Zadanie 5, sem III, +Mechanika Techniczna II - Wykład.Ćwiczenia.Laboratorium, momenty bezwladnosci figur ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Przykład 2.5. Figura z dwiema osiami symetrii
Polecenie: Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla
poniższej figury korzystając z metody analitycznej i graficznej (konstrukcja koła Mohra).
5
a
a
2
a
2
a
a
5
a
5
a
a
2
a
2
a
a
5
a
Dla rozważanej figury przyjmiemy dwa współśrodkowe układy współrzędnych
xy
oraz
ξη
. Oba układy są układami centralnymi. Układ
ξη
jest ponadto układem osi głównych
ponieważ osie
ξ
i
η
są osiami symetrii figury. Należy oczywiście ustalić, która z osi układu
ξη
jest osią maksymalnego momentu bezwładności, a która osią minimalnego momentu
bezwładności.
y
ξ
5
a
a
x
2
a
C
2
a
a
5
a
η
5
a
a
2
a
2
a
a
5
a
W celu wyznaczenia momentu bezwładności względem osi
x
dokonamy podziału
rozpatrywanej figury na figury składowe.
y
4
y
y
5
a
4
x
c
4
C
I
a
III
3
C
x
c
4
II
I
x
2
a
C
2
a
a
5
a
5
a
a
2
a
2
a
a
5
a
Moment bezwładności rozpatrywanej figury względem osi
x
policzymy jako
podwojoną sumę momentów bezwładności względem osi
x
figur składowych (figury I, II, III i
IV). Moment bezwładności figury względem osi
y
ma taką samą wartość. W przypadku figury
IV należy zastosować twierdzenie Steinera. Pole powierzchni figury III i IV wynosi
A
III
=
A
IV
=
1
⋅
2
a
⋅
6
a
=
6
a
2
2
(
)
I
=
I
=
2
⋅
I
I
+
I
II
+
I
III
+
I
IV
=
x
y
x
x
x
x
⎨
1
1
1
⎡
1
⎛
1
⎞
2
⎤
⎬
=
2
⋅
⋅
3
a
⋅
() () () ()
3
a
3
+
⋅
2
a
⋅
2
a
3
+
⋅
6
a
⋅
2
a
3
+
⎢
⋅
2
a
⋅
6
a
3
+
6
a
2
⋅
⎝
2
a
+
⋅
6
a
⎠
⎥
=
12
3
12
36
3
⎩
⎣
⎦
⎭
=
248
1
a
4
6
Dewiacyjny moment rozpatrywanej figury w układzie
xy
policzymy jako podwojoną
sumę momentów dewiacyjnych figur składowych (figury I, II, III i IV). W przypadku figury
III i IV należy zastosować twierdzenie Steinera. Momenty dewiacyjne tych dwóch figur w
układzie
xy
mają te same wartości, można więc w obliczeniach uwzględnić to, licząc
podwojoną wartość momentu dewiacyjnego np. dla figury III.
(
I
=
2
⋅
I
I
+
I
II
+
I
III
+
I
IV
) (
=
2
⋅
I
I
+
I
II
+
2
⋅
I
III
)
=
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
=
2
⋅
⎧
1
()() ()() ()()
3
a
2
⋅
3
a
2
−
1
2
a
2
⋅
2
a
2
+
2
⋅
⎡
1
2
a
2
⋅
6
a
2
+
6
a
2
⋅
⎝
−
1
⋅
2
a
⎠
⋅
⎝
2
a
+
1
⋅
6
a
⎠
⎤
⎫
=
⎣
⎦
24
4
72
3
3
⎩
⎭
=
−
57
1
a
4
4
łówna oś bezwładności, względem której moment bezwładności ma wartość
2
⎧
⎫
⎛
⎞
⎛
⎞
1
tworzy z osią
x
kąt , natomiast główna oś bezwładności, względem której
moment bezwładności ma wartość
I
max
ϕ
I
=
2
I
min
tworzy z osią
x
kąt ϕ .
Ponieważ
I
x
=
I
y
,
I
xy
< 0 to
π
=ϕ , natomiast
=ϕ .
−
π
1
4
2
4
Momenty bezwładności względem głównych centralnych osi bezwładności osiągają
wartości ekstremalne:
I
+
I
⎛
−
I
I
⎞
2
1
⎛
−
1
⎞
2
5
I
=
I
=
x
y
+
⎜
⎝
x
y
⎟
⎠
+
I
2
=
I
+
I
2
=
248
a
4
+
⎝
57
a
4
⎠
=
305
a
4
1
max
2
2
xy
x
xy
6
4
12
I
+
I
⎛
−
I
I
⎞
2
1
⎛
−
1
⎞
2
11
I
=
I
=
x
y
−
⎜
x
y
⎟
+
I
2
=
I
−
I
2
=
248
a
4
−
⎝
57
a
4
⎠
=
190
a
4
2
min
2
2
xy
x
xy
6
4
12
⎝
⎠
ξ
- kierunek maksymalnego
momentu bezwładności
ϕ
=
π
1
4
x
C
ϕ
=
π
2
4
η
- kierunek minimalnego
momentu bezwładności
Główne centralne momenty bezwładności możemy wyznaczyć w inny sposób.
