zadania - zbiory, dokumenty, liceum, matematyka, zbiory
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
LICZBY I ZBIORY – ZADANIA
WSKAZÓWKI I ODPOWIEDZI
1.
[5] Wśród liczb należących do zbioru
Z
=
{
24
,
36
,
(
73
),
2
,
5
,
25
}
liczb
3
4
2
wymiernych jest
A. 1,
B. 2,
C. 3,
D. 4.
Odpowiedź:
D
24
=
4
×
6
=
2
6
;
36
=
6
;
0
(
73
)
=
73
;
99
2
;
5
;
25
=
5
3
4
2
2
Q
- zbiór wszystkich liczb wymiernych, czyli liczb postaci
n
k
, gdzie k jest liczbą całkowitą, n
liczbą naturalną.
W zbiorze
Z
są cztery liczby wymierne. Dokładnie:
6
73
,
2
,
5
Î
Q
.
99
3
2
1
-
2
3
16 ,
2
, 1 wypisz liczby
2.
[4] Spośród podanych liczb: 8 , 4 ,
-
,
4
1
(
31
)
,
3
5
a.
wymierne,
b.
naturalne,
c.
pierwsze.
N
- zbiór wszystkich liczb naturalnych.
Liczba naturalna n jest
liczbĄ pierwszĄ
wtedy i tylko wtedy, gdy ma dokładnie dwa różne
dzielniki.
{
Odpowiedź:
,...}
1
-
2
5
2
8
=
4
×
2
=
2
2
;
4
=
2
;
-
=
-
=
-
25
;
5
1
3
31
130
2
; 1
16
4
=
(
4
16
)
3
=
2
3
=
8
;
1
(
31
)
=
1
=
;
3
99
99
Zatem:
2
-
25
,
130
,
2
,
Î
Q
,
99
3
2
Î
N
,
Tylko 2 spośród wyżej wymienionych liczb naturalnych jest liczbą pierwszą.
=
2
3.
[5] Dana liczba
x
=
(
3
-
2
2
)
2
+
4
6
. Wykaż, że liczba
x
jest naturalna.
Odpowiedź:
Korzystając ze wzoru
(
a
-
b
)
2
=
a
2
-
2
ab
+
b
2
otrzymujemy:
x
=
(
3
-
2
2
)
2
+
4
6
=
3
2
-
2
×
3
×
2
2
+
(
2
2
)
2
+
4
6
=
3
-
4
6
+
8
+
4
6
=
3
+
8
=
11
.
Skoro
x
=
11
, więc jest liczbą naturalną.
4.
[2] Wśród liczb naturalnych należących do przedziału
<
44
,
50
>
:
a.
Jedna jest liczbą pierwszą.
b.
Są dwie liczby pierwsze.
c.
Są trzy liczby pierwsze.
d.
Nie ma liczb pierwszych.
Odpowiedź:
Jedna jest liczbĄ pierwszĄ.
Szukamy liczb pierwszych wśród liczb naturalnych naszego przedziału
<
44
50
>
, czyli
pytamy, która spośród liczb:
44
,
45
,
46
,
47
,
48
,
49
,
50
ma dokładnie dwa różne dzielniki?
Liczbami pierwszymi
nie
są liczby parzyste:
22
44
=
2
×
,
46
=
2
×
23
,
48
=
2
×
24
,
50
=
2
×
25
.
Zostały: 45, 47, 49, ale
45
=
5
×
9
,
49
=
7
×
7
.
Liczbą pierwszą jest 47, bo żadna z następujących liczb pierwszych: 2, 3, 5 jej nie dzieli.
Liczba jest podzielna
przez 2,
gdy jej ostatnia cyfra jest parzysta.
Liczba jest podzielna
przez 3,
gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3.
Liczba jest podzielna
przez 5
, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5.
Dlaczego wystarczy sprawdzić do 5? Ponieważ:
6
<
47
<
7
.
5.
[4] Rozwiąż nierówność
x
.
a.
Odpowiedź zapisać w postaci przedziału.
b.
Podaj najmniejszą liczbę pierwszą należącą do tego przedziału.
c.
Podaj najmniejszą liczbę naturalną nienależącą do tego przedziału.
2
-
3
<
9
Odpowiedź:
2
x
-
3
<
9
-
9
<
2
x
-
3
<
9
-
9
+
3
<
2
x
-
3
+
3
<
9
+
3
-
6
<
2
x
<
12
-
3
<
x
<
6
a.
Odpowiedź zapisać w postaci przedziału.
x
.
b.
Najmniejszą liczbą pierwszą należącą do tego przedziału jest
2
.
Î
(-
3
6
c.
Najmniejsza liczba naturalną poza przedziałem
(
-
3
6
)
, to
6
.
,
6.
