Zakres materiału na egzamin, Studia - Chemia kosmetyczna UŁ, I rok, II semestr, MATEMATYKA wykłady
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Matematyka I/IIMateriał realizowany na wykładzie1. Wiadomości wstępne: elementy logiki, zbiory liczbowe, elementy rachunkuzbiorów, potęga liczby rzeczywistej, logarytm liczby rzeczywistej, wartośćbezwzględna liczby rzeczywistej, zapis dziesiętny liczby rzeczywistej.2. Funkcje — podstawowe określenia: pojęcie funkcji, nieformalna i formalnadefinicja funkcji, definicja wykresu funkcji, własności funkcji rzeczywistych(różnowartościowość, odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne, okresowość,parzystość/nieparzystość, ograniczoność, monotoniczność), złożenie funk-cji, funkcja odwrotna, przekształcanie wykresu funkcji.3. Funkcje elementarne: funkcje liniowe, funkcje kwadratowe, wielomiany,funkcje wymierne, funkcje potęgowe, funkcje pierwiastkowe, funkcje wy-kładnicze, funkcje logarytmiczne, funkcje trygonometryczne, funkcje cy-klometryczne, funkcje hiperboliczne.4. Granica funkcji: otoczenie i sąsiedztwo punktu, definicja granicy właści-wej funkcji w punkcie, interpretacja geometryczna definicji granicy właści-wej funkcji w punkcie, definicja granicy jednostronnej właściwej funkcji wpunkcie, definicja granicy niewłaściwej funkcji w punkcie, definicja granicyjednostronnej niewłaściwej funkcji w punkcie, warunek istnienia granicyfunkcji w punkcie, definicja granicy właściwej funkcji w nieskończoności,definicja granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności, twierdzenia o gra-nicach funkcji, ważne granice funkcji elementarnych.5. Ciągłość funkcji: definicja ciągłości funkcji w punkcie, definicja funkcjiciągłej jednostronnie w punkcie, działania na funkcjach ciągłych, własnościfunkcji ciągłych.6. Pochodna funkcji: definicja ilorazu różnicowego, interpretacja geometrycz-na ilorazu różnicowego, definicja pochodnej funkcji w punkcie, interpreta-cja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie, definicja pochodnej jed-nostronnej funkcji w punkcie, funkcja pochodna funkcji, związek międzyróżniczkowalnością i ciągłością funkcji, reguły różniczkowania, różniczkafunkcji, pochodne wyższych rzędów funkcji.7. Twierdzenia o wartości średniej: twierdzenie Rolle’a, twierdzenie Lagran-ge’a, uogólnienie twierdzenia Lagrange’a — wzór Maclaurina.8. Zastosowania rachunku różniczkowego: ekstrema funkcji, ekstrema lokal-ne właściwe, warunek konieczny istnienia ekstremum, pierwszy warunekwystarczający istnienia ekstremum, drugi warunek wystarczający istnie-nia ekstremum, uogólnienie drugiego warunku wystarczającego istnieniaekstremum, wypukłość/wklęsłość funkcji, warunek wystarczający wypu-kłości/wklęsłości funkcji w punkcie, warunek konieczny istnienia punktuprzegięcia, warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia, wyrażenia1nieoznaczone, reguła de l’Hospitala, asymptoty, badanie przebiegu zmien-ności funkcji.9. Ciągi liczbowe: definicja ciągu liczbowego nieskończonego, ważne przy-kłady ciągów liczbowych, definicja granicy właściwej ciągu liczbowego,definicja granicy niewłaściwej ciągu liczbowego, własności granic ciągówliczbowych, ważne granice pewnych ciągów liczbowych, liczbae.10. Szeregi liczbowe: definicja szeregu liczbowego, szereg liczbowy zbieżny/roz-bieżny, warunek konieczny zbieżności szeregu, warunki wystarczające zbież-ności szeregów (kryterium porównawcze, kryterium d’Alemberta, kryte-rium Cauchy’ego).11. Ciągi i szeregi funkcyjne: pojęcie ciągu funkcyjnego, definicja zbieżnościpunktowej ciągu funkcyjnego, pojęcie szeregu funkcyjnego, pojęcie sze-regu funkcyjnego punktowo zbieżnego, definicja szeregu potęgowego, pro-mień zbieżności szeregu potęgowego (twierdzenie d’Alemberta, twierdzenieCauchy’ego-Hadamarda), rozwijanie funkcji w szereg potęgowy Maclauri-na/Taylora.12. Całka nieoznaczona: definicja funkcji pierwotnej, podstawowe twierdzenieo funkcji pierwotnej, warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej,definicja całki nieoznaczonej, reguły całkowania, całkowanie funkcji wy-miernych, całkowanie funkcji niewymiernych, całkowanie funkcji trygono-metrycznych.13. Całka oznaczona: definicja całki oznaczonej Riemanna, twierdzenia o cał-kowalności funkcji, interpretacja geometryczna całki oznaczonej, własnościcałek oznaczonych, podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, całkowa-nie przez części i przez podstawienie.14. Zastosowania rachunku całkowego: obliczanie pola figury, obliczanie polawycinka, obliczanie