ZADANIA MACIERZE, Matematyka Studia, Matematyka budownictwo
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Algebra z geometria analityczna
MAP1015, MAP1016, MAP1017
Zadania dodatkowe (utrwalajace)
Zadania z list dodatkowych zawieraja gÃlownie zadania rachunkowe, uÃlatwiajace utrwalenie materiaÃlu poznanego
na wykÃladzie. Sa one o roznym stopniu trudnosci. Do zadan doÃlaczone sa odpowiedzi.
Niektore z ponizszych zadan sa mojego autorstwa, wiekszosc jednak jest zaczerpnieta lub wzorowana na
zadaniach ze zbiorow zadan cytowanych na listach podstawowych. Zadania z plusem wykraczaja nieznacznie
poza obowiazujacy program. Zadania z gwiazdka obowiazuja na WydziaÃlach: Elektrycznym, Elektroniki
oraz Elektroniki Mikrosystemow i Fotoniki.
Wies
Ãl
aw Dudek
Uwaga. Nadal obowiazuja listy podstawowe i uzupeÃlniajace, opracowane przez prof. Krystyne Zietak.
Macierze
1. Obliczyc podane iloczyny macierzy:
2
4
3
5
;
b)
·
1 2 3
2
¡
1
¡
1
¸
2
¡
3 0
¡
1 4
¡
2
3
¡
1 1
·
111
102
¸
T
·
123
012
¸
a)
¢
¢
;
2
4
3
¡
4
¡
5
2
¡
3
¡
3
3
¡
5
¡
1
3
5
¢
2
4
329
218
0 3
3
5
;
d)
·
1111
1230
¸
¢
£
0123
¤
T
:
c)
·
1 1 2
0 2
¡
1
¸
·
231
210
¸
2. Dla macierzy
A
=
oraz
B
=
obliczyc (o ile to mozliwe) podane wyrazenia:
a)2
A¡B;
b)
AB;
c)
AB
T
;
d)
A
T
B;
e)
A
3
;
f)(
B
T
A
)
2
;
g)
A
+
B¡I:
·
1234
1012
¸
2
6
6
4
34
13
02
11
3
7
7
5
:
3. Obliczyc
AB
i
BA
dla macierzy:
A
=
;B
=
·
0
¡
1 1
2 1
¡
2
¸
4. Obliczyc
B
=
AA
T
¡
4
I
oraz
C
=
A
T
A¡
4
I;
gdzie
A
=
, a
I
jest macierza
jednostkowa.
2
100
020
003
3
5. Wyznaczyc wszystkie macierze przemienne z macierza
4
5
:
6. Uzasadnic, ze iloczyn macierzy diagonalnych jest macierza diagonalna. Czy iloczyn macierzy trojkatnych
gornych jest macierza trojkatna gorna?
7. Obliczyc
B
13
+
B
dla macierzy:
2
6
4
1
2
p
3
2
3
7
5
;
b)
2
011
001
001
3
2
101
010
000
3
a)
p
3
2
1
2
4
5
;
c)
4
5
:
¡
8. Znalezc macierz rzeczywista
X
speÃlniajaca rownanie:
·
10
54
¸
·
00
00
¸
·
01
10
¸
a)2
X¡
3
X
T
=
;
b)
X
+
X
T
=
;
c)
XX
T
=
;
·
01
11
¸
·
36
12
¸
·
11
¡
1 0
02 1
¡
2
¸
;
e)
¡
AA
T
¢
X
=
d)
XX
T
=
;
gdzie
A
=
:
2
9. Rozwiazac ponizsze rownania macierzowe:
·
101
212
¸
·
1
1
¸
·
21
20
¸
·
21
31
¸
·
2912
14 6
¸
a)
¢X
=
;
b)
¢X¢
=
;
2
3
2
3
·
000
123
¸
02
02
21
12
11
01
£
123
¤
c)
X
T
¢
=
;
d)
X
+
4
5
=2
X¡
4
5
;
2
3
2
3
2
3
111
122
122
0 5 0
¡
5 0
¡
3
¡
4
¡
3
¡
3
003
208
455
e)
4
5
¢X
+
4
5
=
4
5
:
10. Wyznaczyc macierze
X
i
Y
speÃlniajace rownanie
XA
=
I
+
Y
wiedzac, ze dwie pierwsze kolumny
macierzy
Y
skÃladaja sie z samych zer, macierz
I
jest macierza jednostkowa odpowiedniego wymiaru oraz
·
1
¡
11
0 23
¸
A
=
:
11. Znalezc wszystkie macierze rzeczywiste
X
speÃlniajace warunek:
·
11
01
¸
·
40
11
¸
·
¡
1 1
0
¡
1
¸
a)
X
2
=
;
b)
X
2
=
;
c)
X
2
=
:
12. Znalezc wszystkie macierze trojkatne gorne stopnia dwa speÃlniajace warunek
A
3
=0.
