Zadania przyg z Podstaw.I kolokwium 2009, Ubik - Materiały, Semestr II, Podstawy Matematyki, underwat, PMI, Koras - ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1.Zapisa¢symbolicznienast¦puj¡cezdania:
(a)Liczba
a
jestnaturalnaijestpodzielnaprzez3orazwdzieleniuprzez4dajereszt¦
1.
(b)Jedynymiliczbamiwymiernymispełniaj¡cymirównanie2
x
4
−
3
x
3
+3
x
2
−
3
x
+1=0
s¡liczby1i
1
2
.(Czytojestzdanieprawdziwe?).
(c)Ci¡g(
a
n
)jestodpewnegomiejscastały.
2.Napisa¢popolskucowyra»aj¡nast¦puj¡cezdania.
(a)(
a
2
R
^|
a
|
=2)
)
a
=2
_−
2Czytojestzdanieprawdziwe?
(b)
z
2
C
^|
z
|
=1
)
z
=1
_
z
=
−
1Prawda?
(c)((
9
M
2
R
8
n
2
N
a
n
<M
)
^8
n
2
N
a
n
¬
a
n
+1
)
)9
g
lima
n
=
g
.Prawda?
3.Dlajakich
x
2
R
s¡prawdziwezdania?
(a)
8
y
2
R
x
+
y
¬
xy
(b)
9
y
2
R
x
+
y
¬
xy
(c)
9
y
2
R
(
x
+
y
)
2
+(
x
−
y
)
2
=0.
(d)
8
x
2
R
9
z
2
R
x
+
y
+
z
6
=0.
Napisa¢zaprzeczeniatychzda«.
4.Udowodni¢metod¡indukcji
(a)1
2
+3
2
+5
2
+
···
+(2
n
−
1)
2
=
n
2
(2
n
2
−
1)dlawszystkich
n
2
N
.
(b)Dlaka»dejliczbynaturalnej
n
liczba
n
3
+5
n
dzielisi¦przez120.
(c)Dlajakich
n
prawdziwajestnierówno±¢2
n
>n
2
+3
n
.Sformułowa¢hipotez¦i
udowodni¢metod¡indukcji.
4.Oceni¢prawdziwo±¢nast¦puj¡cychzda«.
(a)
9
x
2
R
9
y
2
R
9
z
2
R
x
+
y
+
z
=1
.
(b)
9
x
2
R
8
y
2
R
9
z
2
R
x
+
y
+
z
=1
.
(c)
8
x
2
R
9
y
2
R
9
z
2
R
x
+
y
+
z
=1
.
5.Rozstrzygn¡¢(i)przypomocyfunkcjicharakterystycznych,(ii)przekształcaj¡cnaod-
powiedniezdanialogiczne,czydladowolnychzbiorów
A,B,C
s¡prawdziwenast¦puj¡ce
relacje.Je±linietopoda¢odpowiednikonkretnyprzykład.
(a)
A
[
(
A
\
B
)=
A.
(b)
A
\
(
A
[
B
)=
B.
(c)(
A
\
B
)
[
(
C
\
B
)=
B.
(d)(
A
[
B
)
−
C
(
A
−
C
)
[
B.
6.Niech
X
=
{
x
2
R
:2
<x
¬
7
}
,Y
=
{
x
2
R
:
−
1
¬
x<
5
}
.Wyznaczy¢:
X
[
Y,X
\
Y,X
−
Y,X
÷
Y
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]