Zadania maturalne z matematyki- planimetria poziom podstawowy, zadania maturalne, Dokumenty
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
PLANIMETRIA
Poziom podstawowy
Zadanie 1
(3 pkt.)
W prostokĢtnym trjkĢcie ABC dana jest dþugoĻę przyprostokĢtnej AC =3. Na
przeciwprostokĢtnej AB wybrano punkt D, a na przyprostokĢtnej BC punkt E w taki
sposb, Ňe DE || AC oraz
= EC
=
2
. Wykonaj rysunek ilustrujĢcy sytuacjħ opisanĢ
w zadaniu i wyznacz tangens kĢta EDC.
Zadanie 2
(3 pkt.)
W prostokĢtnym trjkĢcie ABC dana jest dþugoĻę przyprostokĢtnej AC =4. Na
przeciwprostokĢtnej AB wybrano punkt D, a na przyprostokĢtnej BC punkt E w taki
sposb, Ňe DE || AC oraz BE =4, EC =3. Wykonaj rysunek ilustrujĢcy sytuacjħ opisanĢ
w zadaniu i wyznacz tangens kĢta ECD.
Zadanie 3
(5 pkt.)
Dany jest trjkĢt ABC, w ktrym BC =4, miara kĢta CAB jest rwna 30
o
, a miara
kĢta ABC jest rwna 45
o
. Oblicz pole trjkĢt ABC.
Zadanie 4.
(3 pkt.)
W wycinek koþa o promieniu 3 cm wpisano koþo o promieniu 1 cm. Oblicz pole danego
wycinka koþa.
Zadanie 5
(3 pkt.)
ZnajdŅ dþugoĻę promienia koþa wpisanego w romb o polu S i kĢcie ostrym a.
Zadanie 6
(4 pkt.)
Na trjkĢcie rwnobocznym opisano okrĢg i wpisano weı okrĢg. Pole powstaþego pierĻcienia
koþowego jest rwne p
Zadanie 7
(5 pkt.)
Promieı okrħgu wpisanego w trapez prostokĢtny ma dþugoĻę r. KĢt ostry trapezu jest rwny
a. Oblicz obwd i pole trapezu.
Zadanie 8
(3 pkt.)
WykaŇ, Ňe trjkĢt ABC, w ktrym kĢt przy wierzchoþku B jest dwa razy wiħkszy od kĢta
przy wierzchoþku A, kĢt przy wierzchoþku C jest trzy razy wiħkszy od kĢta przy wierzchoþku
A, jest trjkĢtem prostokĢtnym.
Zadanie 9
(3 pkt.)
W celu oszacowania wysokoĻci drzewa uczeı o wzroĻcie 180 cm ustawiþ siħ tak, Ňe koniec
jego cienia pokrywaþ siħ z koıcem drzewa. WiedzĢc, Ňe odlegþoĻę ucznia od Ņrdþa Ļwiatþa
wynosi 3,4 m i odlegþoĻę ucznia od pnia drzewa wynosi 16,6 m, oblicz wysokoĻę drzewa.
BE
3 . Oblicz pole trjkĢta.
Zadanie 10
(6 pkt.)
W trapezie rwnoramiennym dane jest ramiħ dþugoĻci a i kĢt ostrya. PrzekĢtna trapezu jest
prostopadþa do ramienia. Oblicz pole trapezu.
Zadanie 11
(6 pkt.)
Ze skrawka materiaþu w ksztaþcie trjkĢta o dþugoĻciach bokw 7 cm, 24 cm, 25 cm wyciħto
koþo weı wpisane. Ile
cm materiaþu zostaþo ? Wynik podaj z dokþadnoĻciĢ 0,01.
2
Poziom rozszerzony
Zadanie 1
(5 pkt.)
Dany jest trjkĢt ABC, w ktrym
AB , a wysokoĻę opuszczona z wierzchoþka C ma
=
6
dþugoĻę 5. Na boku AC wybrano punkt E taki, Ňe
CA
CE
=
3
1
, natomiast na boku BC
wybrano punkt F taki, Ňe
CB
CF
=
4
1
. Oblicz pole trjkĢta CEF.
Zadanie 2
(7 pkt.)
W trapezie rwnoramiennym ABCD, o podstawach AB i CD, kĢt ostry ma miarħ 45
o
.
PrzekĢtna AC o dþugoĻci 6 tworzy z ramieniem trapezu kĢt o mierze 120
o
.
Oblicz pole trapezu ABCD.
Zadanie 3
(4 pkt.)
W rwnolegþoboku przekĢtne majĢ dþugoĻci rwne 4 cm i 6 cm, a kĢt miħdzy nimi ma miarħ
rwnĢ 150
o
. Oblicz dþugoĻci bokw tego rwnolegþoboku.
