Zadania maturalne z matematyki-geometria analityczna poziom podstawowy, zadania matma
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
GEOMETRIA ANALITYCZNA
Poziom podstawowy
Zadanie 1
(4 pkt.)
Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym
2
x
+ y
3
-
6
=
0
.
a)
napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej.
b)
podaj współczynnik kierunkowy prostej k.
c)
Znajd! punkty przeci"cia prostej k z osiami układu współrz"dnych.
Zadanie 2
(4 pkt.)
Domy trzech kolegów znajduj$ si" w punktach, które mo&na zaznaczy' w układzie
współrz"dnych: dom Tomka w punkcie
T , dom Jurka w punkcie
(
1
J , za, dom
(
2
-
Piotrka w punkcie
P .
a)
Oblicz odległo,' mi"dzy domami Jurka i Tomka.
b)
Które domy s$ poło&one najdalej od siebie. Odpowied! uzasadnij.
( )
2
Zadanie 3
(4 pkt.)
Narysuj na płaszczy!nie zbiory: A i B (na oddzielnych rysunkach) i zaznacz zbiory B
A¦
oraz B
A\ , je,li:
( )
A
=
{
x
,
y
:
x
¬
R
·
y
¬
R
·
2
x
-
y
<
3
B
=
{
( )
x
,
y
:
x
¬
R
·
y
¬
R
·
x
+
y
-
5
0
.
Zadanie 4
(5 pkt.)
Współrz"dne ka&dego punktu nale&$cego do zbioru A mo&na przedstawi' w postaci
(
t 4
- dla pewnego 1
1
t
)
t . Aby zaznaczy' zbiór A na płaszczy!nie, mo&na za
¬
-
pomoc$ układu równa8
Ê
x
=
2
t
-
1
znale!' zwi$zek mi"dzy współrz"dnymi x i y,
y
=
7
-
4
t
np. wyznaczaj$c parametr t z pierwszego równania i podstawiaj$c wyznaczone wyra&enie
Ê
x
=
2
t
-
1
Ë
t
=
1
+
x
w miejsce t do drugiego równania:
Ì
¹
2
dla 1
t .
¬
-
y
=
7
-
4
t
Ì
y
=
7
-
4
t
Mamy wi"c
y
=
7
-
4
µ
1
+
x
czyli
y .
=
-
2 +
x
5
2
Zbiór A jest wi"c odcinkiem zawartym w prostej o równaniu
y . Dla kra8cowych
-
2 +
5
warto,ci t z przedziału 1
- otrzymujemy punkty: (-3, 11) oraz ( 1, 3 ), które s$ ko8cami
odcinka.
W podobny sposób wyznacz zbiór
B
=
{
(
2
t
+
1
-
2
t
)
:
t
¬
-
2
}
.
Zadanie 5
(2 pkt.)
Poło&enie dwóch braci mo&na opisa' w układzie współrz"dnych. W pewnej chwili Jacek
znajdował si" w punkcie 1
A , a Tomek w punkcie 1
(-
( -
0 -
2 -
Ê
= x
B . Wyznacz równanie prostej,
na której znajdowali si" bracia i oblicz odległo,' mi"dzy nimi.
P
i przecina o, OY w punkcie A. Prosta l jest prostopadła do prostej k, przecina j$ w punkcie
P, za, o, OY w punkcie B. Napisz równania prostych k i l, a nast"pnie oblicz pole trójk$ta
ABP.
a
45
A
, przechodzi przez punkt (
Zadanie 7
(7 pkt.)
Pani Kowalska w czasie wakacji robi przetwory z owoców. Kupiła na targu jabłka (w cenie
3 zł za kilogram) i wi,nie (w cenie 4 zł za kilogram). Niech x oznacza liczb" kilogramów
jabłek, y – liczb" kilogramów wi,ni. Zapisz układ nierówno,ci opisuj$cy nast"puj$c$
sytuacj": Liczba kilogramów zakupionych przez pani$ Kowalsk$ owoców nie przekracza
10 kg, a suma wydanych na nie pieni"dzy nie mo&e by' wi"ksza od 36 zł. Zilustruj zbiór
rozwi$za8 tego układu na płaszczy!nie.
Zadanie 8
(5 pkt.)
Punkty
A
(
-
2
-
4
),
B
(
2
),
C
(
s$ kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD.
Wyznacz:
a) równania prostych zawieraj$cych boki AB i CD,
b) długo,' wysoko,ci opuszczonej z punktu C na bok AB,
c)pole równoległoboku.
