Zadanie 7, Zginanie proste i ukośne. Wyznaczanie naprężeń stycznych przy zginaniu
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Przykład 3.7. Naprężenia styczne przy zginaniu belki cienkościennej.
Wyznacz rozkład naprężenia stycznego w przekroju podporowym belki wspornikowej
o przekroju cienkościennym obciążonej na swobodnym końcu pionową siłą P. Siła ustawiona
jest w środku sił poprzecznych.
Wyznacz położenie środka sił poprzecznych.
Wymiary przekroju poprzecznego belki podane są na rysunku zamieszczonym
poniżej.
Oblicz naprężenia przyjmując następujące wartości liczbowe:
P=20kN, a=4cm, δ=3mm
Przekrój poprzeczny
P
δ
4a
δ
2a
Rozwiązanie
Wyznaczymy rozkład naprężenia stycznego
τ
ze wzoru:
δ
T
⋅
S
s
z
(
s
)
T
⋅
S
s
y
(
s
)
T
y
T
z
τ
(
s
)
=
−
y
−
z
, gdzie:
δ
(
s
)
⋅
I
δ
(
s
)
⋅
I
z
y
z
s
- współrzędna łukowa o początku na brzegu przekroju,
T
y
– siła tnąca skierowana wzdłuż osi y,
T
z
– siła tnąca skierowana wzdłuż osi z,
s
z
s
S
- moment statyczny względem osi centralnej
z
odciętej części przekroju,
y
S
- moment statyczny względem osi centralnej
y
odciętej części przekroju,
δ(s)
- szerokość przekroju,
I
z
- moment bezwładności przekroju względem osi głównej centralnej z,
I
y
- moment bezwładności przekroju względem osi głównej centralnej y.
W omawianym zadaniu składowa pozioma siły tnącej równa jest zeru. Zatem wyrażenie na
naprężenie styczne upraszcza się do postaci:
s
y
τ
s
)
=
−
T
y
⋅
S
s
z
(
s
)
δ
(
s
)
⋅
I
z
Obliczmy poszczególne składniki powyższego wzoru.
Z treści zadania wynika, że siła tnąca
T
y
jest stała i wynosi P.
Obliczmy moment statyczny
I
z
Do wyznaczenia momentu bezwładności
I
z
wystarczy ustalenie położenia poziomej
osi głównej centralnej. Ponieważ przekrój
poprzeczny ma poziomą oś symetrii oś ta
jest także osią główną centralną.
Moment bezwładności względem osi z
obliczymy wykorzystując wzór Steinera.
Wyrażenia, w których występuje mała
wyższego rzędu będziemy pomijać.
δ
2a
c
z
2a
δ
y
(
4
a
)
3
⋅
δ
64
2a
I
z
=
+
2
⋅
(
2
a
)
2
⋅
2
a
δ
=
a
δ
12
3
Wyznaczmy naprężenie styczne w dolnej półce przekroju dla
s
∈
(
a
0
2
)
δ
Obliczmy moment statyczny odciętej części przekroju
)
2a
S
z
=
y
(
s
)
⋅
F
(
s
z
y
- oznacza współrzędną środka ciężkości odciętej
części przekroju
(
s
)
2a
F
pole powierzchni odciętej części przekroju
(
s
)
Dla
s
∈
(
a
0
2
)
y
s
S
z
=
y
(
s
)
⋅
F
(
s
)
=
2
a
⋅
s
Podstawiając do wzoru na naprężenie styczne obliczoną funkcję momentu statycznego
otrzymamy:
2
(
3
τ
s
)
=
−
T
y
⋅
S
s
z
(
s
)
=
−
P
⋅
2
as
δ
=
−
6
P
⋅
s
δ
(
s
)
⋅
I
64
64
a
2
δ
3
z
δ
a
δ
3
Znak minus oznacza , że zwrot naprężenia stycznego jest przeciwny do kierunku wzrostu
współrzędnej łukowej s.
Wyznaczmy naprężenie styczne w ściance środnika dla
s
∈
(
2
a
,
a
)
δ
Obliczmy moment statyczny odciętej części przekroju
2a
z
dla
s
∈
(
2
a
,
a
)
S
z
=
y
(
s
)
⋅
F
(
s
)
s
2a-1/2 (s-2a)
2a
S
z
=
y
(
s
)
⋅
F
(
s
)
=
4
a
2
δ
+

