ZAD 2 z odp, Informatyka Studia WAT WIT POLITECHNIKA, Semestr II 2015, PMI
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Zadania z PM II 2010-2011A. Strojnowskistr.1Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematykiseria 2Zadanie 1wzorem:a)b)c)d)e)NiechgdyA={1,2, 3, 4}za±T⊂A×Ab¦dzie relacj¡ okre±lon¡(a,b)∈T,∃n∈Na·n=b.Ile elementów maT?CzyTjest relacj¡ porz¡dku?CzyTjest relacj¡ równowa»no±ci?CzyTjest funkcj¡?Opisz tak¡ relacj¦P,»eT⊂PiPjestrelacj¡ liniowego porz¡dku.Zadanie 2a)Sprawd¹, »e nast¦puj¡ce relacje s¡ porz¡dkami na zbiorze liczbDla ka»dej relacji narysuj diagram Hassego i wyz-{1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.T1={(x,y)b)T2={(x,y)c)T3={(x,y)d)T4={(x,y)nacz elementy minimalne, maksymalne najwi¦ksze i najmniejsze.|(x< y−1)∨(x =y)}|(x> y2)∨(x =y)}|(x≥2y)∨(x =y)}|(∃n∈Nx·3n =y)∨(x =y)}Nwprowadzamy relacj¦Zadanie 3Sprawd¹ czyNa zbiorze liczb naturalnychgdyτ:(a,b)∈τ,a < b+ 2.τjest relacj¡:a) symetryczn¡b) antysymetryczn¡c) przechodni¡.Zadanie 4τ:(a,b)∈Na zbiorze liczb naturalnychτ, gdya=b2.Nwprowadzamy relacj¦Sprawd¹ czyτjest relacj¡:a) symetryczn¡b) antysymetryczn¡c) przechodni¡.Zadanie 5a)Zbadaj, które z nast¦puj¡cych relacji s¡ zwrotne, symetryczne, an-tysymetryczne lub przechodnie:T1={(x,y)∈R×R;b)T2={(x,y)∈R×R;c)T3={(x,y)∈R×R;d)T4={(x,y)∈R×R;x≤y}x≤2y}x+y≤0}y=x2}gdzieZadanie 6R+= (0, +∞)za±Ti⊂R×R.T1={(x,y)∈R+×R+;y2(1 +x2) = 1}T2={(x,y)∈R×R+;y2(1 +x2) = 1}T3={(x,y)∈R+×R; y2(1 +x2) = 1}NiechZadania z PM II 2010-2011A. Strojnowskistr.2T4={(x,y)∈R×R; y2(1 +x2) = 1}a) Które z tych relacji s¡ funkcjami?b) Wypisz wszystkie inkluzje mi¦dzy tymi relacjami.Zadanie 7a)d)NiechQQ−1KK−1Q={(x,y);x2+y2= 1}.b)Q ◦ Qc)Q ◦ Q ◦ Q−1e)Q ◦ Q.Narysuj wykresy relacji:Zadanie 8a)d)NiechK={(x,y);x2+y2≤1}.b)K ◦ Kc)K ◦ K ◦ K.−1e)K ◦ K.Narysuj wykresy relacji:Zadanie 9a)b)f(x) = 2x2+x−2,g(x) = 2−3x.Wypiszf◦gig◦f.Rozwi¡» równanief◦g(x) =g◦f(x).NiechJako uniwersum rozpatrujemy zbiórZadanie 10Kzªo»ony z ksi¡»ek w bib-liotece WSISIZ.Rozpatrujemy form¦ zdaniow¡:w(x,y)=ksi¡»kaxma mniej stronT={(x,y)∈K×K; w(x,y)}a) Relacjani» ksi¡»kay.Stosuj¡c kwantykatory zapisz nast¦puj¡ce zdania:Tjest antysymetryczna .b) Istnieje ksi¡»ka o najmniejszej liczbie stron.Nast¦puj¡ce zdania przetªumacz na j¦zyk potoczny:c)d)e)∀z∃x¬w(x,z) .