Zadania z Cwiczen I, RP I, Kartkowki i Zadania, 2011--Latala
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 11. Grupęndzieci ustawiono w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodo-bieństwo tego, żea) Jacek i Agatka stoją koło siebie;b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie.2. Ze zbiorunelementowego losujemy ze zwracaniemrelementów. Jakie jestprawdopodobieństwo tego, że któryś element się powtórzył?3. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w grze w brydża graczNotrzymała) wszystkie karty różnej wartości;b) dokładnie dwa piki;c) co najmniej dwa piki;d) dwa piki, 3 kiery, 4 kara, 4 trefle;e) układ 4432;f) układ 4441.4. Oblicz prawdopodobieństwo, że w grze w pokera talią 24 kartową graczotrzyma z rękia) paręb) dwie paryc) straightad) trójkęe) fullaf) karetęg) kolorh) pokera.5. 10 jednakowych ciastek rozdzielono między czwórkę dzieci w sposób loso-wy. Oblicz prawdopodobieństwo tego, iża) Jacek otrzymał dokładnie 1 ciastkob) Jacek otrzymał co najmniej 1 ciastkoc) każde z dzieci otrzymało co najmniej 1 ciastko6. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w totolatka wylosowana będzieszóstka nie zawierająca dwu kolejnych liczb.7. a) Ile różnych słów (niekoniecznie sensownych) można utworzyć permutu-jąc litery słowa MATEMATYKA?b) Jeśli wybierzemy losowo któreś z tych słów jakie jest prawdopodobień-stwo tego, że litery T nie stoją obok siebie?8. Klasa liczy 15 uczniów, na każdej lekcji do odpowiedzi jest losowany jedenuczeń. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciągu 16 lekcji każdy uczeńbędzie przepytany.9. W szafie znajduje sięnpar butów, na chybił trafił wybieramy z nichkbutów przy czymk n.Oblicz prawdopodobieństwo tego, żea) wśród wylosowanych butów jest conajmniej jedna para,b) wśród wylosowanych butów jest dokładnie jedna para.10. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że przy losowym umieszczeniu Nlistów w N zaadresowanych kopertach żaden list nie trafi do właściwegoadresata?1Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 21. Z przedziału [0, 1] wybrano w sposób losowy dwa punkty, które podzieliłygo na trzy odcinki. Jaka jest szansa, że z tych odcinków da się zbudowaćtrójkąt?2. (Igła Buffona) Igłę o długościlrzucono w sposób losowy na płaszczyznę zzaznaczonymi liniami równoległymi. Odległość między sąsiednimi liniamiwynosid > l.Oblicz prawdopodobieństwo, że igła przetnie którąś z linii.3. Na nieskończoną szachownicę o boku 1 rzucono monetę o średnicy2. Jakie3jest prawdopodobieństwo tego, że monetaa) znajdzie się całkowicie we wnętrzu jednego z pólb) przetnie się z dwoma bokami szachownicy?4. Załóżmy, żeP(A∪B)= 1/2,P(A∩B)= 1/4,P(A\B)=P(B\A).ObliczP(A)iP(B\A).5. Załóżmy, żeA∪B∪C= Ω,P(B)= 2P(A),P(C)= 3P(A),P(A∩B)=P(B∩C)=P(A∩C).Wykaż, że 1/6P(A)1/4.6. Załóżmy, żeP(A)ObliczP(A).2/3,P(B)2/3,P(C)2/3 iP(A∩B∩C)= 0.7. Wyznaczσciało generowane przeza) dwa zbioryAiB;b) trzy zbioryA, BiC.8. Czy istniejeσ-ciałozłożone z 7-elementów?9. Wykaż, że dla dowolnych zdarzeńA1, . . . , Anzachodzą nierównościnnnP(Ai)i=1Pi=1Aii=1P(Ai)−1i<j nP(Ai∩Aj).2Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 31. Grupęndzieci ustawiono w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodo-bieństwo tego, żea) Jacek stoi bezpośrednio przed Agatką, jeśli Agatka stoi bezpośrednioprzed Dorotką;b) Jacek stoi przed Agatką, jeśli Agatka stoi przed Dorotką2. Z talii 24 kartowej losujemy 5 kart bez zwracania. Oblicz prawdopodo-bieństwo, że wylosowaliśmy dokładnie 3 asy jeśli wiadomo, żea) mamy conajmniej jednego asab) mamy asa czarnego koloruc) mamy asa pikd) pierwszą wylosowaną kartą jest ase) pierwszą wylosowaną kartą jest czarny asf) pierwszą wylosowaną kartą jest as pik.3. W urnie znajduje siębkul białych ickul czarnych. Losujemy z urny pojednej kuli a następnie zwracamy ją do urny dokładającakul tego samegokoloru. Oblicz prawdopodobieństwo tego, żea) Pierwsza i druga wylosowana kula będzie biała;b) Druga wylosowana kula będzie biała;c) Za pierwszym razem wylosowano kulę białą, jeśli wiemy, że za drugimrazem wylosowano kulę białą;d) W pierwszych trzech losowaniach wylosujemy kule tego samego koloru.4. W populacji jest 15% dyslektyków. Jeśli w teście diagnostycznym uczeńpopełni 6 lub więcej błędów, to zostaje uznany za dylektyka. Każdy dys-lektyk na pewno popełni co najmniej 6 błędów w takim teście, ale równieżnie-dyslektyk może popełnić więcej niż 5 błędów z prawdopodobieństwem1/10. Jasio popełnił w teście 6 błędów - jakie jest prawdopodobieństwotego, że jest dyslektykiem? Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w ko-lejnym teście popełni co najmniej 6 błędów?5. Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana rodzina mandzieci jest równepn=αpn1−∞n=1αp= 1−nαp1−pn= 1, 2,. . .n=0Zakładając, że wszystkie 2nrozkładów płci dzieci w rodzinie ondzieciachjest równoprawdopodobne oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybra-na rodzina maa) conajmniej jedną córkęb) dokładnie jedną córkę?c) Losowo wybrana rodzina ma przynajmniej jedną córkę, jakie jest praw-dopodobieństwo, że jest ona jedynaczką?6. Rzucamy dwa razy kostką. Rozważmy zdarzenia:A– za pierwszym razemwypadła liczba oczek podzielna przez trzy;B– za drugim razem wyloso-wano liczbę oczek podzielną przez trzyC– suma wyrzuconych oczek jestparzysta. Czy zdarzeniaA, B, Csą parami niezależne? Czy są niezależne?3Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 41. W Małej Większej są dwie szkoły podstawowe. Przeprowadzone pod ko-niec roku szkolnego egzaminy wykazały, że większy procent dziewczynekw szkole nr 1 potrafi rozłożyć liczbe 2012 na czynniki pierwsze niż w szkolenr 2, podobnie większy procent chłopców z jedynki potrafi to zrobić niżw dwójce. Czy znaczy to, że ”statystyczne dziecko” ze szkoły nr 1 lepiejwypadło w rozkładaniu 2012 od ”statystycznego dziecka” ze szkoły nr 2?2. Nankartkach zapisanonróżnych liczb rzeczywistych, następnie kartkiwłożono do pudełka, wymieszano i losowano kolejno bez zwracania. NiechAkoznacza zdarzenie, żek-taz wylosowanych liczb jest większa od wszyst-kich poprzednich. Wykaż, żeP(Ak) = 1/k oraz zdarzeniaA1, A2, . . . , Ansą niezależne.3. Wyznacz najbardziej prawdopodobną liczbę sukcesów w schemacie Ber-noulliego.4. Rzucono 10 razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w pierw-szym rzucie wypadła szóstka, jeśli wiadomo, żea) w 10 rzutach wypadło dokładnie 7 szóstekb) w 9 następnych rzutach wypadło dokładnie 7 szóstek.5. Rzucamy szóstką do momentu aż wypadnie piątka lub po raz trzeci szóst-ka. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że rzucimy dokładnienrazy.6. Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu jednego dnia na autostradzie będziekwypadków jest równe 5ke−5/k!, k= 1, 2,. . ..Prawdopodobieństwo tego,że w danym wypadku będzie uczestniczył samochód czerwony jest 1/3.Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciągu jednego dnia na autostradziebędziekwypadków z udziałem samochodów czerwonych.7. Rzucononsymetrycznymi monetami. Oblicz prawdopodobieństwo tego,że otrzymana liczba orłów jest podzielna przezkdlak= 2, 3, 4.8. Wykaż (używając metod probabilistycznych), że dla dowolnych liczb cał-kowitych dodatnichn, morazp, q∈[0, 1] takich, żep+q+ 1 zachodzinierówność (1−pn)m+ (1−pm)n1.9. Niech (Ω,F,P)będzie przestrzenią probabilistyczną modelującą schematBernoulliego z parametraminip.Dla 0knprzezAkokreślamyzdarzenie, że zaszłoksukcesów. Wykaż, żeP(B|Ak) dlaB∈ Fnie zależyod parametrup.10. Rzucamy nieskończenie wiele razy kostką. Udowodnij, że z prawdopodo-bieństwem 1 wystąpi nieskończenie wiele serii złożonych z 2012 szóstekpod rząd.411. Rzucamy nieskończenie wiele razy monetą na której orzeł wypada z praw-dopodobieństwemp.PrzezAnoznaczmy zdarzenie, że w pierwszychnrzutach wypadło tyle samo orłów, co reszek. Wykaż, żei) jeślip= 1/2, to z prawdopodobieństwem 1 zajdzie skończenie wielespośród zdarzeńA1, A2, . . .ii*) jeślip= 1/2, to z prawdopodobieństwem 1 zajdzie nieskończenie wielespośród zdarzeńA1, A2, . . .12. Dwaj gracze grają w orła i reszkę monetą symetryczną. Jeśli wypadnieorzeł gracz A płaci B 1 zł., jeśli reszka, to B płaci A 1 zł. Gra się kończy,gdy któryś z graczy zostanie bez pieniędzy. Na początku gry gracz A maazł., a Bbzł.a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że grę wygra gracz A.b) Jak zmieni się to prawdopodobieństwo, jeśli moneta jest sfałszowanatzn. orzeł wypada z prawdopodobieństwemp= 1/2?13. Rzucononkostkami do gry. Określmy zdarzeniaAk- nak-tejkostce wy-padła szóstka, 1knorazAn+1- suma wyrzuconych oczek jest po-dzielna przez 6. Wykaż, że dowolnenspośród zdarzeńA1, . . . , An+1jestniezależnych, ale łącznie zdarzeniaA1, . . . , Annie są niezależne.14. NiechXnoznacza najdłuższą serię orłów wnrzutach monetą symetryczną.Wykaż, żea)P(Xnalog2n)→0 przyn→ ∞dlaa <1,b)P(Xnalog2n)→1 przyn→ ∞dlaa >1.15. Z przedziału [0, 1] losujemy dwie liczby dzielące go na trzy przedziały.Oblicz prawdopodobieństwo tego, że najkrótszy z powstałych przedziałówma długość mniejszą niż 1/5.5 [ Pobierz całość w formacie PDF ]