Zagadnienia ściskania i rozciągania osiowego, Wytrzymałość materialow, Wytrzymałość materiałów(1)
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
4. ZAGADNIENIA
Ś
CISKANIA I ROZCI
Ą
GANIA OSIOWEGO
Ze stanem ściskania (lub rozciągania) mamy do czynienia wtedy, gdy na pręt działa jedynie
siła osiowa przyłoŜona w środku cięŜkości pręta. JeŜeli pręt poddany działaniu siły osiowej
ma stały przekrój, to poszczególne przekroje poprzeczne pozostają płaskie po odkształceniu
(jeśli materiał jest izotropowy) i napręŜenia normalne są stałe. Lokalne zmiany kształtu pręta
prowadzą do powstania koncentracji napręŜeń. Stosując model materiału liniowo spręŜystego
obliczamy napręŜenia jako:
s
=
N
=
E
×
e
=
E
×
D
l
.
A
l
WydłuŜenie pręta obliczamy jako
D
l
=
N
×
l
. Odkształcenia w kierunkach poprzecznych do
EA
osi pręta obliczamy jako:
e
y
=
-
ne
x
,
e
z
=
ne
z
. Dla materiałów o liczbie Poissona
n
>
0
przy
rozciąganiu pręta otrzymujemy zwęŜenie części środkowej pręta. Oczywiście dla ciała
izotropowego mamy
n
Î<
2
0
1
>
(materiał idealnie ściśliwy, materiał nieściśliwy).
N
N
W niektórych zastosowaniach praktycznych stosuje się model biliniowy określony jako
E
×
e
,
s
£
s
0
s
=
E
×
e
+
s
1
-
E
t
,
s
³
s
t
0
E
0
E
E
45
-
lub teŜ modele hipo- lub hiperspręŜyste. Materiał w stanie spręŜystym powraca do swojego
pierwotnego kształtu po usunięciu wszystkich obciąŜeń. W dalszej analizie będziemy
posługiwali się równieŜ modelami spręŜysto-plastycznymi, w których występują odkształcenia
trwałe. Do analizy materiałów, których własności zmieniają się w czasie (z reguły maleją
wraz z upływem czasu) stosuje się modele lepko-spręŜyste lub modele lepko-spręŜysto-
plastyczne oraz lepko-plastyczne.
Polecenie
. Na podstawie literatury dokonaj klasyfikacji materiału na podstawie wykresu
napręŜenie-odkształcenie.
s
s
s
e
e
e
s
s
s
e
e
e
s
e
Bardzo często rozwiązując problemy z zakresu ściskania i rozciągania moŜemy uwzględniać
błędy m ontaŜowe,
jakie zdarzają się w rzeczywistych konstrukcjach; analizujemy
równieŜ wpływ tem peratury na odkształcenia układu wywołany ogrzaniem lub schło-
dzeniem jednego z prętów. Błędy m ontaŜowe to odchyłki wymiarowe spowodowane
niedokładnym zestawieniem (połączeniem) odpowiednich elementów konstrukcji (wybrane
pręty są zbyt długie lub za krótkie w stosunku do pozostałych). Błędy te wywołują napręŜenia
wstępne, które mogą pogorszyć wytrzymałość i niezawodność konstrukcji. Jak moŜna się
46
przekonać, w konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych nawet nieznaczne błędy montaŜowe
mogą spowodować znaczne napręŜenia i odkształcenia. Z drugiej strony w konstrukcjach
i elementach konstrukcyjnych o znacznych rozmiarach stosuje się świadomie tzw. dylatacje,
czyli otwory lub przerwy, które mają za zadanie zmniejszenie pojawiających się w nich
odkształceń termicznych.
Wpływ temperatury moŜna pokazać na przykładzie pręta w temperaturze
0 o długości
0
l
, przy
wzroście temperatury od
1
t
do
2
t
; jego długość zmienia się od
l
do
2
l
, a średnim
współczynnikiem rozszerzalności liniowej nazywamy iloraz
a
=
1
×
l
2
-
l
1
.
