zmienna
X przyjmie wartości z przedziału [a,b], pod
warunkiem, że zmienna Y przyjmuje wartości z
przedziału [c,d] definiuje się, przy założeniu, że
P
(
Y c d
Î
Ç ×
, 0
)
>
za pomocą formuły
P
(
X ab Y c d
Î
Ç × Ç ×
, & ,
Î
)
P
(
X a b Y c d
Ç × Ç ×
, | ,
Î
)
=
É Ù É Ù
É Ù É Ù
(
)
P
Y c d
Î
Ç ×
,
É Ù
(
)
• Zadanie: Obliczyć dla
rozkładu dyskretno-ciągłego
P
X ab Y y
Î
Ç ×
, |
j
=
4
S
,
= −
É Ù
Î
É Ù
2009-04-07
Rozkłady warunkowe
• (X,Y) - rozkład dyskretny, wówczas
(
)
P
X x Y y p q
=
i
|
=
j ij j
=
/
• (X,Y) - rozkład ciągły, wówczas możemy
określić gęstość warunkową
f x Y y f x y f y
X
(
|
=
) ( ) ( )
=
, /
Y
• (X,Y) – rozkład dyskretno-ciągły, wówczas
f x Y y f x Y y f x q
(
|
=
j j
)
( )
(
=
/
P
=
j j
)
( )
=
/
j
(
)
• Zadanie: Obliczyć dla
rozkładu dyskretno-ciągłego
P
Y y X x
=
j
|
=
Rozkłady warunkowe i brzegowe a
rozkłady łączne
• (X,Y) - rozkład dyskretny, wówczas
(
)
P
X x Y y
=
i
&
=
j
=
P
(
X x Y y Y y
=
i
|
=
j
) (
Y
=
j
)
• (X,Y) - rozkład ciągły, wówczas
f x y f x Y y f y
( )
, |
X
=
(
=
) ( )
Y
Y
• (X,Y) – rozkład dyskretno-ciągły, wówczas
f x f x Y y Y y
j X
( )
(
=
|
=
j
) (
Y
P
=
j
)
=
P
(
Y y X x f x
=
j
|
=
)
( )
Y
X
Rozkład ujemny dwumianowy jako
mieszanina rozkładów
• Zmienna (X,Y) ma rozkład dyskretno –ciągły,
• prawdopodobieństwa warunkowe są równe
P
(
k
N k e k k
=
|
L =
l
)
=
−
l
l
/ !, 0,1,...
=
• gęstość brzegowa zmiennej Λ jest gęstością
rozkładu Γ(β,α),
• wówczas N ma rozkład ujemny dwumianowy
a
b
+¥
l
k
P
(
N k e e d
k
k k
=
)
=
Ð
−
l
l
b
−
1
−
al
l
( )
G
b
b
0
!
1
a
b
G
(
+
)
Ä
b
+ −
1
ÔÄ Ô Ä Ô
a
b
1
k
=
=
Å
Õ
Å Õ Å Õ
k
!
G
( )
b
(
a
+
1
)
b
+
k
Æ
k
Ö
Æ Ö Æ Ö
a
+
1 1
a
+
5
X
[ Pobierz całość w formacie PDF ]