13. Znalezc wzor na
n
ta potege macierzy:
2
3
2
3
·
11
01
¸
101
010
101
cos
x
sin
x
0
¡
sin
x
cos
x
0
0 0 1
a)
A
=
;
b)
B
=
4
5
;
c)
C
=
4
5
:
14. Macierz
A
speÃlniajaca warunek
A
=
¡A
T
nazywamy macierza antysymetryczna (lub skosnie symetryczna).
Podac przykÃlady takich macierzy. Co mozna powiedziec o elementach zerowych wystepujacych w tych
macierzach?
15. O macierzach
B
=[
b
ij
] i
X
wiadomo jedynie, ze
X
jest antysymetryczna oraz
b
11
=3,
b
12
=1,
b
31
=
·
21
¡
1
01 1
¸
¡
2
:
Czy na tej podstawie mozna rozwiazac rownanie (
AX
)
T
=
B
+
A
T
;
gdzie
A
=
?
16. Niech
A
bedzie dowolna macierza kwadratowa. Pokazac, ze macierz
B
=
A
+
A
T
jest symetryczna, a
macierz
C
=
A¡A
T
antysymetryczna.
17. Ponizsza macierz przedstawic jako sume macierzy symetrycznej i antysymetrycznej
2
4
3
5
.
123
450
211
Czy kazda macierz kwadratowa mozna przedstawic jako sume macierzy symetrycznej i antysymetrycznej?
18. Znalezc wszystkie macierze trojkatne gorne (dolne)
A
stopnia2speÃlniajace warunek
AA
T
=
I
.
·
111
011
¸
19. Rozwiazac rownanie
AX
=
I
, gdzie
A
=
. Czy
X
=
A
¡
1
? Obliczyc
XA
.
20
+
:
Wyznaczanie macierzy odwrotnej
A
¡
1
metoda przeksztaÃlcen elementarnych (metoda bezwyznacznikowa)
polega na wykonywaniu takich elementarnych operacji na wierszach macierzy[
A;I
], by otrzymac macierz
postaci[
I;X
]. Wowczas otrzymana macierz
X
bedzie macierza odwrotna do macierzy
A
. Jesli w trakcie
wykonywania przeksztaÃlcen elementarnych okaze sie, ze otrzymanie macierzy [
I;X
] nie jest mozliwe,
to macierz
A
¡
1
nie istnieje. Zastosowac powyzsza metode do wyznaczenia macierzy odwrotnych do
nastepujacych macierzy:
2
3
2
3
2
3
2
3
1231
1011
3141
0112
1
¡
24
01
¡
2
001
0
¡
11
¡
12
¡
1
2
¡
10
¡
531
2
¡
4
¡
1
051
A
=
4
5
; B
=
4
5
; C
=
4
5
; D
=
6
6
4
7
7
5
:
3
Czy wszystkie macierze odwrotne istnieja?
21. Obliczyc macierz
1
2
C
¡
1
D
T
dla
2
3
2
3
1
¡
1 1 0
1 1
¡
1 0
¡
1 1 1 0
0 0 0 1
2 0 0
¡
1
1181817
2 0 0 1
4 0 0 2
C
=
6
6
4
7
7
5
; D
=
6
6
4
7
7
5
:
22. Rozwiazac ponizsze rownania macierzowe:
·
21
01
¸
·
21
01
¸
¡
1
·
14
22
¸
a)
¢X¢
=
;
·
34
11
¸
¡
1
·
34
11
¸
·
01
00
¸
b)
¢X¢
=
;
2
3
2
3
2
3
1
¡
4
¡
3
1
¡
5
¡
3
¡
1 6
¡
4
¡
1
1
¡
4
¡
3
1
¡
5
¡
3
¡
1 6
¡
4
¡
1
51617
¡
2 3 1
4 0 3
c)
4
5
¢X¢
4
5
=
4
5
:
Wyznaczniki
1. Obliczyc wyznaczniki:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a)
123
450
600
;
b)
102
030
205
;
c)
111
123
256
:
2. Czy rownosc
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 1
1 0
e
x
1
e
¡x
0
sin
x
cos
x
=
¡
cos
x
sin
x
jest prawdziwa? Jesli tak, to dla jakiego
x
?
