zadania, rownania czastkowe
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->ROWNANIAROZNICZKOVVECZASTKOWELISTA1szego rzędu:Zadanie1.lVyznaczy-ć rozlvia?alriaogólne,l--róu-nańróżniczkowychcza.stkowychpierw-)/---]_,,a,,0r,"0a-r,-":. .0u0uEu(r-:)^ *(y-r)^ *2:|:g.otouO:_f-_p--0zOzzOu,Ouy*-0yZadanie,Znileźćogólnapostaćrozlviag,aniarórlnaniau,-uy:f(r,y).Zadanie3.ZnaLeźćtozlviąariiaspełniajacedodatkorvewarunki.0z.0zz:y2 dia J:0,a'6rłta^:x,0zt,,2 Ł-Lł-_)t,-_*2---]cila*0x_0:;i0x0u 0u0u*2o :0.oCIyOzu:y:cilaJ:1,'raaT9 l!:L.a* :2rai" o!przechoclza.caZadanie4.Znaleźć porvierzchnie spełniajaca'rólvnaniełTotDtZeZkrZ_v*rvall : I, : : Z2+Zadarrie 5.Pokazać. żejezelidane począikorvedlarórvnaniaa(x..0za)ń-b(ł,!)Ę0:=c(t.y.:):sazadane nacharaktervstyce,toalbonieistniejeżadlerozrviazanie, albojestnieskończeniewielerozłviag,ań(jak.',vooprzednim zadaniu).Zadanie6.Wyjasnićdlaczegonie istniejerozrviazanie rórvnania liniowegou,*uyptzechodzące przez prostac: t,a: t, u:l.Zadanie7.Udorvodnić.żerozwia?anierównaniaouasiliniorvegout*a(u)ue:ukiempoczatkorv_vmu(c.0):h(x)w niejarvnysposób mozebyćzadanejakou:h(u-a(u)t\. Jeżeli a(Ą(s))niejestniemaleja.ca.funkcja argumentu s,touprzestaje:bl.ć dobrze okreśioaedlapewnegol) 0.Rozwiąąać równa:rie:0 zwarun-Zadanie 8.(Iiustracja dow1.nikuzpoprzedniegozadania.)Lr,1,7tJ117:z warunkiem poczaikowl,mu(-r,0)Zadanie 9.Pokazać, żeogó7aerozwiag,anie rórvnanjaT-*ą9ą:-"exp(1-"').0uox-l,-0uou_ iljestpostaciu(r,y):,f@a).Zna\eźćrozrviazanie, któregorvykreszartieraprosta71,::t:y.Zna\eźćrozwią,zanie,którena krzyrvejy:Ijesirówne1.Zadanie1O. Określićtyprów,naniaał=Yarr,y-W*:*:U,,Zadanie11.Pokazać,żerórvnanie(liniorve, zestałymirvspólczynnikami,)uru02u02u 02u02u*au,łbuo*cu:0u(c,y)exp(-bcsprorvadzasieprzez zamiane zmiennychu(r,a):-ay)dou,ył(c-ab)u:0..Zadanie]_2.Zbadać,czypowierzchniex2+y2*z2:I,xsącharakterystycznedla rórvnaniaur,łuxc-2u.:g.)-a.0,y0.)0;rt2z-y:QZadanie13.Znaleźćrozlvia{,anieogólne rón-naniaurulau,'zadanie]-4. sprorvadzićdopostacika:ronicznejrólvnanieutt*)uta2ur"ł2uro*6u."