Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych, ELEKTROENERGETYKA(1), Elektryka w budownictwie
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Edward Musiał
Oddział Gdański SEP
Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych
Inżynier wykonuje niemal wyłącznie obliczenia przybliżone i powinien mieć nieustannie na
względzie dokładność, jaką chce uzyskać i jaką może uzyskać. Dane wyjściowe do obliczeń,
pochodzące z pomiarów, z innych, wcześniejszych obliczeń, z danych katalogowych urządzeń lub
z oszacowań, charakteryzują się określoną dokładnością. Nie można uzyskać dokładności wyników
obliczeń większej niż dokładność wprowadzonych danych. Niecelowe jest też wykonywanie
obliczeń z dokładnością większą niż jest to potrzebne.
Kto bez zastanowienia podaje – jako wynik obliczeń – przesadnie liczne cyfry wskazane
przez kalkulator lub komputer, naraża się na zarzut, że nie zdaje sobie sprawy z koniecznej i/lub
możliwej do uzyskania dokładności albo na zarzut nieuczciwego sugerowania nieosiągalnej
dokładności.
Błąd przybliżenia
. Jeśli zamiast wartości dokładnej (liczby dokładnej)
x
operuje się jej
przybliżeniem (liczbą przybliżoną)
a
, to:
x – a
jest błędem bezwzględnym przybliżenia,
x
-
a
jest błędem względnym przybliżenia.
a
Jeżeli przy tym wiadomo, że zawsze i bez zbędnego nadmiaru jest spełniona nierówność
|
x – a
| < Δ
a
, to:
Δ
a
jest górnym kresem błędu bezwzględnego rozpatrywanego przybliżenia,
Δ
=
δa
jest górnym kresem błędu względnego rozpatrywanego przybliżenia.
a
Miarą błędu przybliżenia, a zatem i miarą dokładności, jest wartość błędu względnego.
Zwykle wyraża się ją w procentach.
Przykład
Liczba 1,41 jest przybliżeniem wartości
2
z błędem 0,004213… Za górny kres błędu bezwzględnego można
przyjąć 0,0043, a za górny kres błędu względnego 0,0043:1,41 = 0,0030 = 0,30 %.
Cyfry znaczące
(cyfry wartościowe) przybliżenia dziesiętnego, tzn. podanego w postaci
liczby dziesiętnej, są to wszystkie jego cyfry z wyjątkiem zer stojących po lewej stronie
przybliżenia.
Przykłady
Trzy cyfry znaczące mają następujące liczby:
200
20,0
2,00
0,00200
185
18,5
1,85
0,185
0,000185
Sześć cyfr znaczących mają następujące liczby:
300 000
245 000
19,5396
14,3700
0,00200150
0,00400000
Cyfry pewne
. Jeżeli błąd bezwzględny przybliżenia
a
nie przekracza jednostki (a bardziej
rygorystycznie: połowy jednostki) ostatniego rzędu dziesiętnego (cyfry znaczącej ostatniej z prawej
strony) liczby
a
, to w liczbie
a
występują tylko cyfry pewne. Przybliżenia dziesiętne należy pisać z
zachowaniem jedynie cyfr pewnych; inaczej mówiąc należy odrzucić te cyfry znaczące, które nie są
1
pewne. To właśnie liczba cyfr pewnych w danym przybliżeniu dziesiętnym określa stopień
dokładności tego przybliżenia.
Przykłady
Następujące przybliżenia mają trzeci stopień dokładności (trzy cyfry pewne): 1 stopa sześcienna = 0,0283 m
3
,
l cal = 2,54 cm.
Trzecim stopniem dokładności charakteryzuje się obliczony prąd zwarciowy początkowy:
I
k
=
'
27
,
kA
albo
. Zapis 27400 A nie jest właściwy, bo zawiera 5 cyfr znaczących i mylnie sugeruje piąty
stopień dokładności, a tylko trzy pierwsze cyfry są pewne.
'
k
'
=
27
,
⋅
10
3
A
Informacja, iż w określonym miejscu systemu moc zwarciowa wynosi 2 GVA nie jest tożsama z informacją, iż
wynosi ona 2000 MVA.
W zapisie mnożnika lub wskazane jest posługiwanie się wykładnikiem
potęgowym będącym wielokrotnością cyfry trzy, co czyta się: atto-, femto-, piko-, nano-, mikro-,
mi1i-, kilo-, mega-, giga-, tera-, peta-, eksa-.