[2] Podaj najmniejszy przedział otwarty
(
b
a
, gdzie
,
)
a
Î
Z
i
b
Î
Z
, do którego
należy liczba:
a.
2
+
2
,
b.
1
-
2
,
c.
2
1
-
2
,
d.
3
2
+
1
.
Odpowiedź:
2
+
2
Î
(
4
)
,
1
-
2
Î
(
-
1
)
,
1
Î
(
2
)
,
2
Î
(
0
.
2
-
2
3
+
1
7.
[6] Oblicz resztę z dzielenia liczby
n
przez liczbę
m
, gdy:
a.
n
=
131
,
m
=
7
,
b.
n
=
265
,
m
=
11
,
c.
n
=
329
,
m
=
13
,
d.
n
=
710
,
m
=
17
.
Odpowiedź:
Dla dowolnych liczb całkowitych b
a
,
(gdzie
b
¹
0
) istnieją takie, jednoznacznie wyznaczone,
liczby całkowite
q
oraz
r
, ż
e
a
=
qb
+
r
, gdzie
r
Î
{
,...,
b
-
1
.
a.
131
=
7
×
18
+
5
zatem
r
=
5
,
b.
265
=
11
×
24
+
1
zatem 1
r
=
,
c.
329
=
13
×
25
+
4
zatem
r
=
4
,
d.
710
=
17
×
41
+
13
zatem 13
r
=
.
8.
[6] W Polsce Numer Identyfikacji Podatnika NIP, zarówno dla osób fizycznych, jak i
spółek prawa handlowego, składa się z 10 cyfr:
, przy
czym kreski oddzielające grupy cyfr nie mają żadnego znaczenia, służą ułatwieniu w
podawaniu numeru. Pierwsze dwie cyfry są nadawane w oparciu o zakres numerów
przyporządkowanych do danego regionu, następne siedem cyfr jest generowanych
losowo lub przydzielanych w pewien określony sposób, a ostatnia cyfra jest cyfrą
kontrolną wyliczaną za pomocą procedury opisanej poniżej. Cyfra kontrolna sprawdza
podany numer NIP i w przypadku braku zgodności „kwestionuje” jego poprawność. A
oto procedura obliczania cyfry kontrolnej:
·
c
1
c
2
c
3
-
c
4
c
5
c
6
-
c
7
c
8
-
c
9
c
10
obliczamy liczbę
n
:
n
=
6
c
1
+
5
c
2
+
7
c
3
+
2
c
4
+
3
c
5
+
4
c
6
+
5
c
7
+
6
c
8
+
7
c
9
,
·
obliczamy resztę
r
z dzielenia liczby
n
przez 11,
cyfrą kontrolną jest reszta z dzielenia liczby
r
przez 10.
Sprawdź, czy następujący numer dziesięciocyfrowy może być uznany za poprawny
numer NIP w Polsce:
a.
551-235-21-16,
b.
521-010-01-12,
c.
525-100-00-23,
d.
500-001-02-34.
·
Odpowiedź: Tylko numer
525-100-00-23
może być uznany w Polsce za NIP.
Ponieważ:
a.
551-235-21-16
·
Obliczamy liczbę
n
:
n
=
6
c
1
+
5
c
2
+
7
c
3
+
2
c
4
+
3
c
5
+
4
c
6
+
5
c
7
+
6
c
8
+
7
c
9
1
n
=
6
×
5
+
5
×
5
+
7
×
1
+
2
×
2
+
3
×
3
+
4
×
5
+
5
×
2
+
6
×
1
+
7
×
=
30
+
25
+
7
+
4
+
9
+
20
+
10
+
6
+
7
=
118
·
Obliczamy resztę
r
z dzielenia liczby
n
przez 11
8
118
=
11
×
10
+
Stąd
r
=
8
.
·
Cyfrą kontrolną jest reszta z dzielenia liczby
r
przez 10.
6
8
¹
b.
521-010-01-12
·
Obliczamy liczbę
n
:
n
=
6
c
1
+
5
c
2
+
7
c
3
+
2
c
4
+
3
c
5
+
4
c
6
+
5
c
7
+
6
c
8
+
7
c
9
1
n
=
6
×
5
+
5
×
2
+
7
×
1
+
2
×
0
+
3
×
1
+
4
×
0
+
5
×
0
+
6
×
1
+
7
×
=
30
+
10
+
7
+
0
+
3
+
0
+
0
+
6
+
7
=
63
·
Obliczamy resztę
r
z dzielenia liczby
n
przez 11
8
63
=
11
×
5
=
Stąd
r
=
8
.
·
Cyfrą kontrolną jest reszta z dzielenia liczby
r
przez 10.
2
8
¹
c.