długości łuku, obliczanie objętości bryły obrotowej,obliczanie pola powierzchni bryły obrotowej, obliczanie wielkości fizycz-nych.15. Całka niewłaściwa: pojęcie całki niewłaściwej, definicja całki niewłaściwejpierwszego rodzaju, definicja całki niewłaściwej drugiego rodzaju.16. Szeregi Fouriera: definicja szeregu Fouriera, rozwijanie funkcji w szeregFouriera, kryterium Dirichleta zbieżności rozwinięcia funkcji w szereg Fo-uriera.17. Liczby zespolone: postać ogólna, postać trygonometryczna, postać wy-kładnicza, wzór Eulera, sprzężenie liczby zespolonej, działania na liczbachzespolonych.18. Równania różniczkowe zwyczajne: definicja równania różniczkowego zwy-czajnego, klasyfikacja równań różniczkowych zwyczajnych, rozwiązania2równania różniczkowego zwyczajnego (całka ogólna, całka szczególna, cał-ka osobliwa), metody rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnychpierwszego rzędu (metoda rozdzielenia zmiennych, metoda podstawienia,metoda uzmienniania stałej), zagadnienie o warunku początkowym dlarozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego pierwszego rzędu, rów-nania różniczkowe zwyczajne liniowe jednorodne drugiego rzędu (istnienierozwiązania ogólnego, pojęcie wrońskianu), równania różniczkowe zwy-czajne liniowe jednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach (rów-nanie charakterystyczne, rozwiązania szczególne i ogólne), zagadnienie owarunkach początkowych dla rozwiązania równania różniczkowego zwy-czajnego drugiego rzędu, zagadnienie o warunkach brzegowych dla roz-wiązania równania różniczkowego zwyczajnego drugiego rzędu.19. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcie zbioru płaskiego, definicja funkcji dwóchzmiennych, definicja wykresu funkcji dwóch zmiennych, definicja granicypodwójnej funkcji dwóch zmiennych w punkcie, definicja ciągłości funkcjidwóch zmiennych w punkcie, pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmien-nych, pochodne cząstkowe funkcji złożonej dwóch zmiennych, pochodnecząstkowe wyższych rzędów funkcji dwóch zmiennych, różniczka funkcjidwóch zmiennych, ekstrema funkcji dwóch zmiennych, warunek koniecz-ny istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych, warunek wystarczającyistnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych, całka podwójna w pro-stokącie, interpretacja geometryczna całki podwójnej w prostokącie, całkiiterowane, obliczanie całki podwójnej w prostokącie.20. Całka krzywoliniowa: równania parametryczne linii, definicja łuku regu-larnego, definicja krzywej regularnej, definicja całki krzywoliniowej skiero-wanej, zamiana całki krzywoliniowej na oznaczoną, warunek niezależnościod drogi całkowania, warunek istnienia różniczki zupełnej.21. Macierze i wyznaczniki: pojęcie macierzy liczbowej, rodzaje macierzy (ma-cierz prostokątna, macierz kwadratowa, macierz diagonalna, macierz jed-nostkowa, podmacierz), działania na macierzach, macierz transponowana,macierz odwrotna, dopełnienie algebraiczne elementu macierzy, pojęciewyznacznika macierzy, obliczanie wyznaczników, własności wyznaczników.22. Układy równań liniowych: układnrównań liniowych onniewiadomych(wzory Cramera, układ jednorodny, metoda rozwiązywania wykorzystują-ca macierz odwrotną), pojęcie rzędu macierzy, własności rzędu macierzy,układmrównań liniowych onniewiadomych (twierdzenie Kroneckera-Capelliego).23. Problem własny macierzy kwadratowej: równanie własne macierzy, równa-nie charakterystyczne macierzy, wartości własne macierzy, wektory własnemacierzy.24. Geometria analityczna na płaszczyźnie: położenie punktu na płaszczyźnie,kartezjański układ współrzędnych prostokątnych, układ współrzędnych3biegunowych, zamiana układu współrzędnych, odległość dwóch punktów,linia prosta (równanie ogólne, równanie kierunkowe, równanie odcinko-we, równanie normalne), krzywe stopnia drugiego (równanie okręgu koła,równanie elipsy, równanie hiperboli, równanie paraboli).25. Geometria analityczna w przestrzeni: położenie punktu w przestrzeni, kar-tezjański układ współrzędnych prostokątnych, układ współrzędnych sfe-rycznych, kierunek w przestrzeni, zamiana układu współrzędnych, odle-głość między punktami, płaszczyzna w przestrzeni (równanie ogólne, rów-nanie odcinkowe, równanie normalne), kąt między płaszczyznami, prostaw przestrzeni, powierzchnie stopnia drugiego (elipsoida, hiperboloida jed-nopowłokowa, hiperboloida dwupowłokowa, paraboloida eliptyczna, para-boloida hiperboliczna, stożek, walec eliptyczny, walec hiperboliczny, walecparaboliczny).4 [ Pobierz całość w formacie PDF ]