-Rozlyia.zać(użyrva.jacrvzorówd'Alemberta)nastepujacezagadnienie dlarórvnaniafalorvego,tlft:uxxżv,Ialunkamiu:h,* -gzadany-mina prostejt:kx(,ł >0,ujestwektoremnori-na]nlrndo tejprostej).Zbadaćprzypa<iekk:L(zagadnienie Goursata).Zadanie15.oZadanie16.Udowodnić,zelaplasjan'+... +$jestniezmienntczyzelvzgledudti '^:nalinioweortogonalnetra,nsformacje zmierurychr1,...,xn.*driuZadanie 17.Pokazać.żejeżeliĄu:/wpelvnym obszałze§lCR",toprzekszta]cenieKelvina funkcjiuzdefiniow-anelvzoremu(c):|x|2-"u(rl|z|2) dla,llr|2 €f)spełnia:-^-')./lla\rolvna_nleĄu(.rJ:lxl-''--Jlxllż'')-ó październikai998Piotr Biier.ś-R}\,VI{ANIAR)ZNICZI{OTVECZASTKOryE,IIIROKLISTA2^,,IATENIATYKIdla funkcjiharnroniczn,vchlvpro-stoka,cie(0,a)x(0.ó)1i}ujr:o: ttir:ó:0.tlr:o:_łsirlf.ulr-o:Bsin #:(ii)ul,:":uly:o:lt]r:b:0,u,(0,y)+,\tr(0,a):gfu),y€(0.ó).Zadarrie2.Rozr,viązaćzagadnieirie Diric}rletadlarór,vnaniaLapiace'aAtl:(lvea"u,10u132u,d'll.rvspółrzeclnvchbiegunorr-r,ch**ł#+ż#*ź6F :0)rvpierścieniu{B,<,:(,r'ły':'1l1zaRz} zrvarunkamibrzego,,vvmiu(fii,0):slęa\, u(Rz,0):g2G),Wsk.uzYĆ szeregówFouriera.tzn.metody rozdzielaniaznrienny,c}r.podobniejakłvPrzrvPadkukoła.Conalezyzmodyfikoł,,.aćlvotrzymanvchrvzorach(ijakieprz.rjaćłvarunkibrzegołve).,vprzvpadkach granicznvch:Rl :0albofiz:,:c'?Zadanie3.Spralvdzić, zetoz,,viązaniezaladnieniaDirichletaclla równania Laplace'aAu:0wkuii Ba(O)C]R" zrvarunkiembrzegolvvmtr|aa^:gęC'|aB6) jest<1anewzorem poissonaZadalrie1.Rozrviazaćmetoclarozdzielarriazrnierrrrr.chrlastepujące zagadnieniebrzeqorveZauważyć,ze,ueC2 (BR)nC(gE)..]u},mozna rvvprowaclzić wzór Poissonadla kolanapłaszczyźnie]R2:a?\Ysk"uŻyĆtwiercizeniaowartości średniejdlafunkcjiharmonicznychiodłvzororvań homo-graficznychkoła."/-\-I,lrgty)f;2-1.rlr(,\'Ll1_gt,"oń ruu^|J-ds(a).}rarmonicznawQ.lVsk.użvćłvlasnościśredniejcharakteryzujacej funkcje harmoniczne.Zadanie 4.Skonstruować funkcje GreenadlapółprzestrzeniEłi: {r,>0}.Zadanie5.Lidowodnić twierdzenieHarnacka:Jeżeliciagfunkcjilrarmonicznychu1,wc:bszatzeOC,#?ojestzbiezny(niemal)jednostajnie dofunkc.jiu,,iotzjestfunkcjąZadanie 6.Udołvodnićtin'ierdzenieLiouviile'a:Ograniczona funkcja harmonicznalv]Rnjest funkcjąstalą.wsk.skorzystaćzwłasnościśredniejpokulachlubzełvzorupoissona.Zadanie7.Znaleźć wartości wlasneifunkcjervłasneoperatoraLaplace'a lvprostokacie(0,a) x(O,Ó),tzn,wvznaczyć):,\ł,u -uk spełrriajacerórvnarrieAu*)u-*(0,a)x(0,ó)iwarunekDirichletau:na brzegu prostokąia,Zadanie8.Pokazać,żeu(l): DŁo|rl'nur(r),gdzieułsąfunkcjamiharmonicznvmi.spełnia równaniepoliharmoniczneA-+tu:0.Zadanie9.Sprawdzić,zefunkcjau(*,y):ry(_1og(12+a\)r/', x2*y2ża,u(0,0):0.maciagłe Pochodneurr,urr,alepochodna mieszanau*nie istnieje-.,v(0,0).Zatemujestpotencjałem nelvtonołvskimciagłejgęstości,aleuCr.