4
2
a
3
2
a
3
2
a
3
2
2
a
2
I
II
III
2
2
a
3
2
a
η
η
η
3
I
=
Obliczymy wartość momentu bezwładności względem osi
η
, stosując nowy podział na
figury składowe. Figurę III traktujemy jako pole "ujemne". Momenty bezwładności figury I i
III mnożymy przez cztery.
( ) ( )
1
1
1
⎛
3
2
⎞
⎛
3
2
⎞
3
11
I
η
=
4
⋅
⋅
2
2
a
⋅
4
2
a
3
+
⋅
3
2
a
4
−
4
⋅
⋅
⎜
⎝
a
⎟
⎠
⋅
⎜
⎝
a
⎟
⎠
=
190
a
4
12
12
12
2
2
12
W dalszych obliczeniach wykorzystamy to, że suma momentów bezwładności
względem obu osi układów współśrodkowych jest stała.
I
x
+
I
y
=
I
ξ
+
I
η
czyli
I
=
I
+
I
−
I
=
2
⋅
I
−
I
=
2
⋅
248
1
a
4
−
190
11
a
4
=
305
5
a
4
ξ
x
y
η
x
η
6
12
12
Z porównania wartości głównych momentów bezwładności wynika, że oś
ξ
jest
kierunkiem maksymalnego momentu bezwładności, a oś
η
jest kierunkiem minimalnego
momentu bezwładności.
I
=
I
=
I
=
190
a
11
4
,
I
=
I
=
I
=
305
a
5
4
η
min
2
12
ξ
max
1
12
Główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne można wyznaczyć metodą
graficzną, stosując konstrukcję koła Mohra. Korzystamy z wyznaczonych wartości
momentów bezwładności w układzie
xy
1
I
=
I
=
248
a
4
=
248
.
167
a
4
x
y
6
oraz wartości momentu dewiacyjnego
1
I
xy
=
−
57
a
4
=
−
57
.
250
a
4
.
4
Kolejność postępowania przy wyznaczaniu głównych momentów bezwładności i kierunków
głównych metodą graficzną jest następująca:
1. Wyznaczenie położenia punktów
A
i
B
Wartości momentów bezwładności w układzie
xy
I
=
I
=
248
.
167
a
4
stanowią odpowiednio
x
y
współrzędne punktów
A
(
I
x
=
248
.
167
a
4
,
0
)
i
B
(
I
y
=
248
.
167
a
4
,
0
)
. W rozpatrywanym
zadaniu położenie punktów
A
( )
248
.
167
a
4
,
0
i
B
( )
248
.
167
a
4
,
0
jest wspólne.
.
, jest środkiem odcinka
AB
i
środkiem koła Mohra. W rozpatrywanym zadaniu położenie punktów
C
,
A
i
B
jest wspólne.
3. Wyznaczenie położenia punktu
D
Po uwzględnieniu wartości
(
0
.
5
⋅
I
x
+
I
y
=
248
.
167
a
4
,
0
)
, czyli
C
( )
248
167
a
4
,
0
I
x
=
248
.
167
a
4
oraz
I
xy
=
−
57
.
250
a
4
otrzymamy współrzędne
punktu
D
(
I
=
248
.
167
a
4
,
−
I
=
−
( )
−
57
.
250
a
4
)
, czyli
D
(
248
.
167
a
4
,
57
.
250
a
4
)
.
x
xy
4. Wyznaczenie promienia koła Mo
hra
Łączymy punkty
C
i
D
odcinkiem
CD
, który stanowi promień
R
koła Mohra. Promieniem
tym zataczamy okrąg.
5. Wyznaczenie głównych momentów bezwładności
Koło Mohra przecina oś poziomą w dwu punktach:
E
i
F
. Współrzędne
tyc
h punktów są
następujące:
E
( )
190
.
917
a
4
,
0
, F
( )
305
417
a
4
,
0
I
O
odpowiada
maksymalnemu momentowi bezwładności .
1
I
6. Wyznaczenie kierunków głównych
4
2. Wyznaczenie położenia punktu
C
Punkt
C
( )
.
. Długość odcinka
OE
odpowiada
minimalnemu momentowi bezwładności , natomiast długość odcinka
2
 Oś przechodząca przez punkty
E
i
D
jest osią maksymalnego momentu bezwładności, a oś
przechodząca przez punkty
F
i
D
jest osią minimalnego momentu bezwładności.
Przyjęta skala: 50
r
4
kierunek maksymalnego
momentu bezwładności
ϕ
=
π
D
1
ϕ
4
π
=
−
R
2
4
A
( )
( )
I
,
0
E
F
x
B
I
,
0
O
A
=
B
=
C
Momenty bezwładności
y
I
2
C
⎛
+
I
x
I
y
0
⎟
⎠
kierunek minimalnego
momentu bezwładności
2
I
+
I
I
=
x
y
( )
( )
( )
y
2
D
I
,
−
I
x
xy
E
I
2
,
0
I
1
F
I
1
,
0
5
⎜
⎝
,
⎞
x
I
=
[ Pobierz całość w formacie PDF ]