∃x∃y¬w(y,x)∧ ¬w(x,y)∧x=y.Sprawd¹, czyTjest relacj¡ porz¡dku.Które z nast¦puj¡cych relacji okre±lonych na zbiorze liczba która relacj¡ równowa»no±ci:Zadanie 11caªkowitychZjest relacj¡ porz¡dku3a)m τ n≡n≥m,44b)m τ n≡n−m=n−m,3c)m τ n≡n≥m∨n=m.NiechZadanie 12σ⊂Q×Qb¦dzie relacj¡ okre±lon¡σ={(x,y)∈Q×Q|x2=y2}a) Sprawd¹, »eσjest relacj¡ równowa»no±ci.b) Wypisz wszystkie 1 elementowe klasy abstrakcji.Znajd¹ relacj¦wzorem:Zadanie 13a)τa zbiorzeAliczb naturalnych mi¦dzy 1 a 100speªniaj¡c¡ warunki:τma 4 klasy abstrakcji.b) Ka»da klasa abstrakcjic) Ka»da klasa abstrakcjid)ττma 4 elementy.ma 3 elementy.τma 3 klasy abstrakcji.Zadania z PM II 2010-2011A. Strojnowskistr.3Zadanie 14(a,b)∈τSprawd¹ czyNa zbiorze liczb naturalnych≡a=b2.Nwprowadzamy relacj¦τ:τjest relacj¡:a) symetryczn¡b) antysymetryczn¡c) przechodni¡.Zadanie 15a) Znajd¹b) OpiszNiechA= [0, 1)iB= (2, 5].bijekcj¦f:A→B.f−1.NiechZadanie 16a) Znajd¹b) OpiszA= [2, 4)iB= [1,∞).bijekcj¦f:A→B.okre±lona wzorem:f−1.Niech2Zadanie 17f:R→Rb¦dziex−2dla x <−1f(x) =−3 −2xdla x≥ −1a) Naszkicuj wykresf.b) Wypiszf◦f.−1c) Znajd¹f.NiechZadanie 18f(x) =x2−6x + 10dla x <26−2xdla x≥2a) Sprawd¹, »efjest funkcj¡ malej¡c¡.−1b) Znajd¹f.c)Znajd¹f◦f.okre±lona wzorem:Zadanie 19f:R→Rb¦dzie2x + 1dla x≤ −1f(x) =x2+ 2xdla x >−1a) Naszkicuj wykresf.b) Wypiszf◦f.−1c) Znajd¹f.NiechNiechf−2)2.Zadanie 20f(x) = (x:R→Rb¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ wzorem:a) narysuj wykres relacji odwrotnej−1b) zbadaj czyfjest funkcj¡.c) opisz obraz odcinkaf−1dof.f.f.(0; 5)przy przeksztaªceniud) opisz przeciwobraz odcinka(0; 1)przy przeksztaªceniuZadanie 21(1; 4)naa) Znajd¹ funkcj¦ ró»nowarto±ciow¡ przeprowadzaj¡c¡ odcinek(1; 3).f(2) = 2b) Czy istnieje funkcja speªniaj¡ca dodatkowo warunekZadania z PM II 2010-2011A. Strojnowskistr.4Zadanie 22a)b)A={1,2, 3, 4, 5, 6, 7}Ile jest podzbiorówAzawieraj¡cych2, 3i5?Ile jest permutacji zbioruAnie poruszaj¡cych2. NiechNiechani3?Zadanie 231 2 3 4 5 6 72 1 4 3 6 7 51 2 3 4 5 6 7h=6 4 1 3 7 2 5b¦d¡ elementami grupyS7a) Przedstawgihw postaci iloczynów cyklib) Oblicz rz¦dy elementów:g,high,c) Zbadaj