3. Obliczyc dane wyznaczniki, stosujac rozwiniecie Laplace’a:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0123
1230
2300
3001
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
;
b)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0087
0065
4300
2100
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
;
c)
040201
501206
432110
201100
020030
010060
;
d)
261320
020130
201011
220046
005111
592484
:
4. Obliczyc wyznacznik macierzy
C
=
AB
oraz
D
=
AB
T
, gdzie
2
6
6
4
3
7
7
5
; B
=
2
6
6
4
3
7
7
5
:
12
3
4
01
p
2
p
3
1 0 0 0
2
1
0 0
5
A
=
00 1
p
7
00 0 5
p
5
5
0
7 8
p
84
5. Obliczyc ponizsze wyznaczniki, wykonujac przeksztaÃlcenia elementarne na wierszach i kolumnach:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a)
1 1 1 1 1
¡
1 0 1 1 1
¡
1
¡
1 0 1 1
¡
1
¡
1
¡
1 0 1
¡
1
¡
1
¡
1
¡
1 0
;
b)
01111
12333
13233
13323
13332
:
6. Stosujac przeksztaÃlcenia elementarne na wierszach lub kolumnach, przeksztaÃlcic dane wyznaczniki do
postaci trojkatnej i nastepnie obliczyc ich wartosc:
 4
a)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¡
1 2 3 4 1
1
¡
1 3 4 2
1 2
¡
1 4 3
1 2 3
¡
1 4
1 2 3 4
¡
1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
;
b)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
01111
10111
11011
11101
11110
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
:
7. Obliczyc wyznacznik macierzy
A
=[
a
ij
] stopnia6o elementach
a
ij
okreslonych wzorem
½
x
dla
i
6
j
y
dla
i>j
:
a
ij
=
8. Niech macierze
A
,
B
,
C
beda macierzami kwadratowymi czwartego stopnia takimi, zedet
A
=128,
det
B
=4,det
C
=2
:
Obliczyc:
a) det(2
BC
T
)
;
b) det((
A
¡
1
B
)
T
(2
C
))
¡
1
.
9. Czy istnieje nieosobliwa macierz
A
stopnia 3 taka, ze
A
=
¡A
T
? A czy moze istniec taka macierz
nieosobliwa
A
dowolnego stopnia
n
?
10. Wiadomo, ze liczby1798,2139,3255,4867sa podzielne przez31. Bez obliczania wyznacznika wykazac,
ze wyznacznik
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1798
2139
3255
4867
dzieli sie przez31.
11. Elementami macierzy kwadratowej piatego stopnia sa liczby0i1rozmieszczone w taki sposob, ze w
kazdym wierszu wystepuja dokÃladnie trzy jedynki. Wykazac, ze wyznacznik tej macierzy dzieli sie przez
trzy.
12. Wykazac, ze macierze
A
oraz
B
=
S
¡
1
AS
maja takie same wyznaczniki. Czy z rownosci
SB
=
AS
wynika rownoscdet
A
=det
B
? Uzasadnic odpowiedz.
13. Jakie sa mozliwe wartosci wyznacznika macierzy
X
speÃlniajacej rownanie macierzowe
X
2
¡X
T
=0
:
Podac odpowiednie przykÃlady.
