Zagadnienie 1, Zagadnienia MK
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1. Idee mechaniki kwantowej w analogii do dyfrakcji światła.
Istotą mechaniki kwantowej jest odejście od determinizmu. Jeżeli układ porusza się
deterministycznie, tzn. po ściśle określonej trajektorii, to powstaje pytanie, skąd „wie”, że to jest
ta właściwa trajektoria. Dla każdego deterministycznego zadania (np. równania Newtona) można
podać taką funkcję od trajektorii (tzn odpowiedni funkcjonał), że rozwiązanie deterministycznego
równania odpowiada ekstremum tego funkcjonału. Zatem rozwiązanie deterministycznego
równania różniczkowego jest ekwiwalentne ze znalezieniem ekstremum (najczęściej minimum)
jakiegoś funkcjonału. W jaki sposób układ wybiera z nieskończonej zwykle liczby rozmaitych
trajektorii tę ekstremalną? Jeżeli nie przydawać układowi ponadnaturalnych własności,
to odpowiedź powinna brzmieć: układ nie wybiera żadnej trajektorii, ale porusza się równocześnie
po wszystkich możliwych trajektoriach, wygaszając jednakże przejawy swojego istnienia
we wszystkich trajektoriach oprócz ekstremalnej. Należy zauważyć, że trajektoria ekstremalna jest
wyróżniana w taki sposób, że rozkładając funkcjonał w szereg typu Taylora względem trajektorii
ekstremalnej otrzymamy pierwszy nieznikający człon kwadratowy (liniowy- pierwsza pochodna
zanika w ekstremum). Inaczej jest z rozwinięciem względem każdej innej trajektorii, gdzie człon
liniowy pozostaje. Człon liniowy zmienia znak „na lewo” i „na prawo” od danej trajektorii, dlatego
wkłady od trajektorii z „obu stron” znoszą się - „wygaszają”. W przypadku trajektorii ekstremalnej
najniższy człon jest kwadratowy i wkłady z „obu stron” wzmacniają się zamiast wygaszać”. Co do
samego mechanizmu dodawania się wkładów od sąsiednich trajektorii, to można porównać go
z nakładaniem się na siebie ogromnej liczby piłozębnych (sinusoidalnych) krzywych. Wtedy gdy są
one losowo poprzesuwane względem siebie i mają bardzo drobne ząbki – w rezultacie otrzymujemy
krzywą zupełnie gładką. Gdy jednak ząbki ie są drobne, np. gdy mamy do czynienia z jednym albo
kilkoma ząbkami, wówczas mechanizm nie jest już tak efektywny.
Jeżeli zatem doprowadzić do konieczności wyboru trajektorii ekstremalnej na bardzo krótkiej
drodze, takiej że nie zmieści się tam wiele wychyleń sinusoidalnej krzywej, to wybór trajektorii
ekstremalnej nie uda się i układ przejawi swoje istnienie na wielu trajektoriach równocześnie.
Na przykład, jeżeli promień światła pada na bardzo wąską szczelinę (rzędu długości fali światła, tj.
na długości sinusoidy mieści się zaledwie kilka wychyleń sinusoidy), to za szczeliną światło
wypełni całą półprzestrzeń (nastąpi dyfrakcja), czyli światło nie będzie się poruszało po określonym
torze – promieniu, ale zaznaczy swoje istnienie równocześnie na nieskończonej liczbie torów. Gdy
szczelinę rozszerzy się, mechanizm wygaszania poza ekstremalną wartością będzie efektywny
i światło przebiegnie po ściśle określonej drodze – promieniu (wybranym tak, aby czas przelotu był
najkrótszy).
Każdy rodzaj materii w określonym stanie ma swoją charakterystyczną długość (okres
przestrzenny) sinusoidalnych krzywych odpowiadających za wkłady od rozmaitych trajektorii (dla
fotonów jest to długość fali świetlnej). Dla wiązki poruszających się elektronów, długość fali
materii może być rzędu 10
−10
i dlatego też dyfrakcja elektronu udaje się dopiero na szczelinie
o porównywalnych wymiarach (kryształy). Po przejściu przez szczelinę pojedynczy elektron
przejawia się w wielu miejscach równocześnie. Nie ma już wtedy deterministycznego ruchu po
jednej trajektorii, ale ma miejsce ewolucja w czasie istnienia układu (nawet pojedynczej cząstki)
w całej przestrzeni równocześnie.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]