parzysto±¢ permutacjig,high,g=rozª¡cznych,d) Przedstaw w postaci iloczynów cykli rozª¡cznych permutacjeg−1,g2ig3.Znajd¹ o ile to mo»liwe permutacje zbioru 9-cio elementowego,Zadanie 24które s¡ rz¦du:a) 9, b) 13, c) 14, d) 15, e) 16.Rozwi¡zaniaZadanie 1T={(1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}wi¦c|T |= 8.b) Tak. T jest zwrotna bo{(1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}∈T.T jest antysymetryczna bo(a,b)∈T∧(b,a)∈T⇒ ∃m,n∈Nam=b∧bn=a⇒abmn=ab⇒mn= 1⇒m= 1⇒a=b.T jest przechodnia bo(a,b)∈T∧(b,c)∈T⇒ ∃m,n∈Nam=b∧bn=c⇒amn=c⇒(a,c)∈T.a)c) T nie jest relacj¡ równowa»no±ci gdy» nie jest symetryczna(1, 2)∈T∧(2, 1)∈T.d) T nie jest funkcj¡ gdy»Zadanie 2(1, 2)∈T∧(1, 1)∈T.e) np.P={(1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}(x =y).x≤y−1.y≤x−1x+y≤y+x−2zatema) Zwrotno±¢ wynika z warunkuAntysymetria: Niech(x,y)∈T1∧(y,x)∈T1∧x=y. WtedySumuj¡c nierówno±ci otrzymujemy sprzeczno±¢:(x,y)∈T1∧(y,x)∈T1⇒x=y.Przechodnio±¢: Niech(x,y)∈T1∧(y,z)∈T1.1Je»elix=yto(y,z)= (y,z)∈T1.2Je»eliy=zto(y,z)= (x,y)∈T1.x≤y−13Je»elix=y∧y=zto. St¡d otrzymujemyx≤y−1≤y≤z−1z−2< z−1. Zatemx≤z−1i(y,z)= (x,y)∈T1.Elementami minimalnymi s¡ 1 i 2 za± maksymalnymi 9 i 10. Nie ma ele-mentów najmniejszych i najwi¦kszych.Zadania z PM II 2010-2011A. Strojnowskistr.5Rysunek 1: Diagramy Hassego do zadania 2Zadanie 3a)τb)τn < n+ 2.nie jest antysymetryczna bo4<3+2∧3<4+2⇒(4, 3)∈τ∧(3,4)∈przechodnia bojest symetryczna bo zawszeτ.c)aleZadanie 4a) Nie jestτnie jest(4, 2)∈τ.4<3 + 2∧3<2 + 2⇒(4, 3)∈τ∧(3, 2)∈τZadanie 5a)(2, 4)∈τale(4, 2)∈τ.b) Nie jest(1, 4)∈τi(4, 1)∈τ.c) Nie jest(4, 1)∈τi(1, 2)∈τale(4, 2)∈τ.T1jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia, nie jest symetryczna.b)T2nie jest zwrotna(−1,−1) ∈T2, nie jest symetryczna(−2,−1) ∈T2ale(−1,−2) ∈T2, nie jest antysymetryczna(2, 1)∈T2i(1, 2)∈T2, nie jestprzechodnia(4, 2)∈T2i(2, 1)∈T2ale(4, 1)∈T2.c)T3nie jest zwrotna(2, 2)∈T3, jest symetryczna box+y=y+x,nie jest antysymetryczna(−2, 1)∈T3i(1,−2) ∈T3, nie jest przechodnia(4,−5) ∈T3i(−5, 4)∈T3ale(4, 4)∈T2.d)T4nie jest zwrotna(−1,−1) ∈T4, nie jest symetryczna bo(2, 4)∈T2ale(4, 2)∈T2, jest antysymetryczna bo:y=x2ix=y2y=y4 [ Pobierz całość w formacie PDF ]