Zaawansowana mechanika kwantowa. Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta, Filozofia Przyrody
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ZAAWANSOWANAMECHANIKAKWANTOWA:
WSTPDOTEORIIPRZESTRZENIHILBERTA
Ł.Derkacz
1
,R.Olkiewicz
IFTUWr.,2005
1
Uwagiidostrze»onebł¦dywnotatkachproszekierowa¢naadres:nikko@ift.uni.wroc.pl
1PrzestrzenieHilberta
Definicja1
Niech
E
b¦dzieprzestrzeni¡liniow¡(wektorow¡)nad
K
(
K=R
,
K=C
).Funkcj¦
k·k:E!R
spełniaj¡canast¦puj¡cewarunki:
a)
8f2Ekfk
>
0
,
kfk=0,f=0
b)
kf+gk
6
kfk+kgk8f,g2E
c)
kafk=|a|kfk8f2E8a2K
nazywamynorm¡.Par¦
(V,k·k)
nazywamyprzestrzeni¡unormowan¡.
Przykład1
E=K
n
,
a2K
n
,
a=(a
1
,...,a
n
)
,
a
i
2K
Przykładynorm:
a)
kak
1
=max
i
|a
i
|
b)
kak
2
=
P
n
i=1
|a
i
|
c)
kak=
p
P
n
i=1
|a
i
|
2
normaeuklidesowa.
Definicja2
Niechdanyb¦dzieci¡g
f
n
2E
.Mówimy,»eci¡g
f
n
jestzbie»nydo
f2E
,je»eli
lim
n!1
kf−f
n
k=0
.Piszemywówczas
lim
n!1
f
n
=f
lub
f
n
!f
.
Definicja3
Ci¡g
f
n
nazywamyci¡giemCauchy’ego,je»eli
8 >09N8n,m > Nkf
n
−f
m
k<
Uwaga
:Je»elici¡g(f
n
)jestzbie»nytojestci¡giemCauchy’ego.
Ztego,»ef
n
!fwynika9N8n > Nkf−f
n
k< .Gdyn,m > Ntozachodzi
kf
n
−f
m
k=kf
n
−f+f−f
m
k
6
kf
n
−fk+kf−f
m
k=kf−f
n
k+kf−f
m
k<2
Definicja4
Je»elika»dyci¡gCauchy’egowprzestrzeniunormowanej
E
jestzbie»ny,toprzestrze«
E
nazywamyzupełn¡.Przestrze«unormowan¡izupełn¡nazywamyprzestrzeni¡Banacha.
Przykład2
Przestrze«
K
jestprzestrzeni¡Banachawzgl¦demka»dejznorm
k·k
1
,
k·k
2
,
k·k
.
Definicja5
Podprzestrze«liniow¡
DE
nazywamyg¦st¡,je»eli
8f2E9(f
n
)D
taki,»e
f
n
!f
Przykład3
E=C[0,1]
,
kfk
1
=sup
x2[0,1]
|f(x)|
jestnorm¡na
E
.
E
jestprzestrzeni¡Banacha.
Je»eli
(f
n
)
jestci¡giemCauchy’ego,to
sup
x2[0,1]
|f
n
(x)−f
m
(x)|<
czyli
8x f
n
(x)!f(x)
.Ztwierdzeniaozbie»no±cijednostajnej
f
jestfunkcj¡ci¡gł¡,czylinale»ydo
przestrzeni
E
.
Niech
D=P|
[0,1]
.
P
jestzbioremwielomianiów.
D
jestpodprzestrzeni¡liniow¡w
E
.Ztwierdze-
niaStone’a-Weierstrassawynika,»e
D
jestg¦staw
E
.(Dlaka»dejfunkcjici¡głejznajdziemyci¡g
wielomianiówd¡»¡cychjednostajniedotejfunkcji.)
1
Definicja6
Mówimy,»e
k·k
spełniareguł¦równoległoboku,je»eli
8f,g2E
zachodzi
kf−gk
2
+kf+gk
2
=2(kfk
2
+kgk
2
)
Przykład4
Norma
kak
2
=
P
n
k=1
|a
i
|
niespełniaregułyrównoległoboku.Kontrprzykładznajd¹samo-
dzielnie.
Twierdzenie1
Normaeuklidesowaspełniareguł¦równoległoboku.
Dowód
:f=(a
1
,...,a
n
),g=(b
1
,...b
n
)
L=
X
|a
i
−b
i
|
2
+
X
|a
i
+b
i
|
2
=
=
X
(a
i
a
i
−a
i
b
i
−a
i
b
i
+b
i
b
i
+a
i
a
i
+a
i
b
i
+a
i
b
i
+b
i
b
i
)=
=2
X
(|a
i
|
2
+|b
i
|
2
)=2(kfk
2
+kgk
2
)
Definicja7
Funkcj¦
h·,·i:E×E!K
spełniaj¡c¡nast¦puj¡cewarunki
a)
8f2E hf,fi
>
0
,
hf,fi=0,f=0
b)
hf+g,hi=hf,hi+hg,hi
c)
haf,hi=ahf,hi8a2K
d)
hf,gi=hg,fi
nazywamyiloczynemskalarnym.Par¦
(E,h·,·i)
nazywamyprzestrzeni¡unitarn¡.