Zadanie 4
(3 pkt.)
W trjkĢcie ABC dane sĢ dþugoĻci bokw
AC
=
6
BC
=
8
i miara kĢta ACB, ktra
jest rwna 60
o
. W trjkĢcie DEF dane sĢ dþugoĻci bokw
DF
=
8
2
,
FE
=
2
26
oraz cos
®DFE . WykaŇ Ňe trjkĢty ABC i DEF sĢ podobne.
5
13
26
BC , a miara kĢta ACB jest rwna 120
o
.
Punkt D jest punktem wsplnym dwusiecznej kĢta ACB i boku AB. Oblicz dþugoĻę
odcinka CD.
=
8
CA
=
4
Zadanie 6
(11 pkt.)
DþugoĻci ramion trapezu sĢ rwne 5 cm i 3 cm. Odcinek þĢczĢcy Ļrodki tych ramion dzieli
trapez na dwie czħĻci w ten sposb, Ňe stosunek ich pl rwny jest
11
5
. Oblicz pole danego
trapezu, wiedzĢc, Ňe moŇna wpisaę w niego okrĢg.
Zadanie 7
(5 pkt.)
Oblicz pole trjkĢta majĢc dane:
a
=
4
cm
,
a
=
45
0
,
b
=
60
0
. Podaj dokþadny wynik.
=
Zadanie 5
(6 pkt.)
Dany jest trjkĢt ABC, w ktrym
SCHEMAT PUNKTOWANIA - PLANIMETRIA
Poziom podstawowy
Numer
zadania
Etapy rozwiĢzania zadania
L. pkt.
Wykonanie rysunku i przyjħcie potrzebnych oznaczeı.
1
Obliczenie dþugoĻci odcinka ED:
ED .
=
3
1
1
2
4
Obliczenie tangensa kĢta EDC: tg
®EDC .
=
1
3
Wykonanie rysunku i przyjħcie potrzebnych oznaczeı.
1
Obliczenie dþugoĻci odcinka ED:
ED .
=
16
1
2
7
16
Obliczenie tangensa kĢta ECD: tg
®ECD .
=
1
21
Wykonanie rysunku i przyjħcie potrzebnych oznaczeı.
CD wysokoĻę trjkĢta opuszczona na bok AB.
1
Obliczenie dþugoĻci odcinka CD:
CD
=
CB
µ
sin
45
o
=
2
2
.
1
Obliczenie dþugoĻci odcinka DB:
DB
=
CB
µ
cos
45
o
=
2
2
.
1
3
Obliczenie dþugoĻci odcinka AD:
AD
=
CD
µ
ctg
30
o
=
2
6
.
1
Obliczenie dþugoĻci odcinka AB:
AB
=
2
( )
2
-
6
i pole trjkĢta:
1
P
=
4
( )
+
3
.
SporzĢdzenie rysunku i przyjħcie oznaczeı.
1
4
Wyznaczenia miary kĢta danego wycinka
a
60
o
.
1
Obliczenie pola wycinka
P
=
1 cm
p
2
.
1
SporzĢdzenie rysunku i przyjħcie oznaczeı.
1
5
Obliczenie dþugoĻci boku rombu (podstawy)
a = .
h
1
sin
a
Obliczenie dþugoĻci promienia
r =
0 S
sin
a
.
1
SporzĢdzenie rysunku i przyjħcie oznaczeı.
1
OkreĻlenie dþugoĻci promienia okrħgu wpisanego i opisanego w zaleŇnoĻci
od wysokoĻci trjkĢta
r
=
1
h
,
R
=
2
h
.
1
3
3
6
Wyznaczenie wysokoĻci trjkĢta z tw. Pitagorasa 3
h .
=
1
Wyznaczenie dþugoĻci boku trjkĢta
a oraz
=
2
3
1
obliczenie pola trjkĢta
P .
=
3
3
SporzĢdzenie rysunku i przyjħcie oznaczeı.
1
7
Wyznaczenie dþugoĻci ramienia trapezu
c =
2r
.
1
sin
a
1
Numer
zadania
Etapy rozwiĢzania zadania
L. pkt.
Wyznaczenie sumy dþugoĻci podstaw z warunku
a
+
b
=
h
+
c
czyli
a
+
b
=
2
r
+
2
r
.
1
sin
a
7
Obliczenie pola trapezu
P
=
2
r
2
Ä
+
1
1
Õ
Ö
.
1
sin
a
Obliczenie obwodu trapezu
Ob
=
4r
Ä
+
1
1
Õ
.
