zadania1, Metody Probabilistyczne
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ZADANIA Z METOD PROBABILISTYCZNYCH
I STATYSTYKI I do rozwiązania samodzielnego
1.
Niech przestrzeń zdarzeń elementarnych

składa się z pięciu zdarzeń
elementarnych

:
i


{

1
,

2
,

3
,

4
,

5
}
. Określamy zdarzenia 
A

{
1

,

3
,
5
}
,
B

{

2

,

3
,
4
}
. Znaleźć zdarzenia
B
A

,
AB
,
B
A
\ ,
B
\ .
A
2.
Osoba
X
wykonuje pewną pracę w ciągu 4, 5 albo 6 godzin i może popeł-
nić przy tym 0, 1 albo 2 błędy. Zakładając jednakowe prawdopodobień-
stwo dla każdego z 9 zdarzeń elementarnych, znaleźć prawdopodobień-
stwa następujących zdarzeń: a) praca zostanie wykonana w ciągu 4 godzin
(zdarzenie
A
); b) praca zostanie wykonana bezbłędnie w ciągu 6 godzin
(zdarzenie
B
); c) praca zostanie wykonana w ciągu 5 godzin, z co najwy-
żej jednym błędem (zdarzenie
C
); d) praca zostanie wykonana, z co naj-
wyżej jednym błędem (zdarzenie
D
).
3.
Rozpatrujemy ilość (dm
3
) wody, jaką może mieć do przeprowadzenia w
ciągu sekundy betonowy przepust. Dotychczasowe obserwacje pozwalają
przyjąć, że: maksymalna możliwa ilość wody wynosi 300 dm
3
/s; }
{
A
P
– prawdopodobieństwo, że ilość
wody (na sekundę) przyjmuje wartość z przedziału (200; 300]
w
ynosi
0
,7
oraz
{
B
P
. Obliczyć prawdopodobieństwa: a) }
{ 
A

B
}
0
P
, }
{
A
P
,
b) }
P
, c) }
{
AB
P
, d) }
{
B
A
P
, e)
{
A
P
.
A

}
4.
Ze zbioru
n
elementów, wśród których jest
n
elementów mających cechę
C
i
n

2
n
n
1
n
. Zbadać
przypadki losowania ze zwrotem i bez zwrotu wylosowanego elementu po
pierwszym losowaniu.
n
, 7
1

5.
W pierwszej urnie było 10 kul w tym 8 białych; w drugiej urnie było 20
kul w tym 4 białych. Z każdej urny wylosowano po jednej kuli. Później z
1

P
–
prawdopodobieństwo, że ilość wody (na sekundę) przyjmuje wartość z
przedziału (125; 250] wynosi 0,6; }
{
B
{
B
 elementów nie mających tej cechy, losujemy dwukrotnie
po jednym elemencie. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że obydwa
wylosowane elementy mają cechę
C
. Przyjąć 10

wylosowanych dwóch kul wylosowano jedną kulę. Jakie jest prawdopo-
dobieństwo tego, że wylosowana kula okaże się kulą białą.
5 )
F
(
x
) 0 0,4 0,5 1
Jakie wartości przybiera zmienna losowa ? Jakie są prawdopodobień-
stwa tych wartości?
 3
;
2
( (3; 5]
( 
2

7.
W wielu sytuacjach można przyjąć, że czas  bezawaryjnej pracy bada-
nego urządzenia jest zmienna losowa absolutnie ciągła o gęstości

1
exp


x

dla
x

0
f
(
x
)




0
dla
x

0

a)
Obliczyć prawdopodobieństwo
10
P
.
b)
Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej

.
c)
Zinterpretować obliczone prawdopodobieństwo za pomocą wykresu
gęstości i dystrybuanty.
{ 


10
}
8.
Rzucamy
n
kostek. Obliczyć prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych
oczek będzie nie mniejsza niż 6
n
– 1.
9.
Rzucamy
n
kostek do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia
A
po-
legającego na tym, że przynajmniej na jednej z nich wypadnie 6 oczek?
10.
Według spisu powszechnego w Anglii i Walii w 1891 r. stwierdzono: oj-
cowie z ciemnymi oczami i synowie z ciemnymi oczami stanowili 5%
badanych osób, ojcowie z ciemnymi oczami i synowie z jasnymi oczami –
7,9%, ojcowie z jasnymi oczami i synowie z jasnymi oczami – 78,2%, oj-
cowie z jasnymi oczami i synowie z ciemnymi oczami – 8,9%. Znaleźć
prawdopodobieństwo dziedziczenia każdego z kolorów oczu przez syna
po ojcu.
2
( 
6.
Dystrybuan
ta
F
zmiennej losowej  jest określona nastę
pującą tabelką:
x



Niech .


xe

x
,
x

0
,
11.
ZL  ma rozkład o gęstości
f
(
x
)


Wyznaczyć jej dystry-
0
,
x

0
.

buantę oraz

2
P
.



Cx

3
2
,
x

1
12.
Gęstość ZL

ma postać
f
(
x
)


Znaleźć a) stałą
C
; b) gę-
0
,
x

1

stość ZL 
 1 ; c)

9

P
.
4 


13.
Niech  i
2
 są niezależnymi ZL mającymi rozkład geometryczny
P
 
i

k

p
i
q
i
k
;
i =
1, 2;
k =
0, 1,...;
p
i
+
q
i
= 1. Udowodnić, że ZL


min(

1

,
2
)
ma także rozkład geometryczny. Znaleźć parametr tego
rozkładu.
14.
Znaleźć gęstość ZL

, gdzie

jest ZL o dystrybuancie )


2
F
i gę-
(
x
stości )
f
.
(
x
15.
Znaleźć gęstość ZL będącej polem kwadratu, którego długość boku jest
ZL o rozkładzie jednostajnym w [0;
a
].
16.
Niech

będzie nieujemną ZL typu absolutnie ciągłego o gęstości )
f
.
Znaleźć gęstość ZL 
 .

17.
Zl  ma rozkład gamma, jeżeli jej gęstość ma postać





1


x

x
e
,
x

0
f
(
x
)


(

)

0
x

0

gdzie 0
 , 0


, )

 jest gamma-funkcja:
(

(

)


e
x
x


dx
. Zna-
0
leźć WO i wariancję ZL .
18.
Znaleźć WO ZL

mającej rozkład logarytmicznie normalny z gęstością
3

(
x

1

1

(ln
x


)
2


exp



,
x

0
f
(
x
)

x

2

2

2



0
x

0
.
19.
Znaleźć WO i wariancję ZL , spełniającej rozkład Pareta o gęstości



x



1


0

,
x

x
,
f
(
x
)

x
x
0
0

0
x

x
0
,
 , 0
x
.
20.
Niech  i  będą niezależnymi ZL o identycznym rozkładzie jednostaj-
nym na odcinku
0
[
. Znaleźć WO i wariancję ZL


.



4
gdzie 0

0

[ Pobierz całość w formacie PDF ]