10
n
10
-
n
Inżynier woli zapis , który odczytuje jako:
dwadzieścia siedem i cztery
dziesiąte kiloampera
, chociaż matematyk za równoważne uzna zapisy:
I
'
'
=
27
,
4
⋅
10
3
A
k
I
'
'
=
274
⋅
10
2
A
,
k
I
'
'
=
2
74
⋅
10
4
A
,
I
'
'
=
0
274
⋅
10
5
A
,
I
'
'
=
0
0274
⋅
10
6
A
itd., z których każdy zawiera te same trzy
k
k
k
cyfry znaczące pewne.
Jeżeli przybliżenie
a
ma
n
cyfr znaczących pewnych, to jego błąd względny δ
a
spełnia
nierówność:
δ
a
≤
1
,
z
⋅
10
n
-
w której
z
jest pierwszą cyfrą znaczącą danego przybliżenia
a
. Przybliżenie
a
z błędem względnym
δ
a
ma
n
cyfr znaczących pewnych, przy czym
n
jest największą liczbą całkowitą spełniającą
nierówność
(
+
z
)
⋅
δ
a
≤
10
1
−
n
.
0
Pewne są dwie cyfry. Zatem wynik końcowy obliczeń należy zapisać jako
a
= 2,6; gdyby to był wynik pośredni
obliczeń, wtedy należałoby zapisać się jedną (zapasową) cyfrę znaczącą więcej:
a
= 2,56.
Przykład ten zarazem wyjaśnia, że odrzucanie cyfr niepewnych nie powinno się odbywać odruchowo i
bezmyślnie, lecz wymaga respektowania podanych niżej zasad zaokrąglania liczb.
+
2
)
⋅
0
01
≤
1
10
−
→
03
≤
10
1
−
n
→
n
= 2.
Zapisywanie liczb dokładnych
. Jeżeli trzeba zaznaczyć, że dana liczba jest dokładna, to po
tej liczbie należy zamieścić w nawiasie słowo
dokładnie
lub ostatnią cyfrę znaczącą liczby należy
drukować czcionką grubą (bold). Dopuszcza się, zwłaszcza w rękopisach, podkreślanie ostatniej
cyfry liczby dokładnej.
Przykłady
l litr = l dm
3
(dokładnie)
l kWh = 3600000 J (dokładnie)
l kWh = 360000
0
J
l kWh = 360000
0
J
Zaokrąglanie liczb
[5]. Jeżeli liczba przybliżona zawiera zbędne lub niepewne cyfry, należy
ją zaokrąglić zachowując tylko cyfry pewne i tylko tyle cyfr, ile potrzeba.
l. Jeśli pierwsza, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest mniejsza niż 5, to ostatnia
2
'
I
Przykład
Kalkulator wyświetlił jako wynik końcowy obliczeń wykonywanych z błędem względnym δ
a
= 1 % wartość
a
= 2,553762184. Ile cyfr
n
tego wyniku jest pewnych?
n
(
 pozostająca cyfra nie ulega zmianie, np. przy zaokrąglaniu do pierwszego miejsca dziesiętnego:
14,24 → 14,2.
2. Jeżeli pierwsza, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest większa niż 5, to ostatnią
pozostawioną cyfrę powiększa się o jednostkę. np. przy zaokrąglaniu do pierwszego miejsca
dziesiętnego: 26,48 → 26,5.
3. Jeśli pierwsza, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest równa 5 i następuje po niej
co najmniej jeszcze jedna cyfra inna niż zero, to ostatnią pozostawioną cyfrę powiększa się o
jednostkę, np. przy zaokrąglaniu do pierwszego miejsca dziesiętnego: 1,050020 → 1,1.
4. Jeżeli pierwsza, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest równa 5, i nie następuje po
niej żadna cyfra inna niż zero, to ostatnią pozostawioną cyfrę powiększa się o jednostkę, jeśli jest to
cyfra nieparzysta, a nie zmienia się jej, jeśli jest to cyfra parzysta (zero uważa się za cyfrę parzystą).
Inaczej mówiąc, w takim przypadku ostatnia pozostawiona cyfra powinna być parzysta, np. przy
zaokrąglaniu do pierwszego miejsca dziesiętnego: 0,05 → 0,0; 0,15 → 0,2; 0,25 → 0,2; 0,45000 →
0,4. Jest to rezultat konwencji przyjętej w skali międzynarodowej [5] po to, aby wykonywane w
różnych ośrodkach, pracowniach i laboratoriach obliczenia, wykorzystujące te same dane
wyjściowe (np. identyczne wyniki pomiarów), dawały ten sam wynik końcowy.
5. W przypadku odrzucania więcej niż jednej cyfry, nie należy liczby zaokrąglać w kilku
etapach, lecz od razu odrzucić wszystkie zbędne cyfry zgodnie z podanymi powyżej zasadami.