Twierdzenie2
(Nierówno±¢Schwarza).Niech
E
toprzestrze«unitarna.Wówczas
8f,g2E
zacho-
dzi
|hf,gi|
6
p
hf,fi
p
hg,gi
Dowód
:Je±lig=0,tohf,gi=08f
Niechg 6=0.Dla2Khf+g,f+gi
>
0
hf,fi+hg,fi+hf,gi+||
2
hg,gi
>
0
Podstawmy
=−
hg,fi
kgk
2
=−
hf,gi
kgk
2
=−
hf,gi
kgk
2
=−
hg,fi
kgk
2
Wtedy
hf,fi−
hf,gi
kgk
2
hf,gi−
hf,gi
kgk
2
hf,gi+
|hf,gi|
2
kgk
4
hg,gi
>
0
Mno»ymyobustronnieprzezkgk
2
kfk
2
kgk
2
−2|hf,gi|
2
+|hf,gi|
2
>
0
|hf,gi|
2
6
kfk
2
kgk
2
|hf,gi|
6
kfkkgk
2
Twierdzenie3
Je»eli
h·,·i
jestiloczynemskalarnym,tofunkcja
f!
p
hf,fi
jestnorm¡,któr¡
spełniareguł¦równoległoboku.Nazywamyj¡norm¡hilbertowsk¡.
Dowód
cz¦±ciowy
:a2K.Warunekc)
kafk=
p
haf,afi=
p
ahf,afi=
q
q
aahf,fi=
p
|a|
2
hf,fi=|a|kfk
ahaf,fi=
Warunektrójk¡ta:
Korzystaj¡cznierówno±ciSchwarzaotrzymujemy
kf+gk
2
=hf+g,f+gi=hf,fi+hf,gi+hg,fi+hg,gi
6
6
kfk
2
+2kfkkgk+kgk
2
=(kfk+kgk)
2
Warunekrównoległobokuwynikawprostzdefinicji.
Definicja8
Przestrze«unitarn¡izupełn¡nazywamyprzestrzeni¡Hilberta.
Przestrze«Hilbertaoznacza¢b¦dziemyH.
Uwaga
:K
n
ziloczynemskalarnymha,bi=
P
n
i=1
a
i
b
i
jestprzestrzeni¡Hilberta.
Przykład5
Przestrze«
E=C[0,1]
znorm¡
kfk
1
=sup
x2[0,1]
|f(x)|
niejestprzestrzeni¡Hilberta.
Przykład6
(
X
)
l
2
=
(a
n
):a
n
2C,
|a
n
|
2
<1
n=1
Wprowadzamystruktur¦przestrzeniliniowej
(a
n
)+(b
n
)=(a
n
+b
n
)
c(a
n
)=(ca
n
), c2C
Sprawdzamy,»esuma
(a
n
)+(b
n
)2l
2
1
X
|a
n
+b
n
|
2
6
1
X
2(|a
n
|
2
+|b
n
|
2
)=2
1
X
|a
n
|
2
+2
1
X
|b
n
|
2
<1
n=1
n=1
n=1
n=1
Definiujemy
X
h(a
n
),(b
n
)i=
a
n
b
n
n=1
2
(|a
n
|
2
+|b
n
|
2
)<1
wi¦cszereg
P
a
n
b
n
jestbezwzgl¦dniezbie»ny.Forma
h·,·i
spełniadefinicjeiloczynusklarnego,wi¦c
jestonailoczynemskalarnym.
Przestrze«
l
2
jestunitarna.
Szkicdowoduzupełno±ciprzestrzeni
l
2
1
X
1
X
1
|a
n
b
n
|=
|a
n
||b
n
|
6
n=1
n=1
n=1
t
k(a
n
)k=
p
h(a
n
),(a
n
)i=
X
1
|a
n
|
2
n=1
3
1
1
Poniewa»
1
X
Musimypokaza¢,»eje»elici¡g
(a
n
)
k
,
k2N
jestci¡giemCauchy’egotojestzbie»nydopewnego
elementu
(b
n
)2l
2
(a
n
)
k
=(a
k
1
,a
k
2
,...,a
k
n
,...)2l
2
8 >09N2N8k,l > N k(a
n
)
k
−(a
n
)
l
k<
1
X
|a
k
n
−a
l
n
|
2
<
2
n=1
8n2N, |a
k
n
−a
l
n
|<
Zzupełno±cizbioru
C
k!1
a
k
n
=b
n
Pozostajewykaza¢,»e
(b
n
)2l
2
oraz,»e
(a
n
)!(b
n
)
w
l
2
.
8n2N9b
n
:lim
Definicja9
Funkcj¦
f:R
k
!C
nazywamyrówn¡zeroprawiewsz¦dzie,je»elizachodzi
Z
R
k
|f(x)|
2
dx=0
Przykład7
Funkcja
f:R!R
f(x)=
(
0
dla
x2R\Z
1
dla
x2Z
jestrównazeroprawiewsz¦dzie.
Przykład8
Z
L
2
(R
k
)=
f:R
k
!C:
R
k
|f(x)|
2
dx <1
gdzie
x=(x
1
,...,x
k
)
,
dx=dx
1
...dx
k
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(cf)(x)=cf(x), c2C
k
)
jestprzestrzeni¡wektorow¡.
Wprowadzamyform¦półtoraliniow¡
Z
hf,gi=
R
k
f(x)g(x)dx.
Poniewa»
Z
f(x)g(x)
dx
6
1
2
Z
|f(x)|
2
+|g(x)|
2
dx <1
R
k
R
k
wi¦cfunkcja
f(x)g(x)
jestbezwzgl¦dniacałkowalna.
Sprawdzamywłasno±ciiloczynuskalarnego
Z
hf,fi=
R
k
|f(x)|
2
dx
>
0
< f,f >=0,f=0
prawiewsz¦dzie
4
Zpowy»szymidziałaniami
L
2
(R
[ Pobierz całość w formacie PDF ]