ę74października1998Piotr Bilera(;yvlł,ąullR1ZN:CZK}WECZASTKOWE.IIIRoKv,IATEI,IATyKILISTA2Zadarrie 1.R,ozlviazaćmetodalozdzielarrialzrrrientrvchrrastępujace zagaclnieniebrzegorvecllafr_rnkcji 1rarnroniczn1,,chlvprostoka.cie(0,a)x(0.ó)1i)ulr:o:|1|a:h-0.rl|r=0:_{silrf.tlIu=o: BsinT:(ii) łr].=o:,uly:6:tt,!r-b:0. tl,(0,y)+)u(0.y):s(ł),y€(0.ó).Zadanie2.Rrlzlvta.zać zag'adnienieDirichletadiarów.naniaLaplace'aAu :(lvervspółrzędn_u*chbiegunołvvch#+ł*+##:0)rvpierścierriu{fi,<.:(r'+y.)r/'<Rz} zrvarunkarni brzegorvvmiu(€1 .a1:gr"(0),u(,Rz,0):g2(0).Wsk.użvćszeregórł,Fouriera.tzn.metod;,rozdzielaniaznlienn},.ch.podobnie.jak lvPrzi,-Padkukoła.Co naiezyznrod1,,fikowaćwotrzvmanJ,,-chrvzorach(ijakieprz_viaci,varunkibrzego,,ve)lvprzlrpadkach granicznvch:Rl,_a]bofiz:cc']wzorem poissonaZadarrie3.SprawdziĆ,zerozwiazanie zagadnierriaDirichletadiarów.naniaLaplace'aAzl:0łvkuliBł(0) C]R"znarurrkiembrzegolvvmŁlaa^:g€C'(aB6).jestdaneil(r):#Jur_stu)'ffi1fp2_|"1]clS(y).ZaulvazyĆ, zeue C''(Br)nC(B;)Jakmozna wvprołvadzić rvzór Poissonadla kolanapłaszczyźnteR2:0?łVsk"użvĆ trvierdzenta ołva,rtościśredniejcllafunkcjiharmoniczny,chiodr,vzorołvańhomo-qraficzn.ichkoła.harmoniczna wQ.wsk.uzyćwłasnościśredniejcharakieryzującejftrnkcjeharmoniczne.Zadanie 6.Udowodnić twierdzenieLiouviile'a:OgraniczonafunkcjaharmonicznawIR'jest funkcjąstałą.!Vsk.skorzystaćzwłasnościśredrriejpokulach lubze wzoru Poissona.Zadanie7.ZnaleŹć rvartościwłasneifunkcjew}asrreoperatoraLaplace'ar.vprostokacie(0,a)x(O,ó),izn. wyznaczyć\:)&,u -ukspełniajaceró,,vnanieAu*)u-*(0,o)x(0,ó)iłvarunekDirichletau:0nabrzegu prostokąta.Zadarrie8.Pokazać^żeu(ł): DŁo|r{'2kus,(x),gdzieułsąfunkcjamiharmonicznynri.spełnia równanie poliharmoniczneA-+lu:0.maciagłe Pochodneurr,uoo,, alepochodna mieszanau,nieistniejejestpotencjałem newtonolvskimciąg}ejgęstości,aleuCr.