Zarys rachunku roznicznowego i calkowego, DLA STUDENTÓW
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->DOLP-NETTOZARYS RACHUNKURÓŻNICZKOWEGOI CAŁKOW EGOORAZZBIÓR ZADAŃ ROZWIĄZANYCHPR ZEŁO ŻY ŁLUDO M IR' W OLFKENAKŁADEM TRZASKI, EV ER T A I MICHALSjCJW A R SZ A W A , H O T EL EUROPEJSKIRachunek różniczkowy.¿ F u n k c je j e d n e j zmiennej niezależnej.§ I. Tablica w zo ró w na pochodne funkcji prostych.y — axn■a2= - = aar-n/1--y = a\!x — ax nPdy—dxx\a„ .„ = _ _ A _ i = - n a a r—1a''..1,_4—ii„=— /'Ti -M= - a x n^x’l—n—v*n^xn„npy = a Jxv — ax"_=P-a\!ocf-n— - a x nnn',= e*1y= ^y — a*y — ]gxy —sina?y — co s«y — tgxy =cotg#■„ = a* lg a„= iCO2=/arc sina:„ — cos a:„ = — sina:1cos* a;1sin2a:1V1 — a:*D efcfco.dlp.N2y =arc cos a;y =arc tgicy =arc cotgxdy_1dxyjl— x \1”1+® *1"“l+**‘^ .§ 2 . Określenie funkcji jednej zm iennej n iezależnej.Określenie i rozw inięcie pochodnej.Równość, w której występuje jedna t y l k o wielkośćn i e o z n a c z o n axzwiązana za pomocą jakichkolwiekdziałań z dowolną liczbą danych i s t a ł y c h wielkościa, b, c ,. . . jest albo t o ż s a m o ś c i ą , albo r ó w n a n i e mo k r e ś l a j ą c e m tę wielkość nieoznaczoną. Tożsamościąjest równość sprawdzająca się przy wszelkich wartościachwielkościx,jak np.(x-f- a)2=x 2-(- 2a x-j-a*.Równanie jest równością, która sprawdza się nie dla każdejwartościx }przykładem takiej równości jestx* — 2 a x - { - b = Q.Z równością taką związane jest przeto zagadnienie nastę­pujące: znaleźć tę wartość, wzgl. te wartościx,które czy­nią zadość danej równości. W ielkośćxnazywa się wów­czas wielkością n i e w i a d o m ą ; wyznaczenie wartości tejniewiadomej jest zadaniem teorji równań.Równość, w której oprócz danych wielkości stałychwystępują d w i e n i e o z n a c z o n e wielkościxiymożebyć również t o ż s a m o ś c i ą , np.(:x+y) (x—y)=x 2—y \Jeżeli jednak równość taka nie jest tożsamością, to wów­czas można rozważać ją jako równanie określające jednąz niewiadomych wielkościy(lubx), o ile drugiej wielkości,x(luby)nadaje się jakąkolwiek określoną wartość. War-3-tość ta może być wybrana dowolnie; od niej zależna jestpozostała wielkość.Dowolnie wybrana wielkośćx(luby)nazywa się wtedyz m i e n n ą niezależną; określona w zależności od niej po­została wielkośćy(lubx)nazywa się z m i e n n ą z a l e ż n ą ;nazywamy ją również f u n k c j ą zmiennej niezależnej.Przykład 1: (a)A x-j-B y-j-G —0,skądlub też(b)(c).Cl“y = — AX^ ° ,Przykład 2: (a)skądlub teżo— 1=0,(b)y —+~'la’— ®2,ź(c)x = . ± ^ b 3—y-.Związek pomiędzy wielkościam i zmiennemi wyrażonyjest w obu przykładach przez każde z równań (a), (b), (c),We wzorze (b) zmiennayprzedstawiona jest w postaci■wyrażenia algebraicznego zawierającego oprócz wielkościstałych jedną tylko zmienną niezależnąx\mówimy wów­czas, żeyjest funkcją w y r a ź n ą zmiennejx.W e wzorze(c) przedstawiona jest nawzajem zmiennaxjako funkcjawyraźna zmiennejy.Wzory (a) określają natomiast zależ­ność jednej zmiennej od drugiej w postaci u w i k ł a n e j .Następujące symbole:y — f'(X)> V =?(x), y=F(x), . . .służą wogóle do oznaczenia funkcji wyraźnych zmiennejarrw znakowaniu takiem nie wym ienione są wielkości stałezwiązane ze zmienną niezależnąx.Uwikłana zależnośćfunkcjonalna pomiędzy zmienemixiymoże być równieżzaznaczona symbolicznie, a mianowicie za pomocą wzorów:fkx>V) —0>9 (x>y)= o,h (x, y ) = 0 ,. . .1*Istnieje wiele funkcji posiadających tę własność, że każdej wartości zmiennej niezależnejxodpowiada jedna tylkowartośćy,jak np. funkcjey = x 2, y ~ x s, y = sinx;istniejąjednak również i takie wyrażenia funkcjonalne, które dlakażdej wartości zmiennejxdają więcej niż jedną wartośćy,np.y = y i c ) y = \ x ,7/==arc sinÓ:Wynika stąd podziałSfunkcji na j e d n o w ' a r t o ś c i o w re i w i e l o w a r t o ś c i o w re;te ostatnie mogą być d w u w a r t o ś c i o w e m i , t r ó j w a r t o ś ­c i o w y m i . . . , a nawet n i e s k o ń c z e n i e - w i e l o w a r t o ś c i o -we mi , jak np. ? / = arcsinrc.Podstawiając w'e wzorze na pewną funkcję wyraźnąy = f(x)dwie różne wartości zmiennej niezależnej:xiotrzymujemy odpowiednie wTarlości funkcji:y = f ( x )iy l = f ( x l)i wówczas z obu par wartości utworzyć mo­żemy następujący i l o r a z r ó ż n i c :Vi —) — / ’«?)(nsxi—Xxi — X'Dla różnic tych wprowadzamy znakowanie, skrócone:x t—x = Ax, Vl — y = f {xi)—f(x) — A y = Af(x),wów'czas iloraz (1) może być również tak napisany:4iL4fM =r la)AxAxAxWartość ilorazu różnic jest stosunkiem przyrostuzmiennej zależnej do przyrostu zmiennej niezależnej.Możemy podać interpretację geometryczną ilorazuróżnic. W tym celu przypominamy znane z geometrji ana­litycznej przedstawienie funkcjiy = f(x)w postaci krzy­wej płaskiej odniesionej do układu współrzędnych prosto­kątnych OZ,OT.Odcięta0 Qpewnego punktu P leżącegona tej krzywej stanowi wrartość zmiennejx,a rzędnaQ Pwartość funkcjif(x).Odciętejxodpowiada rzędnaylubwiele rzędnych, stosowmie do tego, czyf(x)jest funkcjąjednowartościowr czy też wielowartościową. Niechaj Pą,oznacza punkt krzywej posiadający odciętąxi rzędnąy. [ Pobierz całość w formacie PDF ]