zastosowanie w geometrii, AGH Matematyka Stosowana (WMS), Analiza matematyczna, Podręczniki, Pomocne - ale nie ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
3.4.Zastosowaniacałekoznaczonych.
3.4.1.Przykładyzastosowa«całekoznaczonychwgeometrii.
A.Obliczaniepólfigurpłaskich.
1.Zakładamy,»efjestfunkcj¡ci¡gł¡inieujemn¡naprzedziale[a,b].
Poleobszaru
D={(x,y)2R
2
:axb^0yf(x)}
wyra»asi¦wzorem
Z
b
|D|=
f(x)dx.
a
2.Zakładamy,»efunkcjefigs¡ci¡głenaprzedziale[a,b]ispełniaj¡nierówno±¢f(x)g(x)
dlax2[a,b].
Poleobszaru
D={(x,y)2R
2
:axb^f(x)yg(x)}
wyra»asi¦wzorem
Z
b
|D|=
[g(x)−f(x)]dx.
a
3.Zakładamy,»efunkcjex=f(y)ix=g(y)s¡ci¡głenaprzedziale[c,d]ispełniaj¡
nierówno±¢f(y)g(y)dlay2[c,d].
Poleobszaru
D={(x,y)2R
2
:f(y)xg(y)^cyd}
wyra»asi¦wzorem
Z
b
|D|=
[g(y)−f(y)]dy.
a
4.Niech(',r)oznaczaj¡współrz¦dnebiegunowepunktu(x,y),tzn.
x=rcos',y=rsin'.
PoleobszaruSograniczonegokrzyw¡zadan¡równaniemwewspółrz¦dnychbiegunowych
r=f(')orazprostymi'=,'=wyra»asi¦wzorem
|S|=
1
2
Z
[f(')]
2
d'.
1
B.Obliczaniedługo±ciłukukrzywej.
1.Zakładamy,»efunkcjafmaci¡gł¡pochodn¡naprzedziale[a,b].
Długo±¢łukukrzywej
={(x,y)2R
2
:axb^y=f(x)}
wyra»asi¦wzorem
Z
b
p
1+[f
0
(x)]
2
dx.
||=
a
2.Zakładamy,»efunkcjex=x(t)iy=y(t)maj¡ci¡głepochodnenaprzedziale[,].
Długo±¢łukukrzywejzadanejrównaniamiparametrycznymi
={(x,y)2R
2
:x=x(t),y=y(t),t2[,]}.
wyra»asi¦wzorem
Z
p
[x
0
(t)]
2
+[y
0
(t)]
2
dt.
||=
C.Obliczanieobj¦to±cibryłyobrotowej.
1.Zakładamy,»efunkcjafjestci¡głainieujemnanaprzedziale[a,b].
Obj¦to±¢bryłyobrotowejVpowstałejprzezobrótwykresufunkcjifwokółosi0xdlax2
[a,b]wyra»asi¦wzorem
Z
b
|V|=
[f(x)]
2
dx.
a
2.Zakładamy,»efunkcjafjestci¡głainieujemnanaprzedziale[a,b]oraza0.
Obj¦to±¢bryłyobrotowejVpowstałejprzezobrótwykresufunkcjifwokółosi0ydlax2
[a,b]wyra»asi¦wzorem
Z
b
|V|=2
xf(x)dx.
a
2
D.Obliczaniepolapowierzchnibryłyobrotowej.
1.Zakładamy,»efunkcjafjestnieujemnaimaci¡gł¡pochodn¡naprzedziale[a,b].
Polepowierzchnibryłyobrotowejpowstałejprzezobrótwykresufunkcjifwokółosi0x
dlax2[a,b]wyra»asi¦wzorem
Z
b
f(x)
p
1+[f
0
(x)]
2
dx.
||=2
a
2.Zakładamy,»efunkcjafjestnieujemnaimaci¡gł¡pochodn¡naprzedziale[a,b]oraz
a0.
Polepowierzchnibryłyobrotowejpowstałejprzezobrótwykresufunkcjifwokółosi0y
dlax2[a,b]wyra»asi¦wzorem
Z
b
x
p
1+[f
0
(x)]
2
dx.
||=2
a
3.4.2.Przykładyzastosowa«całekoznaczonychwfizyce.
A.Obliczaniedługo±cidrogiwruchuzmiennym.
Długo±¢drogiprzebytejwprzedzialeczasowym[t
1
,t
2
]przezpunktmaterialnyporuszaj¡cy
si¦zezmienn¡pr¦dko±ci¡v(t)wyra»asi¦wzorem:
L=
Z
t
2
v(t)dt.
t
1
B.Obliczaniepracywykonanejprzezzmienn¡sił¦.