ł14października1998Zadanie 4.Skonstruorvać frrnkcjeGreenadlapółprzestrzeniRI : {",>O}.Zadanie5.LidołvodnićtrvierdzenieHarnacka:Jeżellciagfunkcjiharmonicznychz;łvobszarzeQC,Ę"jestzbiezny(niemal)jednostajnie do furrkcjitl.tou jestfunkcja,.}Zadanie 9.Sprawdztć,żefurrkcjar(r,y):x::y(-log(r2+yr))r/r,ł+y2 )w-(0,0).Zatem0,u(0.0):0,uPiotr BilerRorlrNANIARoZNICZI{aWECZASTKOWEIIIRoI{ MATEy,IATYKILISTA3Zadarrie 1.Rozłviazać(uz_v.,vajacłvzorórvd,'Alemberta)nastepujące zagadnieniedlarór'"--#:czadattl'ninaProsteji: ki(ł'>0,naniafalorvego ,L1,6:.LLxłz,,varunkamILL:h.ujestrvektoremnormalnymdotej prostej),'Drzegolł'o-Zaclanie2.Rozrviazaćkorz1,-stajaczelvzorud'Aiembertarrasrepuja.cezagadnieniepoczaikoivedlarółł,rraniafaiorvegoLL6t:lltr,,vilr.t):r)0.ć>C}Zbadacprzypadek,Ł:]-(zagadnienie Goursata),u(z,0):i(r),ut(i,0):g(t)(w szczególności,11a/(.z)-rexp(-.r2)-9(z):u(0.i):0.0),Zadanie3.RozrviazaćmeroclaFotrrierazagacinieniebrzego,ło-poczatkoivediaSiruI}VLL6i'Órvnania(i) u(r.O,):2h,dia0 <x<il}.u(;.0):jĄ(l-r)dJ,aJ.,/2(:r(I:h>u;(r.0):0,u(O.t):u,(l.i):0::i,,,>0ciiaa{xśb.1ii)u(z.0):0.u1(1,0):0cila0(;(aicllab<r(i.rrt(a.a')ł(0.ć]:łt1.1):0,Cz7,otrzl;rnane szeregi Fouriera tnożnadrvukrotnietozliiczkoivaĆJZacianie4.R.oz.łiazaćzaga,fnienieCaucillr'eqocllarór,,-naniafalo-,,"'egcr.',Ę".ł :1.2.3,z.,i.artttrkarni ooczarko,t.,_,.::ri,rt.r.ji:|j.iilr.x_0,:;_ -ie,.i',-{i.ł1r,J'-]--U.-'].a';,>i,Porórvuaćrv.u-nikiizirlterpretorvaĆ zasadeHu"u-gensanapolv}'Zsz;rchPrz;"'klac]zrch.: l.L2;,ń,i(r,,;) :(.,.-i ]-,'>0}Zadanie5.Sprawcizić.zeszeregr,l1(;.0):9(r).podać(przlrkłaclolvo)dlajakich funkcji7'i9porvi,z3z"vlzeTegprzei,sta';ialaki;"'cznierozr.viazanie. Cz1,,szeregtenma sensCiaf,g €Cr(P""\?Wsk.porórvnaćzzasada,1{,.r1,3ensa,Zadarrie6.Liclorr.odnić.zerozlviazanie zagadnieniaCauch.v-'egocilaló'łnaniafalorveqotJtt:_1urv[lJxfizrvarunkanriłrr.0}:rji;). iiir;.C):gii;;.,''.lj=C:'Ę'j:.sPel::iaoszacolvanietl(z. t)| <Clt,ź> 0.dlapev,rnejsiaiejC>C,Zadarrie7.ZnaIeźćtc:zlviazanlezagaclnieniau11-Ąu-i:lv,R3.sPeiniaja.cervarunki(,,.tl)-0],' łia rl (ą.=_l']ł-iiżk .ś,..: śl(^"r'(.),"r."-l"9tirb_\utr.f)L't_r)formalrriespełniarólvnanie falowe Llft:Ąuz,*,aritnkamiui;.0)--j(ri.\l-nj,i:l!uli-r.0):0. tęR}.,rrr..0):{ ^IrJ,,]I|cla ,>a.-i6Listopada1998Fiotr Biler [ Pobierz całość w formacie PDF ]