Zadania grupa 3, 1 STUDIA - Informatyka Politechnika Koszalińska, muniol, II rok, 3sem, Probabilistyka i ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Probabilistyka i statystyka – zadania z kolokwium, grupa trzecia (2010.12.14)
= ∗
, ∈< 0;2 >
1. Podana gęstość
Znajdź dystrybuantę,
,
,,
dominantę, medianę, prawdopodobieństwo
∈< 0;1 >
Mając daną gęstość, aby obliczyć wartość nieznanego parametru – w tym przypadku
, musimy
funkcję gęstości scałkować w podanym przedziale i przyrównać do
1
- pole pod gęstością zawsze
równa się
1
!
= 1 ⇒ ∗
4
= 1 ⇒ ∗
16
4
= 1 ⇒ 4 = 1 ⇒ =
1
∗
= 1 ⇒
4
=
funkcja, ∈< ł >
Następnie, gdy już mamy wartość parametru – piszemy, że
0, ∉< ł >
4
, ∈< 0;2 >
0, ∉< 0;2 >
=
Aby obliczyć dystrybuantę mając daną gęstość całkujemy ją w przedziale od
< 0; >
(w tym
przypadku) zastępując w gęstości zmienną
zmienną
.
=
16
=
=
1
=
1
4
4
16
1
 Podobnie jak przy gęstości, podstawiamy do zależności dla dystrybuanty
0, < ł
,ł ≤ < ł
1, ≥ ł
=
0, < 0
16
,0 ≤ < 2
1, ≥ 2
=
Aby obliczyć wartość oczekiwaną
całkujemy iloczyn gęstości i
=
20
=
1
=
1
=
32
4
∗
4
20
= 1.6
Aby obliczyć
całkujemy iloczyn gęstości i
=
24
=
1
=
1
=
64
4
∗
4
24
= 2.75
Wariancję i odchylenie standardowe obliczamy według stosownych wzorów
=
−
= 2.75 −
1.6
= 2.75 − 2.56 = 0.19
= = 0.19 = 0.44
Medianę
obliczymy przyrównując dystrybuantę do
2
⇒
⇒
=
1
16
=
1
2
⇒
= 8 ⇒ = 8
Modę, dominantę
obliczymy wskazując wartość, dla której gęstość przyjmuje maksymalną
wartość
⇒ max = = 2
2
 Prawdopodobieństwo w pewnym przedziale policzymy całkując w nim gęstość lub stosując wzór
Newtona-Leibnitza dla dystrybuanty
1
−
0
=
1
16
0 ≤ ≤ 1
=
=
2. Oblicz współczynnik
, tak by funkcja
była dystrybuantą.
Znajdź gęstość,
,
,,
dominantę, medianę, prawdopodobieństwo
∈< 0;1 >
,
współczynnik asymetrii, wnioski dot. Współczynnika asymetrii
=
+ , ∈< 0;1 >
1, > 1
0, < 0
Wartość parametru
obliczymy przyrównując wartość dystrybuanty z lewego skraju przedziału do
0
,
a z prawej do
1
0 = 0
⇒
= 0
⇒
= 0
= 0
1
+ = 1
1
= 1
Następnie zapisujemy dystrybuantę tak jak w zadaniu 1.
, ∈< 0;1 >
1, > 1
0, < 0
=
3
Aby policzyć gęstość mając daną dystrybuantę – po prostu ją różniczkujemy
=
=
2, ∈< 0;1 >
0, ∉< 0;1 >
=
2
3
=
2
∗ = 2
= 2
3
=
2
4
=
1
= 2 ∗
2
=
−
=
1
2
−
4
9
=
9 − 8
=
1
18
= 0.056
18
=
= 0.237
⇒
=
1
2
⇒
=
1
2
⇒ =
1
2
∈< 0;1 >∨ = −
1
2
∉< 0;1 >⇒ =
1
2
⇒ = = = 1
0 ≤ ≤ 1
=
=
1
−
0
= 1
Aby policzyć współczynnik asymetrii, korzystamy ze wzoru
=
, czyli moment centralny trzeciego rzędu liczymy według wzoru
=
− 3 ∗ ∗
+ 2 ∗
=
2
5
=
2
= 2 ∗
5
= 0.4
4
3
= 0.4 − 1 + 2 ∗
8
= 0.4 − 3 ∗
2
3
∗
1
2
+ 2 ∗
2
27
= 0.4 − 1 +
16
27
=
4
10
−
27
27
+
16
27
=
=
108 − 270 + 160
270
2
270
= −0.007
= −
W zależnie od wartości współczynnika asymetrii, możemy stwierdzić o wykresie różne rzeczy – jeżeli
< 0
- rozkład o lewostronnej asymetrii (wydłużone lewe ramię rozkładu)
= 0
- rozkład symetryczny
> 0
- rozkład o prawostronnej asymetrii (wydłużone prawe ramię rozkładu)
3. Rozkład Gaussa
Ze wzoru odczytać wartości, narysować wykres i napisał przedział dla
3
2
∗
1
=
Wzór ogólny rozkładu Gaussa wygląda
2
∗
1
=
Odczytując parametry ze wzoru otrzymujemy
= 1
= 3
=
2
2
= 1
Rysując wykres warto pamiętać o tym, że maksymalną wartość
ma gdy
=
i wynosi
ona wtedy
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]