1
sin
a
Æ
Ö
SporzĢdzenie rysunku i przyjħcie oznaczeı.
1
Wyznaczenie miary kĢta
a
,
a
30
0
.
1
8
Wyznaczenie miary pozostaþych kĢtw trjkĢta:
2
a
= a
60
0
,
3
=
90
0
1
i udzielenia odpowiedzi.
SporzĢdzenie rysunku i przyjħcie oznaczeı.
1
9
Zapisanie odpowiedniej proporcji z podobieıstwa trjkĢtw.
1
Obliczenie wysokoĻci drzewa m
h 59
10
,
.
1
SporzĢdzenie rysunku i przyjħcie oznaczeı: a - ramiħ, b - krtsza podstawa,
c - dþuŇsza podstawa, h - wysokoĻę.
1
Wyznaczenie wzoru na wysokoĻę trapezu z trjkĢta prostokĢtnego
a
a
sin
.
1
10
Obliczenie dþugoĻci dþuŇszej podstawy
c =
a
.
1
cosa
a
-
2
a
cos
2
a
Obliczenie dþugoĻci krtszej podstawy
b
=
.
2
cos
a
Obliczenie pola trapezu
P
=
a
2
sin
2
atg
a
1
SporzĢdzenie rysunku i przyjħcie oznaczeı.
1
Wykazanie, Ňe trjkĢt jest prostokĢtny.
1
11
Obliczenie pola trjkĢta prostokĢtnego
P
t
=
84 cm
2
.
1
Obliczenie dþugoĻci promienia cm
r 3
=
i pola koþa
P
k
=
9 cm
p
2
.
1
Obliczenie pola pozostaþego materiaþu
P
k
=
P
-
P
=
84
-
9
p
55
,
74
cm
2
.
2
t
Å
Æ
Ô
Å
Ô
h =
Poziom rozszerzony
Numer
zadania
Etapy rozwiĢzania zadania
L. pkt.
Wykonanie rysunku i przyjħcie potrzebnych oznaczeı.
1
Obliczenie pola trjkĢta ABC:
P .
DABC
=
15
1
Zapisanie zwiĢzku
P
ABC
=
1
µ
CB
µ
CA
µ
sin
®
ACB
i wyprowadzenie
D
2
1
1
zaleŇnoĻci
CB
µ
CA
µ
sin
®
ACB
=
30
.
Wyprowadzenie zaleŇnoĻci:
CE
=
1
CA
,
CF
=
1
CB
.
1
3
4
1
5
Obliczenie pola trjkĢta CEF:
P
CEF
=
µ
CE
µ
CF
µ
sin
®
ACB
=
.
1
D
2
4
Wykonanie rysunku i przyjħcie potrzebnych oznaczeı. CE wysokoĻę
trjkĢta ABC opuszczona na bok AB trapezu.
1
Ze zwiĢzku
AC
=
AB
obliczenie dþugoĻci odcinka AB:
sin
45
o
sin
120
o
2
AB . (w tym 1 pkt. za wzory redukcyjne)
=
3
6
2
Z trjkĢta ACE obliczenie dþugoĻci odcinka CE:
o
=
AC
µ
cos
®
ACE
=
6
cos
75
.
1
Obliczenie dþugoĻci krtszej podstawy trapezu. PoniewaŇ EB
CE =
1
wynika, Ňe
DC
=
AB
-
2
EB
=
3
6
-
12
cos
75
o
.
Obliczenie pola trapezu. (w tym 1 pkt. za obliczenie
cos
75
o
lub
2
za obliczenia z pierwiastkami)
Wykonanie rysunku i przyjħcie potrzebnych oznaczeı.
1
3
Obliczenie dþugoĻci dþuŇszego boku rwnolegþoboku ( w tym 1 pkt. za
zapisanie twierdzenia cosinusw i zastosowanie wzoru redukcyjnego):
3
2
a
=
13 +
6
.
Obliczenie dþugoĻci krtszego boku rwnolegþoboku:
b
=
13 -
6
3
.
1
Obliczenie dþugoĻci boku AB:
AB
=
2
13
.
1
4
Obliczenie dþugoĻci boku DE:
DE .
=
6
2
1
Wykazanie, Ňe trjkĢty ABC i DEF sĢ podobne, bo majĢ proporcjonalne
boki.
1
Wykonanie rysunku i przyjħcie potrzebnych oznaczeı. h Î wysokoĻę
trjkĢta opuszczona na bok AB.
1
5
AB ( w tym 1 pkt. za zapisanie
twierdzenia cosinusw i zastosowanie wzoru redukcyjnego)
=
4
7
.
2
CE
Obliczenie dþugoĻci boku AB:
[ Pobierz całość w formacie PDF ]