zastosowanie całek potrójnych, Matematyka, Całki
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Zastosowanie całek potrójnych
Niech
V –
obszar regulany
R
. Wtedy
3


V
dxdydz
- objętość obszaru
V
V
Przykład
Obliczyć objętość bryły, jaką z kuli o promieniu
R
wycina stożek kołowy o wierzchołku w
środku kuli, wysokości
R
 i o kącie rozwarcia 2 , gdzie
0

 .

2
z
R
V
Ω
α
R
y
R
x
Ponieważ bryła jest symetryczna względem osi
OZ
, zatem objętość


V
4

dxdydz
, gdzie 
jest ćwiartką bryły
V.
Stosujemy współrzędne sferyczne


x

r
cos

cos






y

r
cos

sin

, gdzie

 2
 ,
0


,



,
r
0

R






2
2
z

r
sin

Zatem  jest obrazem prostopadłościanu
P
,

P
0
2


0 







,


R
.








2
2
Stąd

 
 

2
2
R
2
2
1
2
1

V

4

r
2
cos

d

d

dr

4

d

d
r
2
cos

dr

4
 

R
3
cos

d


4
R
3
sin

2
d


3
3





P
0
0
0
0
2




2
2

2
1
4

2


4

R
3
(

cos

)
d


R
3
(

cos

)

R
3
(

cos

)
3
3
2
3
0

d
[ Pobierz całość w formacie PDF ]