Poziom rozszerzony
x
a)
jest prostopadła do prostej o równaniu
4
+ y
3
+
3
=
0
3
x
+ y
4
-
7
=
0
;
b)
jest styczna do okr"gu
x
2
-
2
x
+
y
2
-
2
y
-
2
=
0
.
Zadanie 2
(9 pkt.)
Dany jest trójk$t o wierzchołkach
A
(
2
),
B
(
2
),
C
(
4
.
a)
sprawd!, czy trójk$t ABC jest prostok$tny;
b)
wyznacz równanie okr"gu opisanego na trójk$cie ABC .
Zadanie 3
(6 pkt.)
Zaznacz w układzie współrz"dnych zbiory A, B oraz B
A¥ i A
B\ , je,li:
A
=
( )
x
,
y
:
x
¬
R
·
y
¬
R
·
( ) ( )
x
-
3
2
+
y
+
2
2
9
B
=
{
( )
x
,
y
:
x
¬
R
·
y
¬
R
·
y
-
x
<
2
.
Zadanie 4
(5 pkt.)
Wyka&, &e zbiorem punktów równoodległych od prostej 5
y i punktu O(0, 0) jest
=
parabola o równaniu
y
=
-
1
2
+
x
2
1
.
10
2
Zadanie 6
(5 pkt.)
Prosta k jest nachylona do osi OX pod k$tem
Zadanie 1
(6 pkt.)
Sprawd!, czy prosta
{
Zadanie 5
(9 pkt.)
Dany jest trójk$t ABC, w którym A(-3, 1),
AB= [5, 3], a ,rodek ci"&ko,ci ma współrz"dne
S(-1, -1).
a)
Znajd! współrz"dne pozostałych wierzchołków trójk$ta.
b)
Wyznacz obraz punktu A w symetrii wzgl"dem prostej zawieraj$cej bok BC.
Zadanie 6
(12 pkt.)
Punkty A(0, -5) i B(4, -2) s$ kolejnymi wierzchołkami rombu ABCD. Wierzchołek C nale&y
do prostej o równaniu
+ y
-
9 =
0
Zadanie 7
(1 pkt.)
Erodkiem okr"gu jest punkt S(-1, 2), a styczna do okr"gu ma równanie
3
x
+ y
4
+
5
=
0
.
Oblicz długo,' promienia tego okr"gu.
= . Opisz za pomoc$ układu
nierówno,ci zbiór tych wszystkich punktów (x, y ), dla których z odcinków o długo,ciach
a, b, i c mo&na zbudowa' trójk$t. Zaznacz ten zbiór w układzie współrz"dnych. Czy punkt
A(3, 1) spełnia ten warunek?
= xa , y
2 +
1
b
= 3 , y
-
c 2
+
Zadanie 9
(8 pkt.)
Dla jakich warto,ci parametru p iloczyn zbiorów A i B jest zbiorem pustym, je&eli
( )
=
{
x
,
y
:
x
¬
R
·
y
¬
R
·
x
2
+
y
2
-
6
x
+
2
y
+
8
0
B .
Dla najmniejszej znalezionej warto,ci parametru p przedstaw interpretacj" geometryczn$.
=
{
( )
x
,
y
:
x
¬
R
·
y
¬
R
·
x
-
y
+
p
<
0
x .
a)
Znajd! współrz"dne punktów C i D.
b)
Oblicz sinus k$ta ostrego i pole rombu ABCD.
c)
Napisz równanie okr"gu wpisanego w ten romb.
Zadanie 8
(14 pkt.)
Dane s$ odcinki o długo,ciach
A
SCHEMAT PUNKTOWANIA – GEOMETRIA ANALITYCZNA
Poziom podstawowy
Numer
zadania
Etapy rozwi2zania zadania
Liczba
punktów
2
Przekształcenie prostej k do postaci kierunkowej:
y
=
-
x
+
2
.
1
3
1
Zapisanie współczynnika kierunkowego:
a .
=
-
2
1
3
Wyznaczenie punktu przeci"cia prostej k z osi$ x: (3, 0) oraz
z osi$ y: (0, 2).
2
Obliczenie odległo,ci mi"dzy punktami J i T: 5 [j].
1
Obliczenie odległo,ci mi"dzy punktami J i P: 29 [j].
1
2
Obliczenie odległo,ci mi"dzy punktami T i P: 5 [j].
1
Wskazanie, które domy s$ poło&one najdalej od siebie. Odp. Dom Jurka
i Piotrka, poniewa& 29 > 5 i 29 > 5
1
Wyznaczenie zbioru A.
1
3
Wyznaczenie zbioru B.