14. Udowodnic nastepujace rownosci:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a)
a
1
+
b
1
a
2
+
b
2
a
3
+
b
3
b
1
+
c
1
b
2
+
c
2
b
3
+
c
3
a
1
+
c
1
a
2
+
c
2
a
3
+
c
3
=2
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
c
3
;
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b)
a
1
+
b
1
xa
2
+
b
2
xa
3
+
b
3
x
a
1
¡b
1
xa
2
¡b
2
xa
3
¡b
3
x
c
1
c
2
c
3
=
¡
2
x
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
c
3
:
15. Wykorzystujac wÃlasnosci wyznacznikow, wykazac, ze nastepujace wyznaczniki sa rowne zeru:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 1
a b c
b
+
ca
+
ca
+
b
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
;
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
2
b
2
c
2
d
2
(
a
+1)
2
(
b
+1)
2
(
c
+1)
2
(
d
+1)
2
(
a
+2)
2
(
b
+2)
2
(
c
+2)
2
(
d
+2)
2
(
a
+3)
2
(
b
+3)
2
(
c
+3)
2
(
d
+3)
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
:
16. Podac warunki, jakie musza speÃlniac liczby
x;y2R
, by istniaÃly macierze odwrotne do danych macierzy:
2
6
6
4
3
7
7
5
:
·
cos
x e
x
e
¡x
cos
x
¸
2
x
0
y
010
y
0
x
3
0
x
0
x
x
0
x
1
0
x
1
x
x
1
x
1
a)
;
b)
4
5
;
c)
17. Niech macierz
A
bedzie odwracalna. Czy rownania
AX
=
B
oraz
YA
=
B
maja takie same
rozwiazania? Wyznaczajac odpowiednie macierze odwrotne, rozwiazac te rownania dla:
5
2
21 0
10
¡
1
12 2
3
2
171
230
¡
251
3
A
=
4
5
; B
=
4
5
:
18. Za pomoca macierzy doÃlaczonej dopeÃlnien algebraicznych wyznaczyc macierze odwrotne do macierzy:
2
3
2
3
2
3
2
3
32 12
75 25
00 94
00115
3 3
¡
4
¡
3
0 6 1 1
5 4 2 1
2 3 3 2
3214
¡
1
2 1 0
2511
¡
1
202
314
426
a)
4
5
;
b)
4
5
;
c)
6
6
4
7
7
5
;
d)
6
6
4
7
7
5
:
19
+
Podac wartosci parametru
x2R
, dla ktorych wyznaczniki macierzy
A
=[
a
ij
]stopnia
n
>4sa rowne
zero, gdzie
8
<
½
i
dla
i
=
j<n
x
dlapozostalych
;
b)
a
ij
=
x
dla
i
=
j
j¡
1dla
i<j
j
dla
i>j
a)
a
ij
=
:
:
20
+
Obliczyc wyznacznik macierzy
A
=[
a
ij
] stopnia
n
>4, gdzie
½
0dla
i
=
j
>2
1dlapozostalych
;
b)
a
ij
=
i¢j
2
;
a)
a
ij
=
8
>
>
<
8
<
1dla
ji¡jj
=1
2dla
i
=
j
0dlapozostalych
i
dla
i
=
j
j
dla
i
=1
¡i
dla
j
=1
;i
>2
0dlapozostalych
c)
a
ij
=
:
;
d)
a
ij
=
>
>
:
21
+
Udowodnic nastepujace wzory dla wyznacznikow
U
n
;W
n
;V
n
stopnia
n
>2:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a)
U
n
=
530
:::
00
253
:::
00
025
:::
00
. . .
.
.
.
. .
000
:::
53
000
:::
25
=3
n
+1
¡
2
n
+1
,
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b)
W
n
=
111
:::
1 1
122
:::
2 2
123
:::
3 3
. . .
.
.
.
. .
123
:::n¡
1
n¡
1
123
:::n¡
1
n
=1,
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
c)
V
n
=
a¡b
0
:::
0 0
0
a¡b :::
0 0
0 0
a:::
0 0
. . .
.
.
.
. .
0 0 0
:::a¡b
¡b
0 0
:::
0
a
=
a
n
¡b
n
.
UkÃlady rownan liniowych
1. Rozwiazac dane ukÃlady rownan liniowych niejednorodnych metoda Gaussa:
8
<
8
<
2
x¡
3
y¡
4
z
=
¡
6
¡x
+
y
+
z
=
¡
2
3
x
+
y
+5
z
=2
4
x
+3
y
+
z
=8
2
x¡
2
y¡
3
z
=
¡
3
¡
2
x
+15
y
+16
z
=29
a)
:
b)
:
8
>
>
<
8
>
>
<
x¡y¡z
=1
3
x
+4
y¡
2
z
=
¡
1
3
x¡
2
y¡
2
z
=1
x¡
3
y
+3
z
=
¡
1
15
x
1
+12
x
3
¡
3
x
3
¡x
4
=14
7
x
1
+12
x
2
+4
x
3
+
x
4
=8
12
x
1
¡
3
x
3
+2
x
4
=14
¡
10
x
2
+
x
3
+4
x
4
=4
c)
>
>
:
d)
>
>
:
[ Pobierz całość w formacie PDF ]