Przykład
źle
15,4546
→ 15,455 → 15,46 → 15,5 →
16
dobrze
15,4546
→
15
6. Liczby całkowite należy zaokrąglać zgodnie z zasadami od l do 5 z tym, że zamiast cyfry
odrzucać, należy je zastępować przez zero.
Przykłady
zaokrąglanie do setek
1234 → 1200
zaokrąglanie do dziesiątek
126 → 130
7. Jeśli liczbę zaokrągla się do 50, 5, 0,5 lub 0,05 itd., to najpierw należy ją podwoić,
otrzymany iloczyn zaokrąglić odpowiednio do 100, 10, l, 0,1 itd. zgodnie z zasadami od 1 do 6,
a następnie podzielić przez dwa.
Przykłady
Aby zaokrąglić liczbę 60,25 do 0,5, należy podwoić ją (120,50), zaokrąglić do jedności (120) i podzielić przez
dwa (60). W rezultacie: 60,25 → 60.
Podobnie postępując z liczbą 60,75, otrzyma się następujące wyniki: 60,75 → (121,5 → 122) → 61.
8. Jeżeli liczbę zaokrągla się do 2, 0,2 lub 0,02 itd., to najpierw należy ją pomnożyć przez
pięć, otrzymany iloczyn zaokrąglić odpowiednio do 10; l; 0,1 itd. zgodnie z zasadami od 1 do 6,
a następnie podzielić przez pięć.
Przykład
Aby zaokrąglić liczbę 8,30 do 0,2, należy pomnożyć ją przez pięć (41,50), zaokrąglić do jedności (42)
i podzielić przez pięć (8,4). W rezultacie: 8,30 → 8,4.
Błąd działania na liczbach przybliżonych
[1]. Wynik działań na liczbach przybliżonych
jest także liczbą przybliżoną. Błąd wyniku może być wyrażony przez błędy poszczególnych
danych. Zwykle oblicza się górny kres błędu w konwencji
the worst case
, tzn. przy założeniu, że
poszczególne błędy składowe kumulują się w sposób najbardziej niekorzystny, mają największą
możliwą wartość bezwzględną i ten sam znak, co prowadzi do następujących wniosków.
a) Górny kres błędu bezwzględnego sumy lub różnicy przybliżeń równa się sumie górnych
kresów błędów bezwzględnych poszczególnych składników, na przykład:
3
Δ(
a
–
b
+
c
–
d
) = Δ
a
+ Δ
b
+ Δ
c
+ Δ
d
b) Błąd względny sumy przybliżeń jest zawarty między najmniejszym i największym z
błędów względnych poszczególnych składników. Na przykład, jeżeli δ
a
< δ
b
< δ
c
< δ
d
, to błąd
względny sumy spełnia nierówność:
Δ
a
<
Δ
(
a
+
b
+
c
+
d
)
<
Δ
d
a
a
+
b
+
c
+
d
d
c) Błąd względny iloczynu lub ilorazu przybliżeń jest równy sumie błędów względnych tych
przybliżeń:
δ +
( )
b
a
δ
b
=
δ
a
δ +
⎝
a
⎠
=
δ
a
δ
b
b
d) Błąd względny
m
-tej potęgi liczby przybliżonej jest
m
razy większy niż błąd względny
podstawy potęgi, co wynika z poprzedniej zasady:
( )
a
δ ⋅
a
m
m
δ
δ ⋅
( )
a
=
1
δ
a
m
Przykłady
Określić błąd wyniku obliczenia wykonanego według wzoru
V
⋅
=
r
2
h
Błąd względny:
δ
V
= 2⋅δ
r
+ δ
h
Błąd bezwzględny:
Δ
V
=
V
⋅
δ
V
=
V
⋅
⎛
Δ
2
Δ
r
+
h
⎟
⎠
r
h
Określić błąd wyniku obliczenia wykonanego według wzoru
z
=
x
1
+
y
Błąd względny:
δ
z
=
1
[
δ
x
+
δ
( )
1
+
y
]
2
Błąd bezwzględny:
Δ
z
=
z
⋅
δ
z
=
z
⋅
⎜
⎝
Δ
x
+
Δ
y
⎟
⎠
2
x
1
+
y
Zagadnienie odwrotne rachunku przybliżeń
[1]. Chodzi o odpowiedź na pytanie: jaka
powinna być dokładność wprowadzanych danych, aby otrzymany wynik obliczeń miał założoną
dokładność? Aby na nie odpowiedzieć, należy wyprowadzić wzór określający błąd wyniku, po
czym – posługując się podanymi wyżej prawidłami – obliczyć, jakie są dopuszczalne błędy danych
wejściowych, by błąd nie przekraczał założonej wartości. Problem może mieć różne rozwiązania,
zależnie od przyjętych założeń.
