Zamiana zmiennych, Dr Przeradzki
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Zamianazmiennych
Zadaniaobowi¡zkowe
Zadanie1.(wsp
ó
“rzƒdnebiegunowe)Zamianazmiennychnawsp
ó
“rzƒdnebiegunowe
x = r cos '; y = r sin '; r > 0; ' 2 (0; 2):
Pokaza¢,»eodwzorowanie(r;') = (r cos ';r sin ')jestbijekcj¡zbioru
f(r;') : r > 0;' 2 (0; 2)g
na
2
nf(x; 0) : x 2
R
g:
Pokaza¢,»ejestdyfeomor
zmem.
Zadanie2.Niechubƒdziefunkcj¡klasyC
2
okre–lon¡naotwartympodzbiorzep“aszczyzny.
Obliczy¢u = u
xx
+ u
yy
wzale»no–ciodr;'.
Zadanie3.(wsp
ó
“rzƒdnesferycznew
R
x = r cos ' sin
y = r sin ' sin
x = r cos
r > 0; ' 2 (0; 2); 2 (
2
;
2
)
Pokaza¢,»eodwzorowaniepowy»szejestbijekcj¡odpowiednichzbior
ó
w(interpretacjage-
ometryczna)orazdyfeomor
zmem.
Zadaniadodatkowe
Zadanie1.Niechubƒdziefunkcj¡klasyC
2
okre–lon¡naotwartympodzbiorze
R
3
.
Obliczy¢u = u
xx
+ u
yy
+ u
zz
wzale»no–ciodr;';.
Odpowied„:u = u
rr
+
1
r
2
sin
2
u
''
+
1
r
2
u
+
2
r
u
r
+
ctg
r
2
u
.
1
R
3
)Wz
ó
rnaprzej–cieodwsp
ó
“rzƒdnychsfer-
ycznych(r;';)dowsp
ó
“rzƒdnychkartezja«skich(x;y;z):
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]