Zastosowanie całek podwójnych w geometrii, Polibuda
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ZASTOSOWANIE CAŁEK PODWÓJNYCH W GEOMETRII
1. Pole obszaru regularnego
Jeśli funkcja
f
jest stale równa 1
w obszarze regularnym to
-pole obszaru
D.
D

R
2
,

dxdy

D
D
2. Objętość bryły
Niech
D
- obszar regularny
-funkcje ciagłe na obszarze
D

R
2
,
f
,
,
g
C

g
D
,
tzn
f
oraz
g
f

.
Rozważmy bryłę ograniczoną wykresami funkcji:
z

f
(
x
,
y
)
z

g
(
x
,
y
)
dla
D
x

y
)
.
z
z=f(x,y)
V
y=g(x,y)
y
D
x
3. Wtedy objętość tej bryły jest całką podwójną z różnicy funkcji
f
i
g
w obszarze
D
,
V
 
.

V



f
x
,
y
g
x
,
y
dxdy
D
3. Pole płata powierzchniowego
Niech
D
– obszar regularny w
R
2
,
f

C
1
(
D
)
,
S -
zbiór punktów wykresu funkcji
f
,
zbiór ten nazywamy
płatem powierzchniowym.
S

 ,
 
D
  
x
,
y
,
z
:
z

f
x
,
y
;
x
y
1
(
,
z
S
z=f(x,y)
y
D
x
Wtedy pole płata powierzchniowego
S
wynosi
S


f

2


f

2
S
D




1









dxdy
.

x

y
opracował Marcin Uszko
2

[ Pobierz całość w formacie PDF ]