1
Wyznaczenie sumy zbiorów A i B.
1
Wyznaczenie ró&nicy zbiorów A i B.
1
Uło&enie odpowiedniego układu równa8:
Ê
x
=
2
t
+
1
.
1
y
=
3
-
2
t
Ë
t
=
x
-
1
Wyznaczenie parametru t z pierwszego równania:
2
dla
4
1
Ì
y
=
3
-
2
t
t .
-
2
Podstawienie wyznaczonej warto,ci t do drugiego równania: x
y
= 4 .
1
Wyznaczenie punktów, które s$ ko8cami odcinka: (-3, 7) i (3, 1).
2
Wyznaczenie równania prostej przechodz$cej przez punkty
A i B:
5
y .
=
-
2 +
x
1
1
Obliczenie odległo,ci mi"dzy punktami A i B:
AB .
=
2
5
1
Wyznaczenie równania prostej k: 2
y .
= x
-
1
Wyznaczenie współrz"dnych punktu A: (0, -2)
1
6
Wyznaczenie równania prostej l:
y .
= x
-
+
4
1
Wyznaczenie współrz"dnych punktu B: (0, 4).
1
Obliczenie pola trójk$ta ABP: 9[j
2
]
1
Ê
x
+
y
10
1
1
Ú
1
Í
Ë
Utworzenie układu nierówno,ci:
3
x
+
4
y
36
7
Í
Ì
x
0
Í
y
0
Ilustracja zbioru rozwi$za8 układu na płaszczy!nie
4
Ê
¬
-
Numer
zadania
Etapy rozwi2zania zadania
Liczba
punktów
Wyznaczenie równania prostej AB: 2
= xy .
-
1
Wyznaczenie równania prostej CD: 4
= xy .
+
1
8
Wyznaczenie długo,ci wysoko,ci opuszczonej z wierzchołka C na bok
AB: 2
3
1
Obliczenie długo,ci boku AB: 2
4
1
Obliczenie pola równoległoboku: P = 24 [j
2
]
1
Poziom rozszerzony
Numer
zadania
Etapy rozwi2zania zadania
Liczba
punktów
Wyznaczenie współczynników kierunkowych obu prostych:
=a ,
-
4
=a .
-
3
1
3
4
Porównanie współczynników i stwierdzenie, &e proste nie s$ prostopadłe. 1
Wyznaczenie współrz"dnych ,rodka okr"gu .
1
1
Wyznaczenie długo,ci promienia okr"gu.
1
Obliczenie odległo,ci ,rodka okr"gu od prostej
4
x
+ y
3
+
3
=
0
.
1
Porównanie odległo,ci ,rodka okr"gu od prostej z długo,ci$ promienia
okr"gu i stwierdzenie, &e prosta jest styczna do okr"gu.
1
AB .
3
Sprawdzenie, czy długo,ci boków trójk$ta spełniaj$ twierdzenie Pitagorasa 1
Napisanie układu trzech równa8: podstawienie współrz"dnych
wierzchołków trójk$ta do równania okr"gu w postaci ogólnej.
=
10
,
BC
=
2
5
,
AC
=
10
2
1
Rozwi$zanie układu równa8, wyznaczenie współczynników:
13
a
=
3
b
=
3
c
=
.
3
Wyznaczenie równania okr"gu:
x
2
+
y
2
-
6
x
-
6
y
+
13
=
0
.
1
Odczytanie współrz"dnych ,rodka długo,ci promienia okr"gu.
1
Zaznaczenie na płaszczy!nie zbioru A.
1
3
Zapisanie nierówno,ci 2
- xy w postaci koniunkcji: 2
<
y
< x
+
1
i 2
> xy .
-
Zaznaczenie na płaszczy!nie zbioru B.
1
Zaznaczenie zbiorów B
A¥
i B
A\ .
2
Zapisanie zało&enia: k: 5
=
y , )
xP – dowolny punkt płaszczyzny
( y
spełniaj$cy warunek OP
d
(
p
,
k
)
=
i tezy:
y
=
-
1
2
+
x
2
1
.
1
10
2
4
= . Obie
strony nierówno,ci s$ nieujemne, wi"c mo&na ka&d$ z nich podnie,' do
kwadratu. Otrzymane równanie wystarczy przekształci' do postaci
d
(
p
,
k
)
OP
¹
5
-
y
=
x
2
+
y
2
4
y
=
-
1
2
+
x
2
1
10
2
Obliczenie długo,ci boków trójk$ta:
Przeprowadzenie dowodu:
[ Pobierz całość w formacie PDF ]