1
2
l
t
-
t
0
2
1
Oznaczając l
1
-l
2
= Dl , t
1
-t
2
= Dt , a
1,2
= a, otrzymujemy Dl = l
0
aDt, e = aDt.
Wyprowadźmy kolejno równania równowagi przy ściskaniu i/lub rozciąganiu dla pręta
obciąŜonego cięŜarem własnym i siłą podłuŜną.
s
g
s+ s
Suma rzutów na oś x dla elementarnego odcinka jest następująca:
(
A
s
+
d
s
)
+
Adx
g
-
A
s
=
0
Ad
s
+
Adx
g
=
0
d
s
=
-
dx
g
.
Stałą C wyznaczamy z warunku brzegowego:
47
A
x
s
=
∫ ∫
d
s
=
-
g
dx
=
-
g
x
+
C
,
0
s
=
P
=
-
g
l
+
C
,
x
=
l
A
C
=
P
+
g
l
,
A
s
( )
x
=
s
=
-
g
x
+
P
+
g
l
=
g
( )
l
-
x
+
P
.
A
A
Odkształcenie natomiast wynosi
e
( )
x
=
s
( )
x
=
P
+
g
( )
l
-
x
.
E
AE
E
Całkowite wydłuŜenie pręta jest równe
l
l
P
g
Pl
g
l
2
g
l
2
Pl
g
l
2
( )
( )
l
=
∫
e
x
dx
=
∫
+
l
-
x
dx
=
+
-
=
+
.
AE
E
EA
E
2
E
EA
2
E
0
0
Problem 4.1.
Znaleźć reakcje w poniŜszym układzie statycznie-niewyznaczalnym.
R
R
2
D
Rozwiązanie. Zapisujemy równanie równowagi sił podłuŜnych:
∑
P
y
=
0
R
1
R
+
2
=
0
oraz równanie geometryczne opisujące przyrosty długości poszczególnych prętów
( )
D
l
1
+
D
l
2
+
a
t
D
t
×
l
+
l
=
0
.
R
1
l
+
R
1
l
+
a
D
t
×
2
l
=
0
2
EA
EA
t
Obliczamy kolejno pierwszą reakcję
3
R
1
l
=
-
a
D
t
×
2
l
2
EA
t
R
=
-
EA
×
4
a
D
t
×
l
=
-
4
EA
a
t
D
t
1
l
3
t
3
i obliczamy napręŜenie normalne w tym pręcie
s
=
-
2
E
t
D
a
t
. Kolejno dla drugiego pręta
1
3
48
R
=
-
R
=
4
EA
a
t
D
t
;
s
=
-
4
E
a
D
t
.
2
1
3
2
3
W obu częściach struktury prętowej mamy więc ściskanie.
Problem 4.2.
Znaleźć reakcje w następującym układzie statycznie niewyznaczalnym.
d
R
R
Rozwiązanie. W pierwszej kolejności znajdujemy reakcje z następujących równań:
∑
P
y
=
0
R
1
+
R
2
=
0
D
l
1
+
D
l
2
-
d
=
0
R
1
l
+
R
1
l
-
d
=
0
®
3
R
1
l
=
d
.
2
EA
EA
2
EA
R
=
2
EA
d
=
-
R
1
3
l
2
W dalszej kolejności obliczamy napręŜenia w prętach ze wzoru
s
=
N
jako
A
s
=
-
s
=
2
E
d
.
1
2
3
l
Dla wartości parametrów
E
=
210
GPa
,
d
=
10
-
3
obliczamy
s
= s
=
0
14
GPa
=
14
kN
.
l
1
2
cm
2
Jak widać zamontowanie zbyt krótkiego pręta powoduje powstanie rozciągających napręŜeń
wstępnych w całym układzie prętowym.
Problem 4.3.
Znaleźć reakcje dla następującego układu.
Rozwiązanie. Z równania równowagi mamy :
R
1
=
P
+
R
2
, natomiast z odkształceń wynika,
Ŝe
D
l
1
+
D
l
2
=
0
, a więc
D
l
=
-
R
1
l
1
,
D
l
=
Pl
2
-
R
1
l
1
.
1
EA
2
EA
EA
1
2
2
49
t
[ Pobierz całość w formacie PDF ]