Pracawykonanaprzezzmienn¡sił¦F(x)równoległ¡doosiOxnaodcinkuodpunktux=a
dopunktux=bwyra»asi¦wzorem:
Z
b
W=
F(x)dx.
a
3
 3.4.3.Przykładyzastosowa«całekoznaczonychdoobliczaniawielko±cimechanicznych.
A.Wyznaczaniemomentówstatycznych,momentówbezwładno±cii±rodkaci¦»ko±ci
figurypłaskiej.
Zakładamy,»efjestfunkcj¡ci¡gł¡inieujemn¡naprzedziale[a,b].Oznaczamy
A=(a,f(a)),A
0
=(a,0),B=(b,f(b)),B
0
=(b,0).
Rozwa»amyfigur¦płask¡AA
0
B
0
Bograniczon¡krzyw¡ABb¦d¡c¡wykresemfunkcjiy=
f(x)dlax2[a,b],odcinkiemA
0
B
0
osiOxorazprostymix=aix=b,tj.
AA
0
B
0
B={(x,y)2R
2
:axb^0yf(x)}.
Załó»my,»emasajestrozło»onanatejfigurzerównomiernie,tak»eg¦sto±¢powierzchniowa
(tj.masaprzypadaj¡canajednostk¦pola)jeststała.
(1)
MomentstatycznyM
x
figuryAA
0
B
0
Bwzgl¦demosi0xwyra»asi¦wzorem:
M
x
=
1
Z
b
2
[f(x)]
2
dx.
a
(2)
MomentstatycznyM
y
figuryAA
0
B
0
Bwzgl¦demosi0ywyra»asi¦wzorem:
Z
b
M
y
=
xf(x)dx.
a
(3)
Współrz¦dne±rodkaci¦»ko±ci(,)figuryAA
0
B
0
Bwyra»aj¡si¦wzorami:
=
R
b
a
xf(x)dx
, =
1
2
R
b
a
[f(x)]
2
dx
.
(4)
Momentbezwładno±ciI
x
figuryAA
0
B
0
Bwzgl¦demosi0xwyra»asi¦wzorem:
I
x
=
1
Z
b
3
[f(x)]
3
dx.
a
4
R
b
a
f(x)dx
R
b
a
f(x)dx
B.Wyznaczaniemomentówbezwładno±cii±rodkaci¦»ko±cibryłyobrotowej.
NiechVb¦dziebrył¡obrotow¡powstał¡przezobrótfigurypłaskiejAA
0
B
0
Bwokółosi0x.
Zakładamy,»eg¦sto±¢przestrzenna(tj.masaprzypadaj¡canajednostk¦obj¦to±ci)jest
stała.
(1)
Momentbezwładno±ciI
x
bryłyVwzgl¦demosi0xwyra»asi¦wzorem:
I
x
=
1
Z
b
2
[f(x)]
4
dx.
a
(2)
rodekci¦»ko±ci(,)bryłyVle»ynaosi0ximawspółrz¦dne:
=
R
b
a
x[f(x)]
2
dx
, =0.
C.Wyznaczaniemomentówstatycznych,momentówbezwładno±cii±rodkaci¦»ko±ci
łukukrzywej.
Zakładamy,»efunkcjafmaci¡gł¡pochodn¡ijestnieujemnanaprzedziale[a,b].
Rozwa»amyłukABkrzywejy=f(x)dlax2[a,b],tj.
AB={(x,y)2R
2
:axb^y=f(x)}.
Zakładamy,»eg¦sto±¢liniowa(tj.masaprzypadaj¡canajednostk¦długo±ci)jeststała.
(1)
Momentbezwładno±ciI
x
łukukrzywejABwzgl¦demosi0xwyra»asi¦wzorem:
Z
b
[f(x)]
2
p
1+[f
0
(x)]
2
dx.
I
x
=
a
(2)
rodekci¦»ko±ci(,)łukukrzywejABmawspółrz¦dne:
=
R
b
a
x
p
1+[f
0
(x)]
2
dx
p
1+[f
0
(x)]
2
dx
, =
R
b
a
f(x)
p
1+[f
0
(x)]
2
dx
p
1+[f
0
(x)]
2
dx
.
(3)
MomentstatycznyM
x
łukukrzywejABwzgl¦demosi0xwyra»asi¦wzorem:
Z
b
f(x)
p
1+[f
0
(x)]
2
dx.
M
x
=
a
5
R
b
a
[f(x)]
2
dx
R
b
a
R
b
a
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]