525-100-00-23
·
Obliczamy liczbę
n
:
n
=
6
c
1
+
5
c
2
+
7
c
3
+
2
c
4
+
3
c
5
+
4
c
6
+
5
c
7
+
6
c
8
+
7
c
9
2
n
=
6
×
5
+
5
×
2
+
7
×
5
+
2
×
1
+
3
×
0
+
4
×
0
+
5
×
0
+
6
×
0
+
7
×
=
30
+
10
+
35
+
2
+
0
+
0
+
0
+
0
+
14
=
91
·
Obliczamy resztę
r
z dzielenia liczby
n
przez 11
3
91
=
11
×
8
+
Stąd
r
=
3
.
·
Cyfrą kontrolną jest reszta z dzielenia liczby
r
przez 10.
3
3
=
d.
500-001-02-34
·
Obliczamy liczbę
n
:
n
=
6
c
1
+
5
c
2
+
7
c
3
+
2
c
4
+
3
c
5
+
4
c
6
+
5
c
7
+
6
c
8
+
7
c
9
3
n
=
6
×
5
+
5
×
0
+
7
×
0
+
2
×
0
+
3
×
0
+
4
×
1
+
5
×
0
+
6
×
2
+
7
×
=
30
+
0
+
0
+
0
+
0
+
4
+
0
+
12
+
21
=
67
·
Obliczamy resztę
r
z dzielenia liczby
n
przez 11
1
67
=
11
×
6
+
St
ą
d 1
r
=
.
·
Cyfrą kontrolną jest reszta z dzielenia liczby
r
przez 10.
4
1
¹
9.
[6] Wypisz wszystkie elementy zbioru
A
, gdy
A
jest zbiorem:
a.
wszystkich całkowitych, nieujemnych, jednocyfrowych liczb parzystych,
b.
wszystkich liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 6,
c.
wszystkich dwucyfrowych liczb pierwszych mniejszych od 30,
d.
wszystkich dodatnich dzielników liczby 6.
Odpowiedź:
a.
0, 2, 4, 6, 8
b.
1, 2, 3, 4, 5
c.
11, 13, 17, 19, 23, 29
d.
1, 2, 3, 6.
10.
[6] Wypisz wszystkie elementy zbioru
A
, gdy:
a.
A
=
{
n
:
n
20
Ù
n
>
0
,
b.
A
=
{
n
:
n
Î
N
Ù
n
<
20
Ù
NWD
(
n
,
18
)
=
1
,
c.
A
=
{
n
:
n
Î
N
Ù
n
<
25
Ù
NWD
(
n
,
24
)
=
2
,
d.
A
=
{
n
:
n
Î
N
Ù
NWW
(
n
,
12
)
=
48
}
.
Odpowiedź:
a.
A
=
{
n
:
n
20
Ù
n
>
0
=
{
2
4
10
,
20
}
,
b.
A
=
{
n
:
n
Î
N
Ù
n
<
20
Ù
NWD
(
n
,
18
)
=
1
=
{
,
11
,
13
,
17
,
19
}
,
c.
A
=
{
n
:
n
Î
N
Ù
n
<
25
Ù
NWD
(
n
,
24
)
=
2
=
{
10
,
14
}
,
d.
A
=
{
n
:
n
Î
N
Ù
NWW
(
n
,
12
)
=
48
}
=
{
48
}
.
11.
[6] Wyznacz zbiory:
A
È
B
È
C
,
A
Ç
B
Ç
C
,
(
A
È
B
)
\
C
,
(
A
Ç
B
)
\
C
,
A
\
(
B
Ç
C
)
,
gdy
A
=
{
2
4
,
B
=
{
4
,
C
=
{
4
.
Odpowiedź:
A
È
B
=
{
x
:
x
Î
A
Ú
x
Î
B
}
,
A
Ç
B
=
{
x
:
x
Î
A
Ù
x
Î
B
}
,
A
\
B
=
{
x
:
x
Î
A
Ù
x
Ï
B
}
A
È
B
È
C
=
{
2
4
,
A
Ç
B
Ç
C
=
{
,
(
A
È
B
)
\
C
=
{
2
4
\
{
4
=
{
,
(
A
Ç
B
)
\
C
=
{
4
\
{
4
=
{
,
A
\
(
B
Ç
C
)
=
{
2
4
\
{
=
{
2
.
12.
[2] Wyznacz działanie i zaznacz na osi liczbowej punkty, których współrzędne należą
do zbioru:
a.
(
-
1
È
{
,
b.
<
-
5
Ç
{
,
c.
R
\
(
-¥
,
)
,
d.
R
\
<
0
+¥
)
.
Odpowiedź:
a.
(
-
1
È
{
=
(
-
1
>
,
b.
<
-
5
Ç
{
=
Æ
,
c.
R
\
(
-¥
,
)
=<
0
+¥
)
,
d.
R
\
<
0
+¥
)
=
(
-¥
,
)
.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]