Przykład
Z jaką dokładnością powinny być zmierzone przyprostokątne trójkąta prostokątnego, z których jedna jest około
trzy razy mniejsza od drugiej, aby błąd kąta wyznaczonego za pośrednictwem tangensa nie przekraczał l' (jednej
minuty kątowej)?
Kąt ma być obliczony ze wzoru: ϕ = arctg(
a
/
b
) z błędem względnym:
Δϕ
=
b
⋅
Δ
a
+
a
⋅
Δ
b
2
2
a
+
b
Podstawiając
b
= 3⋅
a
oraz zakładając, że Δ
a
= Δ
b
, otrzymuje się
Δϕ
=
0
4
⋅
Δ
a
=
0
4
⋅
δ
a
,
a
4
⋅
⎛
⎞
=
e) Błąd względny pierwiastka stopnia
m
z liczby przybliżonej równa się 1/
m
błędu
względnego liczby podpierwiastkowej:
m
⎜
⎝
⎞
⎛
⎞
 a ponieważ założono Δϕ = l' = 0,0002909 rd, wobec tego:
δ
a
=
Δ
a
=
0
0007
=
0
07
%
. Zatem przy założeniu
a
jednakowych błędów bezwzględnych pomiaru obu przyprostokątnych, dopuszczalny błąd względny pomiaru
mniejszej z nich wynosi 0,07 %.
Obliczenia przybliżone bez dokładnego uwzględniania błędów
[1]. Przy wykonywaniu
zwykłych obliczeń inżynierskich nie określa się błędu każdego wyniku z osobna, lecz przestrzega
się prostych reguł zapewniających, że wyniki mają na ogół wszystkie cyfry pewne, a błąd nie
przekracza kilku jednostek ostatniego rzędu.
Poniższe zasady mają znaczenie fundamentalne
przy wykonywaniu wszelkich praktycznych obliczeń
.
l) Przy dodawaniu i odejmowaniu przybliżeń dziesiętnych należy zachować w wyniku tyle
cyfr po przecinku, ile ich jest w tym przybliżeniu, które ma najmniejszą liczbę cyfr po przecinku.
Przykłady
142,7 + 37,084 – 0,72727 = 179,1
142,7 – 0,00475 = 142,7
2) Przy mnożeniu i dzieleniu przybliżeń dziesiętnych należy zachować w wyniku tyle cyfr
znaczących, ile jest ich w tym przybliżeniu, które ma najmniejszą liczbę cyfr znaczących.
Przykłady
1,33333 ⋅ 2 = 3
1,33333
⋅
2
= 2,66666
13
74
2
03333
=
6
4
3) Przy podnoszeniu przybliżenia dziesiętnego do kwadratu lub sześcianu należy wziąć w
wyniku tyle cyfr znaczących, ile ma ich dane przybliżenie, czyli należy zachować jego stopień
dokładności.
Przykłady
3,00
3
= 27,0 3,541
2
= 12,54
Błąd względny kwadratu i sześcianu przybliżenia dziesiętnego jest odpowiednio około 2 i 3 razy większy niż
błąd względny samego przybliżenia, a więc błąd wyniku potęgowania może przekraczać jednostkę ostatniego
zachowanego w nim rzędu.
4) Przy wyciąganiu pierwiastka kwadratowego lub sześciennego z przybliżenia dziesiętnego
należy zachować w wyniku tyle cyfr znaczących, ile ma ich dane przybliżenie.
Przykłady
3
=
Błąd względny takiego pierwiastka jest odpowiednio 2 lub 3 razy mniejszy niż błąd względny samego
przybliżenia.
5) We wszystkich obliczeniach pośrednich należy zachować o jedną cyfrę znaczącą więcej
niż to wynika z powyższych prawideł; dopiero przy zapisywaniu końcowego wyniku obliczeń tę
zapasową cyfrę należy odrzucić.
6) Jeśli pewne przybliżenia dziesiętne mają w dodawaniu i odejmowaniu więcej cyfr po
przecinku, a w mnożeniu i dzieleniu, potęgowaniu i pierwiastkowaniu więcej cyfr znaczących niż
inne przybliżenia, to przed wykonaniem obliczeń należy je zaokrąglić do poziomu dokładności
pozostałych przybliżeń z zachowaniem cyfry dodatkowej (zapasowej); w końcowym wyniku tę
zapasową cyfrę należy odrzucić.
7) Jeżeli można brać dane z dowolną dokładnością, to – dla otrzymania wyniku o
k
cyfrach
znaczących pewnych – należy wziąć te dane z taką liczbą cyfr znaczących, która zgodnie z
zasadami od l do 4 daje w wyniku (
k
+ l) cyfr pewnych.
16
,
10000
21
544
5
,
⋅
270 =
,
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]