2
a
−
1
(
s
−
2
a
)

⋅
(
s
−
2
a
δ
2
y
S
z
=

−
1
s
2
+
4
sa
−
2
a
2

2
Podstawiając do wzoru na naprężenie styczne obliczoną funkcję momentu statycznego
otrzymamy:
P
⋅

−
1
s
2
+
4
sa
−
2
a
2
δ
3
P
⋅

−
1
s
2
+
4
sa
−
2
a
2

s
z
T
⋅
S
(
s
)
2
2
τ
s
)
=
−
y
=
−
=
−
δ
(
s
)
⋅
I
64
64
a
3
δ
z
δ
a
3
δ
3
Znak minus oznacza , że zwrot naprężenia stycznego jest przeciwny do kierunku wzrostu
współrzędnej łukowej s
s
∈
Wprowadźmy nową współrzędną łukową s’, której początek znajduje się na krawędzi górnej
półki.
(
6
a
,
a
)
δ
Obliczmy moment statyczny odciętej części przekroju
s’
2a
S
z
'
=
y
(
s
'
)
⋅
F
(
s
'
)
z
Dla
s
∈
'
(
0
2
a
)
2a
S
z
,
=
y
(
s
'
)
⋅
F
(
s
'
)
=
−
2
a
⋅
s
'
δ
2a
y
Podstawiając do wzoru na naprężenie styczne obliczoną funkcję momentu statycznego
otrzymamy:
3
(
)









(
Wyznaczmy naprężenie styczne w górnej półce przekroju dla
T
⋅
S
s
z
'
(
s
)
P
⋅
2
as
δ
6
P
⋅
s
'
τ
(
s
,
)
=
−
y
=
=
δ
(
s
)
⋅
I
64
64
a
2
δ
z
δ
a
3
δ
3
Narysujmy wykresy wyznaczonych funkcji naprężenia.
Oznaczymy zwroty naprężenia strzałkami.
τ
A
=(12/64) P/aδ=31.25 [MPa]
A
τ
τ
max
=(18/64) P/aδ=46.88 [MPa]
τ
B
=(12/64) P/aδ=31.25 [MPa]
B
Wyznaczmy położenie środka sił poprzecznych.
Policzmy sumę naprężeń stycznych działających w półkach górnej i dolnej oraz w środniku.
t
g
t
s
t
d
Sumę naprężeń
τ
(
s
'
)
= na górnej półce t
g
obliczymy z całki:
6
P
⋅
s
'
64
a
2
δ
s
'
=
2
a
2
a
6
Ps
'
t
=
∫
τδ
⋅
ds
'
=
∫
δ
⋅
ds
g
64
a
2
s
'
=
0
0
4
'
1
2
a
6
P
s
'
2
2
a
6
Ps
'
3
2
t
=
∫
δ
⋅
ds
=
=
P
g
64
a
2
64
a
2
16
0
0
Suma naprężeń na dolnej półce t
d
jest oczywiście taka sama jak na górnej.
t
=
d
t
g
3
P
⋅

−
1
s
2
+
4
sa
−
2
a
2

2
Sumę naprężeń
τ
(
s
)
=
−
w środniku t
s
obliczymy z całki:
64
a
3
δ
3
P
⋅

−
1
s
2
+
4
sa
−
2
a
2

s
=
6
a
6
a
2
t
=
∫
τδ
⋅
ds
=
∫
δ
⋅
ds
s
64
a
3
δ
s
=
2
a
2
a
t
s
=
P
Położenie środka siłą poprzecznych obliczymy z warunku zerowania się momentów od sił w
półkach i środniku. Ponieważ środek sił poprzecznych znajduje się na osi symetrii do
wyznaczenia pozostaje tylko współrzędna pozioma.
t
g
2a
ξ=?
t
s
k
2a
t
d
∑
M
=
t
2
a
+
t
2
a
−
t
s
=
0
⇒
3
P
⋅
2
a
+
3
P
⋅
2
a
−
P
⋅
ξ
=
0
⇒
ξ
3
a
⋅
3
[
cm
]
k
g
d
16
16
4
5




=
[ Pobierz całość w formacie PDF ]